Страница 122 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

636. Найдите число, 1 % которого равен:

1) 6;

2) 100;

3) 4,2;

4) 7,68.

1)

Чтобы найти число, 1% которого равен 6, нужно воспользоваться определением процента. 1% — это одна сотая часть числа. Если одна сотая часть числа равна 6, то для нахождения целого числа (100%) нужно умножить 6 на 100.

Пусть искомое число равно $x$. Тогда 1% от этого числа можно записать в виде десятичной дроби как $0,01 \cdot x$. Составим уравнение:

$0,01 \cdot x = 6$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,01:

$x = \frac{6}{0,01}$

$x = 600$

Ответ: 600.

2)

Аналогично, найдем число, 1% которого равен 100. Для этого необходимо умножить 100 на 100.

Пусть искомое число равно $x$. Составим уравнение:

$0,01 \cdot x = 100$

Найдем $x$:

$x = \frac{100}{0,01}$

$x = 10000$

Ответ: 10000.

3)

Найдем число, 1% которого равен 4,2. Для этого необходимо умножить 4,2 на 100.

Пусть искомое число равно $x$. Составим уравнение:

$0,01 \cdot x = 4,2$

Найдем $x$:

$x = \frac{4,2}{0,01}$

$x = 420$

Ответ: 420.

4)

Найдем число, 1% которого равен 7,68. Для этого необходимо умножить 7,68 на 100.

Пусть искомое число равно $x$. Составим уравнение:

$0,01 \cdot x = 7,68$

Найдем $x$:

$x = \frac{7,68}{0,01}$

$x = 768$

Ответ: 768.

637. Найдите число, если:

1) 20 % этого числа равны 40;

2) 54 % этого числа равны 81;

3) 280 % этого числа равны 70;

4) 320 % этого числа равны 16.

1) Чтобы найти число по его проценту, нужно значение, соответствующее этому проценту, разделить на величину процента, выраженную в виде дроби. Пусть искомое число — это $x$. По условию, $20\%$ от этого числа равны $40$. Переведем проценты в десятичную дробь: $20\% = 20 / 100 = 0.2$. Составим уравнение: $0.2 \cdot x = 40$. Чтобы найти $x$, разделим $40$ на $0.2$:
$x = 40 : 0.2 = 400 : 2 = 200$.
Искомое число равно 200.
Ответ: 200

2) Пусть искомое число — это $x$. По условию, $54\%$ от этого числа равны $81$. Переведем проценты в десятичную дробь: $54\% = 54 / 100 = 0.54$. Составим уравнение: $0.54 \cdot x = 81$. Чтобы найти $x$, разделим $81$ на $0.54$:
$x = 81 : 0.54 = 8100 : 54 = 150$.
Искомое число равно 150.
Ответ: 150

3) Пусть искомое число — это $x$. По условию, $280\%$ от этого числа равны $70$. Переведем проценты в десятичную дробь: $280\% = 280 / 100 = 2.8$. Составим уравнение: $2.8 \cdot x = 70$. Чтобы найти $x$, разделим $70$ на $2.8$:
$x = 70 : 2.8 = 700 : 28 = 25$.
Искомое число равно 25.
Ответ: 25

4) Пусть искомое число — это $x$. По условию, $320\%$ от этого числа равны $16$. Переведем проценты в десятичную дробь: $320\% = 320 / 100 = 3.2$. Составим уравнение: $3.2 \cdot x = 16$. Чтобы найти $x$, разделим $16$ на $3.2$:
$x = 16 : 3.2 = 160 : 32 = 5$.
Искомое число равно 5.
Ответ: 5

638. Найдите число, если:

1) $1 \%$ этого числа равен $7$;

2) $1 \%$ этого числа равен $0,36$;

3) $12 \%$ этого числа равны $4,8$;

4) $104 \%$ этого числа равны $260$.

Чтобы найти число по его проценту, нужно сначала найти, чему равен 1% этого числа, а затем умножить полученное значение на 100.

1) Если 1% числа равен 7, то чтобы найти всё число (100%), нужно 7 умножить на 100.
$7 \cdot 100 = 700$
Ответ: 700.

2) Если 1% числа равен 0,36, то чтобы найти всё число (100%), нужно 0,36 умножить на 100.
$0,36 \cdot 100 = 36$
Ответ: 36.

3) Если 12% числа равны 4,8, то сначала найдем, чему равен 1% этого числа. Для этого разделим 4,8 на 12.
$4,8 : 12 = 0,4$
Теперь, зная, что 1% равен 0,4, найдем всё число, умножив это значение на 100.
$0,4 \cdot 100 = 40$
Ответ: 40.

4) Если 104% числа равны 260, то сначала найдем, чему равен 1% этого числа. Для этого разделим 260 на 104.
$260 : 104 = 2,5$
Теперь, зная, что 1% равен 2,5, найдем исходное число (100%), умножив это значение на 100.
$2,5 \cdot 100 = 250$
Ответ: 250.

639. За первую неделю турист прошёл 32 км, что составляет 40 % туристического маршрута. Какова длина всего маршрута?

Для решения этой задачи необходимо найти целое число, зная его часть и процент, который эта часть составляет.

По условию, 32 км — это $40\%$ от всего туристического маршрута.

1. Переведем проценты в десятичную дробь.
Чтобы перевести проценты в дробь, нужно разделить их на 100:
$40\% = \frac{40}{100} = 0.4$

2. Найдем общую длину маршрута.
Теперь мы знаем, что 32 км составляют $0.4$ от всего маршрута. Чтобы найти целое (общую длину) по его части, нужно значение этой части (32 км) разделить на соответствующую ей дробь (0.4).
Пусть $L$ — общая длина маршрута.
$L = 32 \div 0.4$

Для удобства вычисления можно умножить делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от дроби в делителе:
$L = 320 \div 4 = 80$ км.

Таким образом, общая длина всего туристического маршрута составляет 80 км.

Ответ: 80 км.

640. Михаил купил справочник по математике, потратив $45\%$ имевшихся у него денег. Сколько денег было у Михаила, если справочник стоит $144\text{ р.}$?

Пусть $x$ — это общая сумма денег, которая была у Михаила. Эту сумму мы принимаем за 100%.

Из условия задачи известно, что стоимость справочника, равная 144 рублям, составляет 45% от всей суммы денег.

Чтобы найти общую сумму, можно составить пропорцию:
144 рубля — это 45%
$x$ рублей — это 100%

Запишем математическое соотношение:
$\frac{144}{x} = \frac{45}{100}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$x = \frac{144 \cdot 100}{45}$

Выполним вычисления:
$x = \frac{14400}{45}$
$x = 320$

Следовательно, у Михаила было 320 рублей.

Ответ: 320 р.

641. Руда содержит 60 % железа. Сколько тонн руды надо взять, чтобы получить 72 т железа?

Для решения этой задачи составим пропорцию или решим уравнение. Пусть $x$ — это общее количество тонн руды, которое необходимо взять.

По условию, в руде содержится 60% железа. Это означает, что масса железа составляет 60% от общей массы руды. Выразим проценты в виде десятичной дроби:

$60\% = \frac{60}{100} = 0,6$

Масса железа в $x$ тоннах руды будет равна $0,6 \cdot x$.

Нам известно, что необходимо получить 72 тонны железа. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$0,6 \cdot x = 72$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 0,6:

$x = \frac{72}{0,6}$

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{72 \cdot 10}{0,6 \cdot 10} = \frac{720}{6}$

$x = 120$

Таким образом, чтобы получить 72 тонны железа, нужно взять 120 тонн руды.

Ответ: 120 тонн.

642. Раствор содержит 14 % соли. Сколько килограммов раствора надо взять, чтобы получить 49 кг соли?

Пусть $x$ — это искомое количество килограммов раствора.

Концентрация соли в растворе составляет 14%. Это означает, что масса соли составляет 14% от общей массы раствора. Чтобы выразить проценты в виде десятичной дроби, разделим их на 100:
$14\% = \frac{14}{100} = 0.14$

Масса соли в $x$ килограммах раствора равна произведению общей массы раствора на долю соли в нем:
Масса соли = $x \cdot 0.14$

По условию задачи, масса соли должна быть равна 49 кг. Составим уравнение:
$0.14 \cdot x = 49$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0.14:
$x = \frac{49}{0.14}$

Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$x = \frac{49 \cdot 100}{0.14 \cdot 100} = \frac{4900}{14}$

Выполним деление:
$x = 350$

Следовательно, чтобы получить 49 кг соли, нужно взять 350 кг раствора.

Ответ: 350 кг.

643. Банк выплачивает своим вкладчикам 8 % годовых. Сколько денег надо положить в банк, чтобы через год получить 600 р. прибыли? (Никаких операций, кроме начисления процентов, в это время со счётом производиться не будет.)

Обозначим искомую сумму денег, которую нужно положить в банк, через $x$. Эта сумма принимается за 100%.

По условию задачи, банк выплачивает 8% годовых. Это означает, что через год прибыль от вклада составит 8% от первоначальной суммы $x$. Известно, что эта прибыль равна 600 рублям.

Таким образом, мы можем составить уравнение, в котором 8% от $x$ равны 600. Для этого представим 8% в виде десятичной дроби: $8\% = \frac{8}{100} = 0.08$.

Уравнение будет выглядеть так:

$x \cdot 0.08 = 600$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (600) разделить на известный множитель (0.08):

$x = \frac{600}{0.08}$

Для удобства вычислений, умножим числитель и знаменатель дроби на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$x = \frac{600 \cdot 100}{0.08 \cdot 100} = \frac{60000}{8}$

$x = 7500$

Следовательно, чтобы через год получить 600 рублей прибыли, в банк необходимо положить 7500 рублей.

Ответ: 7500 рублей.

644. Масса сушёных слив составляет 15 % массы свежих. Сколько надо взять свежих слив, чтобы получить 36 кг сушёных?

Пусть искомая масса свежих слив равна $x$ кг.

По условию задачи, масса сушёных слив составляет 15% от массы свежих. Нам дано, что масса сушёных слив равна 36 кг. Это означает, что 36 кг составляют 15% от $x$.

Для того чтобы найти всю величину (100%) по известной её части (15%), нужно составить уравнение. Сначала представим 15% в виде десятичной дроби: $15\% = \frac{15}{100} = 0.15$

Теперь можем записать условие задачи в виде уравнения: $0.15 \cdot x = 36$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (36) разделить на известный множитель (0.15): $x = \frac{36}{0.15}$

Для удобства вычисления избавимся от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 100: $x = \frac{36 \cdot 100}{0.15 \cdot 100} = \frac{3600}{15}$

Выполним деление: $x = 240$

Таким образом, чтобы получить 36 кг сушёных слив, необходимо взять 240 кг свежих слив.

Ответ: 240 кг.

645. За неделю бригада рабочих отремонтировала $138 \text{ м}$ дороги, что составляет $115\%$ плана. Сколько метров дороги планировали отремонтировать за неделю?

По условию задачи, отремонтированные 138 метров дороги составляют 115% от плана. Нам необходимо найти, сколько метров дороги соответствует 100% плана.

Обозначим искомую величину (план) как $x$ метров. Тогда мы можем составить пропорцию, чтобы связать известные и неизвестные величины:

138 м — 115%

$x$ м — 100%

Из этой пропорции следует равенство отношений:

$\frac{138}{115} = \frac{x}{100}$

Чтобы найти $x$, выразим его из этого уравнения:

$x = \frac{138 \cdot 100}{115}$

Выполним вычисления:

$x = \frac{13800}{115}$

$x = 120$

Таким образом, первоначальный план составлял 120 метров дороги.

Ответ: 120 м.

646. За обедом Пончик съел $28,8 \text{ кг}$ варенья, что составило $120 \text{ %}$ того, что он планировал съесть. Сколько варенья планировал съесть Пончик за обедом?

Для решения этой задачи необходимо найти исходное число (100%), зная, что определенное число (28,8 кг) составляет от него 120%.

Пусть $x$ кг — это количество варенья, которое Пончик планировал съесть. Это количество мы принимаем за 100%.

По условию задачи, Пончик фактически съел 28,8 кг варенья, что составило 120% от запланированного количества. Мы можем составить пропорцию для нахождения $x$.

Составим пропорцию:

$28,8$ кг — $120\%$

$x$ кг — $100\%$

Из пропорции получаем уравнение:

$\frac{28,8}{120} = \frac{x}{100}$

Чтобы найти $x$, нужно произведение крайних членов пропорции ($28,8$ и $100$) разделить на известный средний член ($120$):

$x = \frac{28,8 \cdot 100}{120}$

Выполним вычисления:

$x = \frac{2880}{120} = \frac{288}{12} = 24$

Таким образом, Пончик планировал съесть 24 кг варенья.

Ответ: 24 кг.

647. Во время сушки яблоки теряют $84\%$ своей массы. Сколько килограммов свежих яблок надо взять, чтобы получить $24\text{ кг}$ сушёных?

Примем массу свежих яблок за 100%. По условию задачи, во время сушки яблоки теряют 84% своей массы. Это означает, что после сушки остаётся некоторая часть от первоначальной массы. Вычислим, какой процент от массы свежих яблок составляет масса сушёных яблок:

$100\% - 84\% = 16\%$

Таким образом, 24 кг сушёных яблок составляют 16% от массы свежих яблок.

Пусть $x$ кг — это искомая масса свежих яблок (т.е. 100%). Мы можем составить пропорцию, чтобы найти значение $x$:

24 кг — 16%
$x$ кг — 100%

Из пропорции следует равенство:
$\frac{24}{x} = \frac{16}{100}$

Выразим $x$:
$x = \frac{24 \times 100}{16}$

Выполним вычисления:
$x = \frac{2400}{16} = 150$

Следовательно, чтобы получить 24 кг сушёных яблок, необходимо взять 150 кг свежих.

Ответ: 150 кг.

648. При тушении мясо теряет 24 % своей массы. Сколько килограммов сырого мяса надо взять, чтобы получить 19 кг тушёного?

Пусть $x$ кг — это начальная масса сырого мяса, которую необходимо взять. Эта масса составляет 100%.

По условию, при тушении мясо теряет 24% своей массы. Следовательно, масса готового тушёного мяса будет составлять процент от первоначальной массы:
$100\% - 24\% = 76\%$

Таким образом, 19 кг тушёного мяса — это 76% от исходной массы сырого мяса. Чтобы найти исходную массу ($x$), можно составить уравнение. Для этого переведём проценты в десятичную дробь: $76\% = 0,76$.

Уравнение будет выглядеть так:
$0,76 \cdot x = 19$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 19 на 0,76:
$x = \frac{19}{0,76}$

Выполним вычисление:
$x = \frac{1900}{76}$
Зная, что $76 = 19 \cdot 4$, можем сократить дробь:
$x = \frac{19 \cdot 100}{19 \cdot 4} = \frac{100}{4} = 25$

Следовательно, для получения 19 кг тушёного мяса необходимо взять 25 кг сырого мяса.

Ответ: 25 кг.

649. Налог на доходы составляет 13 % от заработной платы. После удержания налога инженер получил 30 450 р. Какая заработная плата была ему начислена?

Обозначим начисленную заработную плату инженера за $x$. Эта сумма принимается за 100%.

Налог на доходы составляет 13% от начисленной заработной платы. Это означает, что после удержания налога у инженера остается следующая часть от его зарплаты:

$100\% - 13\% = 87\%$

Из условия задачи мы знаем, что эта оставшаяся часть составляет 30 450 рублей. Таким образом, 30 450 рублей — это 87% от начисленной заработной платы.

Чтобы найти полную заработную плату ($x$, или 100%), составим пропорцию:

$x$ рублей — 100%

30 450 рублей — 87%

Из пропорции выразим $x$:

$x = \frac{30450 \cdot 100}{87}$

$x = \frac{3045000}{87}$

$x = 35000$

Следовательно, начисленная заработная плата инженера составляла 35 000 рублей.

Ответ: 35 000 р.

650. После подорожания на 20 % костюм стал стоить 8880 р. Какова была цена костюма до подорожания?

Пусть $x$ — это первоначальная цена костюма. Эту цену мы принимаем за 100%.

После подорожания на 20% новая цена стала составлять $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной цены.

Представим 120% в виде десятичной дроби для удобства расчетов: $120\% = 1,2$.

Согласно условию, новая цена костюма составляет 8880 рублей. Мы можем составить уравнение, чтобы найти первоначальную цену $x$:

$x \cdot 1,2 = 8880$

Чтобы найти $x$, нужно разделить новую цену на коэффициент 1,2:

$x = \frac{8880}{1,2}$

Для упрощения деления, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{88800}{12}$

$x = 7400$

Таким образом, цена костюма до подорожания составляла 7400 рублей.

Ответ: 7400 р.