Номер 666, страница 124 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Нахождение числа по его процентам. Глава 3. Дроби - номер 666, страница 124.

Условие.

666. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы трёхзначное число $ \*8\* $ делилось нацело на 9. Найдите все возможные варианты.

Решение.

Решение 2.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид $\overline{a8b}$, где $a$ — цифра сотен, а $b$ — цифра единиц.

Поскольку число является трёхзначным, первая цифра $a$ не может быть равна нулю, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Цифра единиц $b$ может быть любой цифрой от 0 до 9, то есть $b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр нашего числа равна $S = a + 8 + b$. Эта сумма должна быть кратна 9.

Определим диапазон возможных значений для суммы $S$:
Минимальное значение суммы (при $a=1, b=0$): $S_{min} = 1 + 8 + 0 = 9$.
Максимальное значение суммы (при $a=9, b=9$): $S_{max} = 9 + 8 + 9 = 26$.

Следовательно, сумма цифр $S$ должна быть кратна 9 и находиться в пределах от 9 до 26 включительно. Этому условию удовлетворяют два числа: 9 и 18.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Сумма цифр равна 9
$a + 8 + b = 9$
$a + b = 9 - 8$
$a + b = 1$
Учитывая, что $a \neq 0$, единственным решением этого уравнения в натуральных числах и нуле является $a=1$ и $b=0$. Это даёт нам число 180.

Случай 2: Сумма цифр равна 18
$a + 8 + b = 18$
$a + b = 18 - 8$
$a + b = 10$
Найдём все пары цифр $a$ и $b$, удовлетворяющие этому равенству (при $a \neq 0$):
- если $a=1$, то $b=9$ (число 189)
- если $a=2$, то $b=8$ (число 288)
- если $a=3$, то $b=7$ (число 387)
- если $a=4$, то $b=6$ (число 486)
- если $a=5$, то $b=5$ (число 585)
- если $a=6$, то $b=4$ (число 684)
- если $a=7$, то $b=3$ (число 783)
- если $a=8$, то $b=2$ (число 882)
- если $a=9$, то $b=1$ (число 981)

Таким образом, мы нашли все возможные варианты, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 180, 189, 288, 387, 486, 585, 684, 783, 882, 981.