Страница 116 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

591. Запишите в виде десятичной дроби:

1) $6 \%$;

2) $14 \%$;

3) $40 \%$;

4) $84 \%$;

5) $160 \%$;

6) $600 \%$;

Чтобы записать проценты в виде десятичной дроби, необходимо число процентов разделить на 100. Это равносильно переносу запятой на два знака влево.

1) 6 %
Для того чтобы перевести 6% в десятичную дробь, разделим 6 на 100.
$6\% = \frac{6}{100} = 0,06$
Ответ: 0,06.

2) 14 %
Для того чтобы перевести 14% в десятичную дробь, разделим 14 на 100.
$14\% = \frac{14}{100} = 0,14$
Ответ: 0,14.

3) 40 %
Для того чтобы перевести 40% в десятичную дробь, разделим 40 на 100.
$40\% = \frac{40}{100} = 0,4$
Ответ: 0,4.

4) 84 %
Для того чтобы перевести 84% в десятичную дробь, разделим 84 на 100.
$84\% = \frac{84}{100} = 0,84$
Ответ: 0,84.

5) 160 %
Для того чтобы перевести 160% в десятичную дробь, разделим 160 на 100.
$160\% = \frac{160}{100} = 1,6$
Ответ: 1,6.

6) 600 %
Для того чтобы перевести 600% в десятичную дробь, разделим 600 на 100.
$600\% = \frac{600}{100} = 6$
Ответ: 6.

592. Запишите в процентах:

1) $0,24$;

2) $0,04$;

3) $0,4$;

4) $0,682$;

5) $1,6$;

6) $8$.

Чтобы записать число в процентах, необходимо умножить это число на 100 и добавить знак процента (%).

1) Для того чтобы перевести десятичную дробь 0,24 в проценты, умножим ее на 100.

$0,24 \cdot 100\% = 24\%$

Ответ: 24%

2) Чтобы перевести десятичную дробь 0,04 в проценты, умножим ее на 100.

$0,04 \cdot 100\% = 4\%$

Ответ: 4%

3) Для перевода десятичной дроби 0,4 в проценты, умножим ее на 100.

$0,4 \cdot 100\% = 40\%$

Ответ: 40%

4) Чтобы перевести десятичную дробь 0,682 в проценты, умножим ее на 100.

$0,682 \cdot 100\% = 68,2\%$

Ответ: 68,2%

5) Для перевода числа 1,6 в проценты, умножим его на 100.

$1,6 \cdot 100\% = 160\%$

Ответ: 160%

6) Чтобы перевести целое число 8 в проценты, умножим его на 100.

$8 \cdot 100\% = 800\%$

Ответ: 800%

593. Запишите в процентах:

1) $0,58$;

2) $0,8$;

3) $0,08$;

4) $0,008$;

5) $2,5$;

6) $10$.

Чтобы записать число в процентах, необходимо умножить это число на 100 и добавить знак процента (%).

1) 0,58

Для того чтобы перевести десятичную дробь 0,58 в проценты, умножаем ее на 100:
$0,58 \cdot 100\% = 58\%$
Ответ: $58\%$

2) 0,8

Для того чтобы перевести десятичную дробь 0,8 в проценты, умножаем ее на 100:
$0,8 \cdot 100\% = 80\%$
Ответ: $80\%$

3) 0,08

Для того чтобы перевести десятичную дробь 0,08 в проценты, умножаем ее на 100:
$0,08 \cdot 100\% = 8\%$
Ответ: $8\%$

4) 0,008

Для того чтобы перевести десятичную дробь 0,008 в проценты, умножаем ее на 100:
$0,008 \cdot 100\% = 0,8\%$
Ответ: $0,8\%$

5) 2,5

Для того чтобы перевести число 2,5 в проценты, умножаем его на 100:
$2,5 \cdot 100\% = 250\%$
Ответ: $250\%$

6) 10

Для того чтобы перевести число 10 в проценты, умножаем его на 100:
$10 \cdot 100\% = 1000\%$
Ответ: $1000\%$

594. Запишите в виде обыкновенной дроби:

1) $50 \%$;

2) $25 \%$;

3) $10 \%$;

4) $20 \%$;

5) $80 \%$;

6) $75 \%$.

Чтобы перевести проценты в обыкновенную дробь, необходимо число процентов записать в числитель, а в знаменатель поставить 100. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

1) 50 %

Представим 50% в виде дроби со знаменателем 100 и сократим её:

$50\% = \frac{50}{100} = \frac{50 \div 50}{100 \div 50} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) 25 %

Представим 25% в виде дроби и сократим её:

$25\% = \frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

3) 10 %

Представим 10% в виде дроби и сократим её:

$10\% = \frac{10}{100} = \frac{10 \div 10}{100 \div 10} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$

4) 20 %

Представим 20% в виде дроби и сократим её:

$20\% = \frac{20}{100} = \frac{20 \div 20}{100 \div 20} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

5) 80 %

Представим 80% в виде дроби и сократим её:

$80\% = \frac{80}{100} = \frac{80 \div 20}{100 \div 20} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

6) 75 %

Представим 75% в виде дроби и сократим её:

$75\% = \frac{75}{100} = \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

595. Найдите:

1) $1\%$ от числа 800;

2) $1\%$ от числа 4;

3) $12\%$ от числа 45;

4) $15\%$ от числа 60;

5) $84\%$ от числа 140;

6) $120\%$ от числа 50.

Чтобы найти процент от числа, нужно это число разделить на 100 и умножить на количество процентов, либо представить проценты в виде десятичной дроби и умножить на нее число.

1) Найдем 1% от числа 800.
Представим 1% в виде десятичной дроби: $1\% = \frac{1}{100} = 0,01$.
Умножим число 800 на полученную дробь: $800 \cdot 0,01 = 8$.
Ответ: 8

2) Найдем 1% от числа 4.
Представим 1% в виде десятичной дроби: $1\% = \frac{1}{100} = 0,01$.
Умножим число 4 на полученную дробь: $4 \cdot 0,01 = 0,04$.
Ответ: 0,04

3) Найдем 12% от числа 45.
Представим 12% в виде десятичной дроби: $12\% = \frac{12}{100} = 0,12$.
Умножим число 45 на полученную дробь: $45 \cdot 0,12 = 5,4$.
Ответ: 5,4

4) Найдем 15% от числа 60.
Представим 15% в виде десятичной дроби: $15\% = \frac{15}{100} = 0,15$.
Умножим число 60 на полученную дробь: $60 \cdot 0,15 = 9$.
Ответ: 9

5) Найдем 84% от числа 140.
Представим 84% в виде десятичной дроби: $84\% = \frac{84}{100} = 0,84$.
Умножим число 140 на полученную дробь: $140 \cdot 0,84 = 117,6$.
Ответ: 117,6

6) Найдем 120% от числа 50.
Представим 120% в виде десятичной дроби: $120\% = \frac{120}{100} = 1,2$.
Умножим число 50 на полученную дробь: $50 \cdot 1,2 = 60$.
Ответ: 60

596. Найдите:

1) $7\%$ от числа $300$;

2) $26\%$ от числа $10$;

3) $30\%$ от числа $120$;

4) $156\%$ от числа $62$.

1) Чтобы найти процент от числа, нужно представить проценты в виде десятичной дроби, разделив их на 100, а затем умножить данное число на полученную дробь.
Переведем 7% в десятичную дробь: $7 \div 100 = 0,07$.
Теперь умножим число 300 на 0,07:
$300 \cdot 0,07 = 21$.
Ответ: 21

2) Переведем 26% в десятичную дробь: $26 \div 100 = 0,26$.
Умножим число 10 на 0,26:
$10 \cdot 0,26 = 2,6$.
Ответ: 2,6

3) Переведем 30% в десятичную дробь: $30 \div 100 = 0,3$.
Умножим число 120 на 0,3:
$120 \cdot 0,3 = 36$.
Ответ: 36

4) Переведем 156% в десятичную дробь: $156 \div 100 = 1,56$.
Умножим число 62 на 1,56:
$62 \cdot 1,56 = 96,72$.
Ответ: 96,72

597. Площадь поля равна 420 га. Рожью засеяли 15 % поля. Сколько гектаров засеяли рожью?

Для того чтобы найти, сколько гектаров поля засеяли рожью, необходимо вычислить 15% от общей площади поля, которая равна 420 га.

Способ 1: Через нахождение 1%

1. Сначала найдем, сколько гектаров составляет 1% от всей площади поля. Для этого разделим общую площадь на 100.

$420 \div 100 = 4.2 \text{ га}$

2. Теперь умножим величину одного процента на 15, чтобы найти площадь, засеянную рожью.

$4.2 \times 15 = 63 \text{ га}$

Способ 2: Через перевод процентов в дробь

1. Переведем проценты в десятичную дробь. Для этого число процентов нужно разделить на 100.

$15\% = \frac{15}{100} = 0.15$

2. Теперь умножим общую площадь поля на полученную дробь.

$420 \times 0.15 = 63 \text{ га}$

Способ 3: С помощью пропорции

Примем общую площадь поля (420 га) за 100%, а искомую площадь, засеянную рожью, обозначим за $x$ га, что составляет 15%.

Составим пропорцию:

$420 \text{ га} \longleftrightarrow 100\%$

$x \text{ га} \longleftrightarrow 15\%$

Решим пропорцию:

$x = \frac{420 \times 15}{100} = \frac{6300}{100} = 63 \text{ га}$

Ответ: 63 га.

598. Участники авторалли должны были преодолеть 565 км. В первый день было пройдено $72\%$ маршрута. Сколько километров было пройдено в первый день?

Для того чтобы найти, сколько километров было пройдено в первый день, нужно вычислить 72% от общего расстояния в 565 км. Для этого можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1: Через десятичную дробь

Сначала представим проценты в виде десятичной дроби. Для этого разделим число процентов на 100.

$72\% = \frac{72}{100} = 0.72$

Затем умножим общую длину маршрута на полученную десятичную дробь, чтобы найти расстояние, пройденное в первый день.

$565 \text{ км} \times 0.72 = 406.8 \text{ км}$

Способ 2: Через пропорцию

Примем всю дистанцию (565 км) за 100%, а расстояние, пройденное в первый день, обозначим как $x$ км, что составляет 72%. Составим пропорцию:

$565 \text{ км} — 100\%$

$x \text{ км} — 72\%$

Из пропорции следует равенство:

$\frac{565}{x} = \frac{100}{72}$

Выразим $x$:

$x = \frac{565 \times 72}{100} = \frac{40680}{100} = 406.8 \text{ км}$

Оба способа дают одинаковый результат. В первый день было пройдено 406,8 км.

Ответ: 406,8 км.

599. Сплав содержит $8\%$ меди. Сколько килограммов меди содержится в $360$ кг сплава?

Для того чтобы найти, сколько килограммов меди содержится в сплаве, необходимо вычислить 8% от его общей массы. Общая масса сплава составляет 360 кг.

Сначала переведем проценты в десятичную дробь. Для этого нужно разделить количество процентов на 100:
$8\% = \frac{8}{100} = 0.08$

Теперь умножим общую массу сплава на полученную десятичную дробь, чтобы найти массу меди в нем:
$360 \text{ кг} \cdot 0.08 = 28.8 \text{ кг}$

Таким образом, в 360 кг сплава содержится 28,8 кг меди.

Ответ: 28,8 кг.

600. В морской воде содержится $6\%$ соли. Сколько килограммов соли содержится в $250 \text{ кг}$ морской воды?

Для того чтобы найти массу соли в морской воде, необходимо вычислить 6% от общей массы воды, которая составляет 250 кг.

Сначала переведем проценты в десятичную дробь. Для этого разделим количество процентов на 100:

$ 6\% = \frac{6}{100} = 0,06 $

Теперь умножим общую массу морской воды на полученную десятичную дробь, чтобы найти массу соли:

$ 250 \text{ кг} \cdot 0,06 = 15 \text{ кг} $

Таким образом, в 250 кг морской воды содержится 15 кг соли.

Ответ: 15 кг

601. На рулоне обоев написано, что длина полотна обоев равна $10 \text{ м}$. Фактическая длина полотна обоев отличается от указанной не более чем на $0,8 \%$. Укажите, какой из приведённых величин не может быть равна фактическая длина полотна обоев в этом рулоне:

1) $10,06 \text{ м}$;

2) $9,94 \text{ м}$;

3) $9,9 \text{ м}$;

4) $10,02 \text{ м}$.

По условию задачи, номинальная длина полотна обоев составляет 10 м, а фактическая длина может отличаться от номинальной не более чем на 0,8%. Чтобы найти, какая из предложенных величин не может быть фактической длиной, сначала определим диапазон допустимых значений.

Шаг 1: Вычисление величины возможного отклонения.

Найдем 0,8% от 10 метров. Для этого переведем проценты в десятичную дробь и умножим на указанную длину:

$0,8\% = \frac{0,8}{100} = 0,008$

Величина отклонения составляет: $10 \text{ м} \times 0,008 = 0,08 \text{ м}$.

Шаг 2: Определение диапазона возможных длин.

Фактическая длина может быть как больше, так и меньше указанной на 0,08 м. Найдем минимальную и максимальную возможные длины:

Минимальная длина: $10 \text{ м} - 0,08 \text{ м} = 9,92 \text{ м}$.

Максимальная длина: $10 \text{ м} + 0,08 \text{ м} = 10,08 \text{ м}$.

Таким образом, фактическая длина полотна обоев, обозначим ее как $L$, должна находиться в интервале от 9,92 м до 10,08 м включительно. Математически это записывается как $9,92 \le L \le 10,08$.

Шаг 3: Проверка предложенных вариантов.

Теперь проверим, какая из предложенных величин не попадает в найденный диапазон $[9,92; 10,08]$.

1) 10,06 м:

Это значение удовлетворяет условию $9,92 \le 10,06 \le 10,08$. Следовательно, такая длина возможна.

2) 9,94 м:

Это значение удовлетворяет условию $9,92 \le 9,94 \le 10,08$. Следовательно, такая длина возможна.

3) 9,9 м:

Это значение не удовлетворяет условию, так как $9,9 < 9,92$. Следовательно, такая длина невозможна.

4) 10,02 м:

Это значение удовлетворяет условию $9,92 \le 10,02 \le 10,08$. Следовательно, такая длина возможна.

Единственная величина, которая не может быть фактической длиной полотна обоев, — это 9,9 м.

Ответ: 3) 9,9 м.

602. За снятие наличных денег в банкомате некоторого банка взимается комиссия в размере 1,5 % от снимаемой суммы. Какая сумма будет списана с банковского счёта при снятии 2000 р.?

Общая сумма, которая будет списана с банковского счёта, складывается из снимаемой суммы и комиссии за операцию.

Снимаемая сумма: 2000 р.

Комиссия составляет 1,5 % от снимаемой суммы. Сначала найдём размер комиссии.

Для этого можно составить пропорцию:

2000 р. — 100 %

$x$ р. — 1,5 %

$x = \frac{2000 \cdot 1,5}{100} = 20 \cdot 1,5 = 30$ р.

Таким образом, комиссия за снятие наличных составляет 30 рублей.

Теперь сложим снимаемую сумму и комиссию, чтобы найти, какая общая сумма будет списана со счёта:

$2000 \text{ р.} + 30 \text{ р.} = 2030 \text{ р.}$

Ответ: 2030 р.

603. Магазин закупает чашки по оптовой цене 120 р. за штуку и продаёт с наценкой 30 %. Сколько будет стоить такая чашка в этом магазине?

Чтобы найти розничную цену чашки, нужно сначала рассчитать размер наценки, а затем прибавить её к оптовой цене.

1. Рассчитаем размер наценки.

Наценка составляет 30% от оптовой цены в 120 рублей. Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на процент, выраженный в виде десятичной дроби.

Переведем 30% в десятичную дробь: $30\% = \frac{30}{100} = 0,3$.

Теперь вычислим сумму наценки:

$120 \cdot 0,3 = 36$ рублей.

2. Рассчитаем итоговую стоимость.

Итоговая стоимость чашки в магазине будет равна сумме оптовой цены и наценки.

$120 + 36 = 156$ рублей.

Также можно решить задачу одним действием. Если оптовая цена — это 100%, то цена с наценкой в 30% составит $100\% + 30\% = 130\%$ от оптовой цены. Выразим 130% в виде десятичного множителя: $1,3$.

$120 \cdot 1,3 = 156$ рублей.

Ответ: 156 рублей.

604. За два дня продали 125 кг яблок, причём в первый день продали 46 % яблок. Сколько килограммов яблок продали во второй день?

Данную задачу можно решить двумя способами.

Способ 1

Сначала найдём массу яблок, проданных в первый день. Для этого общее количество яблок умножим на процент, который был продан в первый день, выраженный в виде десятичной дроби.

1. Переведём проценты в десятичную дробь:

$46\% = 46 / 100 = 0.46$

2. Найдём, сколько килограммов яблок продали в первый день:

$125 \text{ кг} \cdot 0.46 = 57.5 \text{ кг}$

3. Теперь, чтобы найти, сколько килограммов яблок продали во второй день, вычтем из общего количества массу яблок, проданных в первый день:

$125 \text{ кг} - 57.5 \text{ кг} = 67.5 \text{ кг}$

Ответ: 67,5 кг.

Способ 2

Сначала найдём, какой процент яблок от общего количества был продан во второй день. Затем вычислим массу этого количества яблок.

1. Общее количество яблок составляет $100\%$. Найдём процент яблок, проданных во второй день:

$100\% - 46\% = 54\%$

2. Теперь найдём, сколько килограммов составляют $54\%$ от $125$ кг. Для этого переведём проценты в десятичную дробь и умножим на общее количество.

$54\% = 54 / 100 = 0.54$

$125 \text{ кг} \cdot 0.54 = 67.5 \text{ кг}$

Ответ: 67,5 кг.