Страница 120 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

631. Инна испекла пирожки с повидлом и угостила ими своих друзей. Они съели 24 пирожка, после чего у Инны осталась $\frac{1}{5}$ всех пирожков.

Сколько всего пирожков испекла девочка?

Пусть $x$ – общее количество пирожков, которые испекла Инна.

Согласно условию задачи, после того как друзья съели 24 пирожка, у Инны осталась $\frac{1}{5}$ всех пирожков. Это означает, что съеденные 24 пирожка составляют ту часть, которая была съедена.

1. Вычислим, какая часть пирожков была съедена. Если все пирожки принять за 1, то съеденная часть равна:
$1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

2. Таким образом, 24 съеденных пирожка составляют $\frac{4}{5}$ от общего количества. Чтобы найти общее количество пирожков ($x$), нужно число, соответствующее части (24), разделить на эту часть ($\frac{4}{5}$):
$x = 24 \div \frac{4}{5} = 24 \cdot \frac{5}{4} = \frac{24 \cdot 5}{4} = 6 \cdot 5 = 30$

Следовательно, Инна испекла 30 пирожков.

Проверка:
Всего пирожков – 30.
Осталось $\frac{1}{5}$ от 30, то есть $30 \cdot \frac{1}{5} = 6$ пирожков.
Съели $30 - 6 = 24$ пирожка, что соответствует условию задачи.

Ответ: 30 пирожков.

632. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:

1) $m \xrightarrow{\cdot 0,75} 15 \xrightarrow{- x} 2,56 \xrightarrow{: n} 3,2;$

2) $a \xrightarrow{\cdot 2,6} 27,04 \xrightarrow{+ b} 30 \xrightarrow{: c} 125.$

1)

Для первой цепочки вычислений $m \xrightarrow{\cdot 0,75} 15 \xrightarrow{-x} 2,56 \xrightarrow{:n} 3,2$ необходимо найти значения $m$, $x$ и $n$. Решим последовательно три уравнения:

1. Находим $m$:
$m \cdot 0,75 = 15$
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
$m = 15 : 0,75 = 20$

2. Находим $x$:
$15 - x = 2,56$
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 15 - 2,56 = 12,44$

3. Находим $n$:
$2,56 : n = 3,2$
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
$n = 2,56 : 3,2 = 0,8$

Ответ: $m=20$, $x=12,44$, $n=0,8$.

2)

Для второй цепочки вычислений $a \xrightarrow{\cdot 2,6} 27,04 \xrightarrow{+b} 30 \xrightarrow{:c} 125$ необходимо найти значения $a$, $b$ и $c$. Решим последовательно три уравнения:

1. Находим $a$:
$a \cdot 2,6 = 27,04$
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
$a = 27,04 : 2,6 = 10,4$

2. Находим $b$:
$27,04 + b = 30$
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$b = 30 - 27,04 = 2,96$

3. Находим $c$:
$30 : c = 125$
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
$c = 30 : 125 = 0,24$

Ответ: $a=10,4$, $b=2,96$, $c=0,24$.

633. Иван Трудолюб собрал по 1200 ц кукурузы с одного гектара поля, площадь которого составляла 12,5 га. Для перевозки урожая он арендовал грузовики, каждый из которых перевозил по 2,5 т и сделал по 15 рейсов. Сколько грузовиков арендовал Иван Трудолюб?

1. Найдем общий вес собранного урожая.
Для этого необходимо умножить урожайность с одного гектара на общую площадь поля.
$1200 \text{ ц/га} \cdot 12,5 \text{ га} = 15000 \text{ ц}$.
Таким образом, общий вес урожая кукурузы составляет 15000 центнеров.

2. Переведем вес урожая в тонны.
Грузоподъемность грузовиков указана в тоннах, поэтому для удобства расчетов переведем общий вес урожая в тонны. Мы знаем, что 1 тонна равна 10 центнерам ($1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$).
$15000 \text{ ц} : 10 \text{ ц/т} = 1500 \text{ т}$.
Общий вес урожая равен 1500 тонн.

3. Рассчитаем, какой вес урожая может перевезти один грузовик.
Каждый грузовик перевозил по 2,5 тонны за один рейс и сделал 15 рейсов. Чтобы найти общую массу, перевезенную одним грузовиком, умножим его грузоподъемность на количество рейсов.
$2,5 \text{ т} \cdot 15 = 37,5 \text{ т}$.
Один грузовик перевез 37,5 тонны кукурузы.

4. Найдем количество арендованных грузовиков.
Чтобы узнать, сколько грузовиков потребовалось для перевозки всего урожая, разделим общий вес урожая на вес, который перевез один грузовик.
$1500 \text{ т} : 37,5 \text{ т} = 40 \text{ грузовиков}$.

Ответ: 40 грузовиков.

634. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 260 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 70 км/ч, а скорость второго – 60 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 2,5 ч после начала движения?

1. Найдем расстояние, которое проехал первый автомобиль за 2,5 часа.
Для этого умножим его скорость на время в пути по формуле $S = v \times t$.
$S_1 = 70 \text{ км/ч} \times 2,5 \text{ ч} = 175 \text{ км}$.

2. Найдем расстояние, которое проехал второй автомобиль за 2,5 часа.
Аналогично, умножим скорость второго автомобиля на время.
$S_2 = 60 \text{ км/ч} \times 2,5 \text{ ч} = 150 \text{ км}$.

3. Найдем общее расстояние, которое преодолели оба автомобиля.
Сложим расстояния, пройденные каждым автомобилем, чтобы узнать, на сколько изменилось расстояние между ними.
$S_{\text{общ}} = S_1 + S_2 = 175 \text{ км} + 150 \text{ км} = 325 \text{ км}$.

4. Определим итоговое расстояние между автомобилями.
Изначальное расстояние между пунктами составляло 260 км. Поскольку общее расстояние, пройденное автомобилями (325 км), больше начального, это означает, что они встретились и продолжили движение, удаляясь друг от друга. Чтобы найти текущее расстояние между ними, нужно из общего пройденного пути вычесть начальное расстояние.
$S_{\text{финал}} = 325 \text{ км} - 260 \text{ км} = 65 \text{ км}$.

Ответ: 65 км.

635. В 6 классе диктант по русскому языку писали 30 учеников. Вася Ленивцев сделал больше всех ошибок – 14. Покажите, что по крайней мере три ученика сделали одинаковое количество ошибок (в этом классе могли быть ученики, которые не сделали ни одной ошибки).

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле.

По условию, в классе 30 учеников. Вася Ленивцев сделал 14 ошибок, и это больше, чем у любого другого ученика. Это означает, что остальные ученики сделали от 0 до 13 ошибок включительно.

Рассмотрим всех учеников, кроме Васи. Их количество: $30 - 1 = 29$.

Возможные варианты количества ошибок, которые могли допустить эти 29 учеников, — это целые числа от 0 до 13. Подсчитаем количество таких вариантов: $13 - 0 + 1 = 14$ вариантов.

Теперь у нас есть 29 учеников ("голубей"), которых нужно распределить по 14 возможным категориям числа ошибок ("ящикам").

Предположим от противного: пусть в каждой категории (с одинаковым числом ошибок) находится не более двух учеников. В таком случае максимальное количество учеников в классе (кроме Васи) было бы $14 \text{ (категорий)} \times 2 \text{ (ученика)} = 28$.

Но у нас 29 учеников (не считая Васю). Это создает противоречие. Значит, наше предположение неверно, и обязательно найдется такая категория числа ошибок, в которую попадут как минимум три ученика.

Иначе говоря, согласно обобщенному принципу Дирихле, если 29 учеников распределить по 14 категориям, то хотя бы в одной категории окажется не менее $\lceil 29 / 14 \rceil = 3$ учеников.

Таким образом, доказано, что по крайней мере три ученика сделали одинаковое количество ошибок.

Ответ: Утверждение доказано.