Страница 124 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

662. В саду растут розы, гладиолусы и георгины. Розы составляют 60 % всех цветов, гладиолусы — 40 % количества роз, а георгинов растёт 32. Сколько роз растёт в саду?

Для решения задачи примем общее количество всех цветов в саду за 100%.

1. Найдем долю гладиолусов от общего числа цветов.

Розы составляют 60% всех цветов. Гладиолусы составляют 40% от количества роз. Чтобы найти, какой процент гладиолусы составляют от всех цветов, нужно найти 40% от 60%:

$0.40 \cdot 60\% = 24\%$

Таким образом, гладиолусы составляют 24% от общего числа цветов в саду.

2. Найдем долю георгинов от общего числа цветов.

Все цветы в саду — это розы, гладиолусы и георгины. Их общая доля составляет 100%. Мы знаем, что розы составляют 60%, а гладиолусы — 24%. Тогда доля георгинов равна:

$100\% - (60\% + 24\%) = 100\% - 84\% = 16\%$

3. Найдем общее количество цветов в саду.

Из условия известно, что георгинов растёт 32. Мы выяснили, что это составляет 16% от всех цветов. Пусть $x$ — это общее количество цветов. Тогда можно составить уравнение:

$0.16 \cdot x = 32$

Решим его, чтобы найти $x$:

$x = \frac{32}{0.16} = \frac{3200}{16} = 200$

Всего в саду растёт 200 цветов.

4. Найдем количество роз.

Розы составляют 60% от общего количества цветов. Теперь мы можем вычислить их точное количество:

$200 \cdot 0.60 = 120$

В саду растёт 120 роз.

Ответ: 120

663. Заполните пропуски в цепочке вычислений, если:

1) $x=2,6$

2) $x=8$

Цепочка вычислений:

Начало: $x$

Операция: $\cdot 0,8$

Операция: $- 0,19$

Блок условия: если

Ветвь: $> 3$

Операция: $- 0,45$

Операция: $ : 0,9$

Ветвь: $< 3$

Операция: $ : 0,9$

Операция: $ + 1,1$

1) Если $x = 2,6$, то проследим по цепочке вычислений:

Сначала умножаем $x$ на 0,8:

$2,6 \cdot 0,8 = 2,08$

Затем вычитаем 0,19:

$2,08 - 0,19 = 1,89$

Далее идет условие. Сравниваем полученный результат с числом 3:

$1,89 < 3$

Так как результат меньше 3, мы идем по нижней ветке вычислений. Делим на 0,9:

$1,89 : 0,9 = 2,1$

И, наконец, прибавляем 1,1:

$2,1 + 1,1 = 3,2$

Ответ: 3,2

2) Если $x = 8$, то проследим по цепочке вычислений:

Сначала умножаем $x$ на 0,8:

$8 \cdot 0,8 = 6,4$

Затем вычитаем 0,19:

$6,4 - 0,19 = 6,21$

Далее идет условие. Сравниваем полученный результат с числом 3:

$6,21 > 3$

Так как результат больше 3, мы идем по верхней ветке вычислений. Вычитаем 0,45:

$6,21 - 0,45 = 5,76$

И, наконец, делим на 0,9:

$5,76 : 0,9 = 6,4$

Ответ: 6,4

664. Решите уравнение:

1) $0,31x + 1,2 = 1,2124$;

2) $0,5x - 17 = 40,52$;

3) $4,6 - 0,03x = 1,3$;

4) $0,4x + 0,24x - 0,26 = 0,764$.

1) $0,31x + 1,2 = 1,2124$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $0,31x$, нужно из суммы $1,2124$ вычесть известное слагаемое $1,2$.

$0,31x = 1,2124 - 1,2$

$0,31x = 0,0124$

Теперь, чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение $0,0124$ разделить на известный множитель $0,31$.

$x = 0,0124 : 0,31$

Для удобства деления, умножим делимое и делитель на 100, чтобы делитель стал целым числом:

$x = 1,24 : 31$

$x = 0,04$

Ответ: $0,04$

2) $0,5x - 17 = 40,52$

Чтобы найти уменьшаемое $0,5x$, нужно к разности $40,52$ прибавить вычитаемое $17$.

$0,5x = 40,52 + 17$

$0,5x = 57,52$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение $57,52$ разделить на известный множитель $0,5$. Деление на $0,5$ равносильно умножению на 2.

$x = 57,52 : 0,5$

$x = 115,04$

Ответ: $115,04$

3) $4,6 - 0,03x = 1,3$

Чтобы найти вычитаемое $0,03x$, нужно из уменьшаемого $4,6$ вычесть разность $1,3$.

$0,03x = 4,6 - 1,3$

$0,03x = 3,3$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение $3,3$ разделить на известный множитель $0,03$.

$x = 3,3 : 0,03$

Для удобства деления, умножим делимое и делитель на 100:

$x = 330 : 3$

$x = 110$

Ответ: $110$

4) $0,4x + 0,24x - 0,26 = 0,764$

Сначала упростим левую часть уравнения, сложив слагаемые с переменной $x$.

$(0,4 + 0,24)x - 0,26 = 0,764$

$0,64x - 0,26 = 0,764$

Теперь у нас уравнение, аналогичное второму пункту. Чтобы найти уменьшаемое $0,64x$, нужно к разности $0,764$ прибавить вычитаемое $0,26$.

$0,64x = 0,764 + 0,26$

$0,64x = 1,024$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение $1,024$ на известный множитель $0,64$.

$x = 1,024 : 0,64$

Умножим делимое и делитель на 100:

$x = 102,4 : 64$

$x = 1,6$

Ответ: $1,6$

665. От двух пристаней, расстояние между которыми равно $63 \text{ км}$, навстречу друг другу одновременно отплыли две моторные лодки. Скорость первой лодки равна $16 \text{ км/ч}$. Через 2 ч 6 мин после начала движения лодки встретились. Найдите скорость второй лодки.

Для решения задачи воспользуемся понятием скорости сближения. Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей.

1. Переведем время в часы.

Время движения лодок до встречи дано как 2 часа 6 минут. Поскольку скорость выражена в км/ч, необходимо перевести минуты в часы. В одном часе 60 минут.

$6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = \frac{1}{10} \text{ ч} = 0.1 \text{ ч}$

Таким образом, общее время движения $t$ составляет:

$t = 2 \text{ ч} + 0.1 \text{ ч} = 2.1 \text{ ч}$

2. Найдем скорость сближения.

Скорость сближения ($v_{сбл}$) можно найти, разделив общее расстояние ($S$) на время ($t$), через которое лодки встретились.

$v_{сбл} = \frac{S}{t} = \frac{63 \text{ км}}{2.1 \text{ ч}}$

Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель на 10:

$v_{сбл} = \frac{630}{21} = 30 \text{ км/ч}$

3. Найдем скорость второй лодки.

Скорость сближения равна сумме скоростей первой ($v_1$) и второй ($v_2$) лодок:

$v_{сбл} = v_1 + v_2$

Отсюда можно выразить скорость второй лодки:

$v_2 = v_{сбл} - v_1$

Подставим известные значения:

$v_2 = 30 \text{ км/ч} - 16 \text{ км/ч} = 14 \text{ км/ч}$

Ответ: 14 км/ч.

666. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы трёхзначное число $ \*8\* $ делилось нацело на 9. Найдите все возможные варианты.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид $\overline{a8b}$, где $a$ — цифра сотен, а $b$ — цифра единиц.

Поскольку число является трёхзначным, первая цифра $a$ не может быть равна нулю, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Цифра единиц $b$ может быть любой цифрой от 0 до 9, то есть $b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр нашего числа равна $S = a + 8 + b$. Эта сумма должна быть кратна 9.

Определим диапазон возможных значений для суммы $S$:
Минимальное значение суммы (при $a=1, b=0$): $S_{min} = 1 + 8 + 0 = 9$.
Максимальное значение суммы (при $a=9, b=9$): $S_{max} = 9 + 8 + 9 = 26$.

Следовательно, сумма цифр $S$ должна быть кратна 9 и находиться в пределах от 9 до 26 включительно. Этому условию удовлетворяют два числа: 9 и 18.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Сумма цифр равна 9
$a + 8 + b = 9$
$a + b = 9 - 8$
$a + b = 1$
Учитывая, что $a \neq 0$, единственным решением этого уравнения в натуральных числах и нуле является $a=1$ и $b=0$. Это даёт нам число 180.

Случай 2: Сумма цифр равна 18
$a + 8 + b = 18$
$a + b = 18 - 8$
$a + b = 10$
Найдём все пары цифр $a$ и $b$, удовлетворяющие этому равенству (при $a \neq 0$):
- если $a=1$, то $b=9$ (число 189)
- если $a=2$, то $b=8$ (число 288)
- если $a=3$, то $b=7$ (число 387)
- если $a=4$, то $b=6$ (число 486)
- если $a=5$, то $b=5$ (число 585)
- если $a=6$, то $b=4$ (число 684)
- если $a=7$, то $b=3$ (число 783)
- если $a=8$, то $b=2$ (число 882)
- если $a=9$, то $b=1$ (число 981)

Таким образом, мы нашли все возможные варианты, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 180, 189, 288, 387, 486, 585, 684, 783, 882, 981.

667. Из плохо закрытого по небрежности водопроводного крана каждую секунду вытекает одна капля воды.

1) Сколько граммов воды вытечет за сутки, если масса 100 капель равна 7 г? Округлите ответ до тысячи граммов и выразите в килограммах.

2) Сколько тонн воды вытечет за сутки, если в городе 120 000 квартир, в каждой из которых плохо закрыт кран?

3) Сколько дней можно было бы поливать вытекшей во всём городе водой огород площадью 10 а, на котором высажена капуста, если для полива $1 \text{ м}^2$ огорода требуется 15 л воды в сутки?

1)

Сначала найдем количество секунд в сутках. В сутках 24 часа, в каждом часе 60 минут, а в каждой минуте 60 секунд.

Количество секунд в сутках = $24 \times 60 \times 60 = 86400$ секунд.

Поскольку каждую секунду вытекает одна капля воды, за сутки вытечет 86400 капель.

Теперь найдем массу одной капли. Известно, что масса 100 капель равна 7 г.

Масса одной капли = $\frac{7 \text{ г}}{100} = 0.07$ г.

Вычислим общую массу воды, которая вытечет из одного крана за сутки:

Общая масса = $86400 \text{ капель} \times 0.07 \text{ г/капля} = 6048$ г.

Согласно условию, необходимо округлить ответ до тысячи граммов. Число 6048 г ближе к 6000 г, чем к 7000 г. Таким образом, округленное значение равно 6000 г.

Далее выразим эту массу в килограммах. В 1 килограмме 1000 граммов.

$6000 \text{ г} = \frac{6000}{1000} = 6$ кг.

Ответ: 6000 г, или 6 кг.

2)

Для этого расчета будем использовать точное значение массы воды, вытекающей из одного крана за сутки (6048 г), чтобы избежать погрешности из-за округления.

В городе 120 000 квартир, и в каждой из них есть плохо закрытый кран.

Найдем общую массу воды, вытекшей за сутки во всем городе:

Общая масса = $6048 \text{ г/квартира} \times 120000 \text{ квартир} = 725760000$ г.

Теперь переведем эту массу в тонны. В 1 тонне содержится 1000 килограммов, а в 1 килограмме — 1000 граммов. Следовательно, 1 тонна = 1 000 000 граммов.

Общая масса в тоннах = $\frac{725760000 \text{ г}}{1000000 \text{ г/т}} = 725.76$ т.

Ответ: 725.76 т.

3)

Сначала определим площадь огорода в квадратных метрах. 1 ар (сотка) равен 100 м².

Площадь огорода = $10 \text{ а} \times 100 \text{ м²/а} = 1000$ м².

Теперь вычислим, сколько литров воды требуется для полива всего огорода в сутки. Для полива 1 м² требуется 15 л воды.

Суточная потребность в воде = $1000 \text{ м²} \times 15 \frac{\text{л}}{\text{м²}} = 15000$ л.

Найдем общий объем воды, вытекшей во всём городе за сутки. Из пункта 2 мы знаем массу этой воды — 725 760 000 г. Плотность воды принимается равной 1 г/мл, что эквивалентно 1 кг/л. Это означает, что масса воды в килограммах численно равна ее объему в литрах.

Масса воды в кг = $\frac{725760000 \text{ г}}{1000 \text{ г/кг}} = 725760$ кг.

Объем вытекшей воды = $725760$ л.

Наконец, разделим общий объем вытекшей воды на суточную потребность огорода, чтобы найти, на сколько дней хватит этой воды:

Количество дней = $\frac{\text{Общий объем}}{\text{Суточная потребность}} = \frac{725760 \text{ л}}{15000 \text{ л/день}} = 48.384$ дня.

Таким образом, вытекшей воды хватит на 48 полных дней полива.

Ответ: 48 дней.

668. Для просмотра фильма в зрительном зале собрались ученики нескольких школ. Оказалось, что ученики одной из школ составляют 47 % количества зрителей. Сколько всего зрителей было в зале, если в нём 280 мест и более половины мест было занято?

Пусть $N$ — общее количество зрителей в зале.

Из условия задачи известно, что ученики одной из школ составляют 47% от общего количества зрителей. Это означает, что число учеников из этой школы равно $N \cdot \frac{47}{100}$. Так как количество учеников должно быть целым числом, а числа 47 и 100 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), то общее количество зрителей $N$ должно делиться на 100 без остатка. Таким образом, возможные значения для $N$ — это 100, 200, 300 и так далее.

Также по условию в зале всего 280 мест. Количество зрителей не может превышать количество мест, следовательно, $N \le 280$. Это ограничивает возможные значения для $N$ числами 100 и 200.

Третье условие гласит, что было занято более половины мест. Общее количество мест — 280, половина от этого числа составляет $280 / 2 = 140$. Значит, количество зрителей должно быть строго больше 140, то есть $N > 140$.

Теперь объединим все полученные условия для $N$:
1. $N$ должно быть кратно 100.
2. $N \le 280$.
3. $N > 140$.

Из первого и второго условий следует, что $N$ может быть равно 100 или 200. Сравнивая эти значения с третьим условием ($N > 140$):
- Число 100 не удовлетворяет условию $100 > 140$.
- Число 200 удовлетворяет условию $200 > 140$.

Следовательно, единственное возможное количество зрителей в зале — 200.
Ответ: 200