Страница 118 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

613. В саду росло 1500 деревьев, из них 60 % составляли фруктовые деревья. Вишнёвые деревья составляли 52 % фруктовых деревьев. Сколько вишнёвых деревьев росло в саду?

Для того чтобы найти количество вишнёвых деревьев, необходимо выполнить два действия.

1. Сначала определим количество фруктовых деревьев в саду. Известно, что они составляют 60% от общего числа деревьев, которое равно 1500. Для этого найдём 60% от 1500:

$1500 \cdot \frac{60}{100} = 15 \cdot 60 = 900$ (фруктовых деревьев).

2. Теперь, зная, что в саду 900 фруктовых деревьев, мы можем найти количество вишнёвых деревьев. Они составляют 52% от числа фруктовых деревьев. Найдём 52% от 900:

$900 \cdot \frac{52}{100} = 9 \cdot 52 = 468$ (вишнёвых деревьев).

Ответ: 468

614. Убытки акционерного общества «Лебедь, рак и щука» за три летних месяца составили 246 000 р. В июне убытки составили 35 % этой суммы, а финансовые потери за июль составили 110 % июньских потерь. Сколько рублей составили потери акционерного общества в июле?

Чтобы найти сумму потерь акционерного общества в июле, необходимо сначала рассчитать убытки за июнь, а затем на основе этой суммы найти потери за июль.

1. Расчет убытков за июнь.
Общая сумма убытков за три месяца составляет 246 000 рублей. Убытки за июнь составили 35% от этой суммы. Чтобы найти 35%, нужно умножить общую сумму на 0,35.
$246\,000 \text{ р.} \cdot \frac{35}{100} = 246\,000 \text{ р.} \cdot 0,35 = 86\,100 \text{ р.}$
Таким образом, убытки за июнь составили 86 100 рублей.

2. Расчет потерь за июль.
Финансовые потери за июль составили 110% от июньских потерь. Теперь, зная, что убытки за июнь равны 86 100 рублей, найдем 110% от этой величины. Для этого нужно умножить сумму июньских убытков на 1,1.
$86\,100 \text{ р.} \cdot \frac{110}{100} = 86\,100 \text{ р.} \cdot 1,1 = 94\,710 \text{ р.}$
Следовательно, потери акционерного общества в июле составили 94 710 рублей.

Ответ: 94 710 рублей.

615. Длина прямоугольника равна 80 см, его ширина составляет 80 % длины. Найдите периметр и площадь прямоугольника.

Для начала определим ширину прямоугольника. По условию, его длина $a = 80$ см, а ширина $b$ составляет 80% от длины. Чтобы найти ширину, переведем проценты в десятичную дробь и умножим на длину:
$b = 80 \text{ см} \cdot \frac{80}{100} = 80 \cdot 0.8 = 64 \text{ см}$.

Периметр прямоугольника
Периметр прямоугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Он вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$. Подставим известные значения длины и ширины:
$P = 2 \cdot (80 + 64) = 2 \cdot 144 = 288 \text{ см}$.
Ответ: периметр прямоугольника равен 288 см.

Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины на ширину по формуле $S = a \cdot b$. Подставим известные значения:
$S = 80 \cdot 64 = 5120 \text{ см}^2$.
Ответ: площадь прямоугольника равна 5120 см².

616. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 60 см, его ширина составляет 70 % длины, а высота – 125 % длины. Вычислите объём параллелепипеда.

Для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда воспользуемся формулой $V = l \cdot w \cdot h$, где $l$ — длина, $w$ — ширина, и $h$ — высота.

1. По условию задачи, нам известна длина: $l = 60$ см.

2. Найдём ширину $w$, которая составляет 70% от длины. Для этого умножим длину на долю, соответствующую процентам:
$w = 60 \cdot \frac{70}{100} = 60 \cdot 0.7 = 42$ см.

3. Найдём высоту $h$, которая составляет 125% от длины:
$h = 60 \cdot \frac{125}{100} = 60 \cdot 1.25 = 75$ см.

4. Теперь, зная все три измерения, можем вычислить объём, перемножив их значения:
$V = 60 \text{ см} \cdot 42 \text{ см} \cdot 75 \text{ см} = 189000 \text{ см}^3$.

Ответ: $189000 \text{ см}^3$.

617. Ширина прямоугольника равна $40 \text{ см}$, его длина составляет $135 \%$ ширины. Найдите периметр и площадь прямоугольника.

Для решения задачи сначала необходимо найти длину прямоугольника. По условию, ширина равна 40 см, а длина составляет 135% от ширины.

1. Найдем длину прямоугольника.

Чтобы найти 135% от 40, нужно умножить 40 на 135 и разделить на 100, или умножить 40 на десятичное представление 135%, то есть на 1,35.

Длина = $40 \text{ см} \cdot \frac{135}{100} = 40 \cdot 1,35 = 54 \text{ см}$.

Итак, мы имеем прямоугольник с шириной 40 см и длиной 54 см.

2. Найдите периметр прямоугольника

Периметр прямоугольника ($P$) – это сумма длин всех его сторон. Он вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.

Подставим наши значения:

$P = 2 \cdot (54 \text{ см} + 40 \text{ см}) = 2 \cdot 94 \text{ см} = 188 \text{ см}$.

Ответ: 188 см.

3. Найдите площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.

Подставим наши значения:

$S = 54 \text{ см} \cdot 40 \text{ см} = 2160 \text{ см}^2$.

Ответ: 2160 см².

618. Длина тормозного пути по сухому асфальту при скорости движения автомобиля 40 км/ч составляет 0,026 % величины его скорости. Какой будет длина тормозного пути автомобиля (в метрах)?

По условию задачи, длина тормозного пути составляет 0,026 % от величины скорости, которая равна 40 км/ч. Для решения задачи необходимо сначала найти эту величину, а затем перевести ее в метры.

1. Вычислим 0,026 % от 40. Для этого переведем проценты в десятичную дробь, разделив их на 100:

$0,026\% = \frac{0,026}{100} = 0,00026$

2. Теперь умножим полученную дробь на величину скорости. Поскольку скорость дана в км/ч, результат вычисления будет выражен в километрах:

$S = 40 \times 0,00026 = 0,0104 \text{ км}$

3. Вопрос требует дать ответ в метрах. Переведем полученное значение из километров в метры. В одном километре содержится 1000 метров:

$S = 0,0104 \text{ км} \times 1000 \frac{\text{м}}{\text{км}} = 10,4 \text{ м}$

Ответ: 10,4 м.

619. Сергей Иванович положил в банк 14 000 р. под 10 % годовых. Какая сумма будет на его счёте через год? через два года? (Никаких операций, кроме начисления процентов, в это время со счётом производиться не будет.)

Это задача на начисление сложных процентов, так как проценты за каждый последующий год начисляются на сумму, которая уже включает в себя проценты, начисленные за предыдущий год.

через год?
Чтобы рассчитать сумму на счёте через один год, нужно найти 10% от начальной суммы и прибавить их к ней.
1. Находим сумму процентов, начисленных за первый год:
$14000 \cdot \frac{10}{100} = 14000 \cdot 0,1 = 1400$ р.
2. Прибавляем начисленные проценты к первоначальному вкладу, чтобы получить итоговую сумму через год:
$14000 + 1400 = 15400$ р.
Ответ: 15400 р.

через два года?
Проценты за второй год начисляются на сумму, которая была на счёте в конце первого года, то есть на 15400 р.
1. Находим сумму процентов, начисленных за второй год:
$15400 \cdot \frac{10}{100} = 15400 \cdot 0,1 = 1540$ р.
2. Прибавляем проценты за второй год к сумме, которая была на счёте после первого года:
$15400 + 1540 = 16940$ р.

Этот же результат можно получить, используя общую формулу сложных процентов $S_n = S_0 \cdot (1 + r)^n$, где $S_0$ – начальная сумма, $r$ – годовая процентная ставка в долях, $n$ – количество лет:
$S_2 = 14000 \cdot (1 + 0,1)^2 = 14000 \cdot 1,1^2 = 14000 \cdot 1,21 = 16940$ р.
Ответ: 16940 р.

620. Отправившись в морское путешествие, экипаж яхты взял с собой 2400 л пресной воды. Каждую неделю он тратил $15\%$ того запаса воды, который у него был в начале этой недели. Сколько литров воды осталось через неделю путешествия? через две недели?

Сколько литров воды осталось через неделю путешествия?
Изначальный запас воды составляет 2400 литров. За первую неделю экипаж потратил 15% от этого запаса.
1. Вычислим, сколько литров воды было израсходовано за первую неделю:
$2400 \times \frac{15}{100} = 24 \times 15 = 360$ литров.
2. Теперь найдем, сколько воды осталось после первой недели, вычтя израсходованное количество из начального запаса:
$2400 - 360 = 2040$ литров.

Альтернативный способ:
Если было израсходовано 15% воды, то осталось $100\% - 15\% = 85\%$ от начального запаса.
Найдем 85% от 2400 литров:
$2400 \times 0.85 = 2040$ литров.
Ответ: 2040 литров.

через две недели?
К началу второй недели запас воды составлял 2040 литров. За вторую неделю было израсходовано 15% от этого нового количества, а не от первоначального.
1. Вычислим объем воды, израсходованной за вторую неделю:
$2040 \times \frac{15}{100} = 20.4 \times 15 = 306$ литров.
2. Теперь найдем остаток воды после второй недели, вычтя израсходованный объем из запаса, который был на начало второй недели:
$2040 - 306 = 1734$ литра.

Альтернативный способ:
Остаток после второй недели составит 85% от запаса на начало второй недели:
$2040 \times 0.85 = 1734$ литра.
Ответ: 1734 литра.

621. В ноябре телевизор стоил 22 000 р. С 1 декабря цену телевизора повысили на 15 %. В середине декабря в магазине объявили о начале предновогодней распродажи и снизили цены на телевизоры на 10 %. Когда было выгоднее купить телевизор: в ноябре или во время распродажи?

Для того чтобы определить, когда было выгоднее купить телевизор, необходимо последовательно рассчитать его стоимость после всех изменений и сравнить итоговую цену с первоначальной.

1. Начальная цена телевизора в ноябре составляла 22 000 рублей.

2. С 1 декабря цену повысили на 15%. Чтобы найти новую цену, нужно увеличить исходную на 15%. Это эквивалентно умножению на 1.15.

Новая цена = $22000 \times (1 + \frac{15}{100}) = 22000 \times 1.15 = 25300$ рублей.

3. В середине декабря цену, которая составляла 25 300 рублей, снизили на 10% в рамках распродажи. Чтобы найти цену со скидкой, нужно уменьшить текущую цену на 10%. Это эквивалентно умножению на 0.9.

Цена во время распродажи = $25300 \times (1 - \frac{10}{100}) = 25300 \times 0.9 = 22770$ рублей.

4. Теперь сравним цену телевизора в ноябре и его цену во время распродажи:

Цена в ноябре: 22 000 рублей.
Цена во время распродажи: 22 770 рублей.

Сравнивая эти две стоимости, получаем: $22000 < 22770$.

Следовательно, покупка телевизора в ноябре была более выгодной.

Ответ: выгоднее было купить телевизор в ноябре.

622. Пальто стоило 6000 р. Вначале его цену понизили на $5\%$, а потом повысили на $5\%$. Какой стала новая цена пальто?

Чтобы найти новую цену пальто, необходимо выполнить два последовательных действия: сначала понизить первоначальную цену на 5%, а затем повысить полученную цену на 5%.

1. Понижение цены на 5%

Первоначальная стоимость пальто — 6000 рублей. Найдем сумму скидки, которая составляет 5% от этой стоимости:

$6000 \times \frac{5}{100} = 300$ рублей.

Теперь вычтем сумму скидки из первоначальной цены, чтобы получить новую цену:

$6000 - 300 = 5700$ рублей.

2. Повышение цены на 5%

Теперь полученную цену в 5700 рублей нужно повысить на 5%. Важно учесть, что 5% теперь рассчитываются от новой, уменьшенной цены. Найдем сумму, на которую цена повысится:

$5700 \times \frac{5}{100} = 285$ рублей.

Прибавим эту сумму к цене после скидки, чтобы найти окончательную стоимость пальто:

$5700 + 285 = 5985$ рублей.

Таким образом, итоговая цена пальто стала 5985 рублей, что меньше первоначальной цены.

Ответ: 5985 рублей.

623. В столовую привезли 405 кг овощей: капусту, морковь и картофель. Масса моркови составляла $32\%$ массы капусты, масса картофеля – $138\%$ массы капусты. Сколько килограммов капусты привезли в столовую?

Для решения задачи введем переменную. Пусть масса капусты, привезенной в столовую, составляет $x$ кг.

Из условия известно, что масса моркови составляла 32% от массы капусты. Чтобы найти проценты от числа, нужно это число умножить на дробь, соответствующую процентам.
$32\% = 0.32$
Следовательно, масса моркови равна $0.32x$ кг.

Аналогично, масса картофеля составляла 138% от массы капусты.
$138\% = 1.38$
Следовательно, масса картофеля равна $1.38x$ кг.

Общая масса всех овощей составляет 405 кг. Сложим массы капусты, моркови и картофеля и приравняем к общему весу, чтобы составить уравнение:
$x + 0.32x + 1.38x = 405$

Теперь решим полученное уравнение. Упростим левую часть, сложив коэффициенты при $x$:
$(1 + 0.32 + 1.38)x = 405$
$2.7x = 405$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2.7:
$x = \frac{405}{2.7}$
Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:
$x = \frac{4050}{27}$
$x = 150$

Таким образом, масса капусты, которую привезли в столовую, равна 150 кг.

Ответ: 150 кг.

624. Рабочие Фёдоров, Иванов и Петров получили премию в размере 18 000 р. Премия Иванова составляла $64 \, \%$ премии Фёдорова, а премия Петрова – $76 \, \%$ премии Фёдорова. Сколько рублей составляла премия каждого из них?

Пусть премия Фёдорова составляет $x$ рублей. Тогда премию Иванова и премию Петрова можно выразить через $x$.

Премия Иванова составляет 64% от премии Фёдорова. Чтобы найти проценты от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить на это число:

$64\% = 0.64$

Премия Иванова: $0.64x$ рублей.

Премия Петрова составляет 76% от премии Фёдорова:

$76\% = 0.76$

Премия Петрова: $0.76x$ рублей.

Общая сумма премии, полученной тремя рабочими, равна 18 000 рублей. Составим уравнение, сложив премии всех троих:

$x + 0.64x + 0.76x = 18000$

Решим это уравнение:

$(1 + 0.64 + 0.76)x = 18000$

$2.4x = 18000$

$x = 18000 / 2.4$

$x = 180000 / 24$

$x = 7500$

Таким образом, премия Фёдорова составляет 7500 рублей.

Теперь найдем, сколько получили Иванов и Петров:

Премия Иванова: $0.64 \cdot 7500 = 4800$ рублей.

Премия Петрова: $0.76 \cdot 7500 = 5700$ рублей.

Проверим, что общая сумма сходится:

$7500 + 4800 + 5700 = 18000$ рублей.

Ответ: премия Фёдорова составила 7500 рублей, премия Иванова — 4800 рублей, премия Петрова — 5700 рублей.