Страница 121 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Как найти число по его процентам?

Чтобы найти число по его процентам (то есть найти целое, 100%), зная значение некоторой его части, можно использовать один из следующих способов.

Способ 1: Через нахождение 1%

Этот метод заключается в том, чтобы сначала определить, чему равен один процент от искомого числа, а затем умножить это значение на 100.

1. Разделите известное значение (часть числа) на количество процентов, которому оно соответствует. В результате вы найдете значение 1% от искомого числа.
2. Умножьте полученное значение на 100, чтобы найти целое число (100%).

Пример: Найти число, если 20% от него равны 40.

1. Найдем, чему равен 1% от числа: $40 \div 20 = 2$.

2. Теперь найдем целое число (100%): $2 \times 100 = 200$.

Ответ: 200.

Способ 2: Через десятичную дробь

Этот способ предполагает перевод процентов в десятичную дробь с последующим делением.

1. Переведите проценты в десятичную дробь, разделив их на 100.
2. Разделите известное значение (часть числа) на полученную десятичную дробь.

Пример: Найти число, если 20% от него равны 40.

1. Переведем 20% в десятичную дробь: $20\% = 20 \div 100 = 0.2$.

2. Разделим известное значение на эту дробь: $40 \div 0.2 = 200$.

Ответ: 200.

Способ 3: С помощью пропорции

Это универсальный способ, основанный на составлении и решении пропорции.

1. Составьте пропорцию: искомое число (пусть будет $x$) относится к 100%, как известная часть числа относится к своему процентному выражению.
2. Решите пропорцию относительно $x$.

Пример: Найти число, если 20% от него равны 40.

1. Составим пропорцию:

$x$ — 100%

40 — 20%

2. Из пропорции $x / 40 = 100 / 20$ найдем $x$:

$x = \frac{40 \times 100}{20} = \frac{4000}{20} = 200$.

Ответ: 200.

В общем виде, если нам известно, что значение $A$ составляет $p$% от некоторого числа $X$, то это число $X$ можно найти по формуле:

$X = \frac{A \cdot 100}{p}$

1. Золотую медаль за успехи в учёбе получили 14 выпускников, что составляет $ \frac{1}{100} $ всех учащихся школы. Сколько учащихся в этой школе?

По условию задачи, 14 выпускников, получивших золотую медаль, составляют $\frac{1}{100}$ всех учащихся школы. Чтобы найти общее количество учащихся, зная его часть, нужно число, соответствующее этой части, разделить на дробь, которая эту часть выражает.
Пусть $x$ – общее количество учащихся в школе. Тогда можно составить следующее уравнение:
$\frac{1}{100} \cdot x = 14$
Чтобы найти $x$, нужно 14 разделить на $\frac{1}{100}$:
$x = 14 \div \frac{1}{100}$
Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:
$x = 14 \cdot \frac{100}{1} = 14 \cdot 100 = 1400$
Следовательно, в школе всего 1400 учащихся.
Ответ: 1400 учащихся.

2. Возраст Светы составляет $ \frac{2}{9} $ возраста её отца. Сколько лет отцу, если Свете 8 лет?

Для решения этой задачи нам нужно найти целое число (возраст отца) по его части (возрасту Светы).

Пусть $x$ — это возраст отца.

Из условия мы знаем, что возраст Светы составляет $ \frac{2}{9} $ от возраста отца, и что Свете 8 лет. Это можно записать в виде уравнения:

$ \frac{2}{9} \cdot x = 8 $

Это уравнение означает, что две из девяти равных частей возраста отца составляют 8 лет. Чтобы найти возраст отца, мы можем сначала определить, сколько лет составляет одна такая часть ($ \frac{1}{9} $), а затем умножить это значение на общее количество частей (9).

1. Найдем, сколько лет в одной части. Для этого разделим возраст Светы на количество частей, которые он составляет:

$ 8 \div 2 = 4 $ (года)

Итак, одна девятая часть возраста отца равна 4 годам.

2. Теперь найдем полный возраст отца, который состоит из девяти таких частей:

$ 4 \cdot 9 = 36 $ (лет)

Следовательно, отцу 36 лет.

Ответ: 36 лет.

3. Какую часть числа составляют:

1) $50\%$ этого числа;

2) $25\%$ этого числа;

3) $10\%$ этого числа;

4) $2\%$ этого числа?

Чтобы выразить проценты в виде части числа, необходимо представить проценты в виде дроби. Для этого число процентов нужно разделить на 100 и, если возможно, сократить полученную дробь.

1) 50 % этого числа;
Представим 50% в виде дроби и сократим ее:
$50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$
Следовательно, 50% составляют половину числа.
Ответ: $\frac{1}{2}$

2) 25 % этого числа;
Представим 25% в виде дроби и сократим ее:
$25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$
Следовательно, 25% составляют четверть числа.
Ответ: $\frac{1}{4}$

3) 10 % этого числа;
Представим 10% в виде дроби и сократим ее:
$10\% = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$
Следовательно, 10% составляют десятую часть числа.
Ответ: $\frac{1}{10}$

4) 2 % этого числа?
Представим 2% в виде дроби и сократим ее:
$2\% = \frac{2}{100} = \frac{1}{50}$
Следовательно, 2% составляют одну пятидесятую часть числа.
Ответ: $\frac{1}{50}$

Решите уравнение:

1) $4x - 2,6x = 42;$

2) $3,9x + 4,2x = 0,81.$

1)

Исходное уравнение: $4x - 2,6x = 42$.

В левой части уравнения находятся подобные слагаемые. Упростим это выражение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$(4 - 2,6)x = 42$

Выполним вычитание в скобках:

$1,4x = 42$

Теперь, чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (42) разделить на известный множитель (1,4):

$x = 42 : 1,4$

Чтобы выполнить деление на десятичную дробь, можно избавиться от запятой в делителе, умножив и делимое, и делитель на 10:

$x = 420 : 14$

$x = 30$

Проверка:

$4 \cdot 30 - 2,6 \cdot 30 = 120 - 78 = 42$

$42 = 42$

Равенство верное, значит, корень уравнения найден правильно.

Ответ: 30

2)

Исходное уравнение: $3,9x + 4,2x = 0,81$.

Сначала приведем подобные слагаемые в левой части уравнения, вынеся $x$ за скобки:

$(3,9 + 4,2)x = 0,81$

Выполним сложение в скобках:

$8,1x = 0,81$

Найдем $x$, разделив произведение (0,81) на известный множитель (8,1):

$x = 0,81 : 8,1$

Для удобства вычислений, представим деление в виде дроби и умножим числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{0,81}{8,1} = \frac{0,81 \cdot 100}{8,1 \cdot 100} = \frac{81}{810}$

Сократим дробь на 81:

$x = \frac{1}{10} = 0,1$

Проверка:

$3,9 \cdot 0,1 + 4,2 \cdot 0,1 = 0,39 + 0,42 = 0,81$

$0,81 = 0,81$

Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: 0,1

5. Первое число составляет 50 % второго. Во сколько раз второе число больше первого?

Обозначим первое число как $A$, а второе число как $B$.

Согласно условию, первое число составляет 50% от второго. Чтобы выразить это математически, переведем проценты в десятичную дробь: $50\% = \frac{50}{100} = 0.5$.

Теперь мы можем записать равенство:

$A = 0.5 \times B$

Это то же самое, что и:

$A = \frac{1}{2} B$

Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти, во сколько раз второе число ($B$) больше первого ($A$). Для этого нам нужно найти отношение $\frac{B}{A}$.

Возьмем наше уравнение $A = 0.5 \times B$ и выразим из него отношение $\frac{B}{A}$. Для этого разделим обе части уравнения на $A$:

$1 = 0.5 \times \frac{B}{A}$

Теперь, чтобы найти $\frac{B}{A}$, разделим обе части на $0.5$:

$\frac{B}{A} = \frac{1}{0.5}$

$\frac{B}{A} = 2$

Это означает, что второе число в 2 раза больше первого.

Ответ: 2