Страница 114 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как называют сотую часть величины или числа?

1. Сотую часть величины или числа называют процентом. Слово «процент» имеет латинское происхождение от "pro centum", что означает «со ста» или «за сотню».

Процент — это способ выражения доли чего-либо по отношению к целому. Целое в данном случае принимается за 100 частей. Соответственно, одна такая часть и есть один процент. Для обозначения процента используется знак %.

Математически один процент можно записать в виде обыкновенной или десятичной дроби:

$1\% = \frac{1}{100} = 0.01$

Чтобы найти 1% от любой величины, необходимо эту величину разделить на 100. Например:

• 1% от числа 400 равен $400 \div 100 = 4$.
• 1% от одного метра (100 сантиметров) равен $100 \text{ см} \div 100 = 1 \text{ см}$.
• 1% от одного килограмма (1000 граммов) равен $1000 \text{ г} \div 100 = 10 \text{ г}$.

Проценты широко используются для сравнения величин, в финансовых расчетах, статистике и многих других областях жизни.

Ответ: процент.

2. Как найти $1\%$ величины?

Процент (от латинского pro centum — «на сто») — это одна сотая часть любой величины. Вся величина принимается за 100 частей, то есть за $100\%$. Соответственно, $1\%$ — это одна из этих ста частей.

Исходя из этого определения, существует простое правило для нахождения одного процента.

Чтобы найти $1\%$ от какой-либо величины, необходимо эту величину разделить на 100.

Это действие можно выполнить двумя эквивалентными способами:
1. Прямое деление на 100.
2. Умножение на десятичную дробь 0,01, так как $1\%$ математически равен дроби $1/100$, что составляет $0,01$.

Пример:
Требуется найти $1\%$ от числа 800.

Способ 1 (деление):
$800 \div 100 = 8$

Способ 2 (умножение):
$800 \times 0.01 = 8$

Оба способа дают один и тот же результат. Таким образом, $1\%$ от 800 — это 8.

Ответ: Чтобы найти $1\%$ от величины, нужно разделить эту величину на 100.

3. Сколько процентов составляет вся величина?

По определению, процент — это одна сотая часть ($ \frac{1}{100} $) какой-либо величины. Вся величина целиком, которую мы рассматриваем, принимается за единое целое или за 1.

Чтобы выразить число (в данном случае 1) в процентах, его необходимо умножить на 100 и добавить знак процента (%).

Следовательно, вся величина составляет:

$1 \times 100\% = 100\%$

Это означает, что когда мы говорим о чем-то в полном объеме — будь то полный бак бензина, вся сумма денег, все ученики в классе — мы имеем в виду 100% этой величины.

Ответ: 100%.

4. Что нужно сделать, чтобы проценты представить десятичной дробью или натуральным числом?

Чтобы представить проценты в виде десятичной дроби или натурального числа, нужно убрать знак процента (%) и разделить число процентов на 100.

Это правило следует из определения процента, так как один процент — это одна сотая часть числа: $1\% = \frac{1}{100} = 0.01$.

На практике это действие равносильно переносу десятичной запятой на два знака влево.

Примеры:

• Чтобы представить 45% в виде десятичной дроби, делим 45 на 100:
  $45\% = 45 : 100 = 0.45$

• Чтобы представить 7,2% в виде десятичной дроби, делим 7,2 на 100:
  $7.2\% = 7.2 : 100 = 0.072$

• Чтобы представить 500% в виде натурального числа, делим 500 на 100:
  $500\% = 500 : 100 = 5$

Ответ: Число процентов нужно разделить на 100.

5. Что нужно сделать, чтобы представить десятичную дробь или натуральное число в процентах?

Процент — это одна сотая часть целого, то есть $1\% = \frac{1}{100} = 0,01$. Чтобы представить какое-либо число в процентах, нужно выяснить, сколько таких «сотых частей» оно содержит.

Для того, чтобы представить десятичную дробь или натуральное число в процентах, существует простое и универсальное правило: нужно умножить это число на 100 и к полученному результату добавить знак процента (%).

Пример с десятичной дробью

Допустим, нам нужно выразить десятичную дробь $0,58$ в процентах. Следуя правилу, умножаем ее на 100:

$0,58 \cdot 100 = 58$

Теперь добавляем знак процента и получаем $58\%$. Таким образом, $0,58 = 58\%$.

Рассмотрим другой пример, когда дробь больше единицы: $2,3$.

$2,3 \cdot 100 = 230$

Значит, $2,3 = 230\%$.

Пример с натуральным числом

Для натуральных чисел правило абсолютно такое же. Любое натуральное число можно записать в виде десятичной дроби с нулями после запятой (например, $7 = 7,0$).

Допустим, нам нужно выразить число $4$ в процентах. Умножаем его на 100:

$4 \cdot 100 = 400$

Добавляем знак процента и получаем $400\%$. Таким образом, $4 = 400\%$.

Число $1$ соответствует целой величине, поэтому оно равно $100\%$:

$1 \cdot 100 = 100 \implies 1 = 100\%$

Ответ: Чтобы представить десятичную дробь или натуральное число в процентах, это число нужно умножить на 100 и дописать справа знак процента (%).

6. Как найти проценты от числа?

Процент — это одна сотая часть ($1/100$) от какого-либо числа или величины. Для нахождения процента от числа существует несколько простых способов.

Способ 1: Через десятичную дробь

Это самый универсальный и часто используемый метод. Чтобы найти определенный процент от числа, необходимо:

1. Представить проценты в виде десятичной дроби. Для этого число процентов нужно разделить на 100. Например, 25% — это $25 / 100 = 0.25$.
2. Умножить исходное число на полученную десятичную дробь.

Пример: Найдем 40% от числа 300.

Сначала переведем 40% в десятичную дробь: $40 \div 100 = 0.4$.

Затем умножим число 300 на эту дробь: $300 \times 0.4 = 120$.

Общая формула: $Результат = Число \times \frac{Процент}{100}$

Ответ: Чтобы найти процент от числа, нужно перевести процент в десятичную дробь (разделить на 100) и умножить на это число.

Способ 2: Метод пропорции

Этот способ помогает наглядно понять соотношение между числами. Для его использования нужно составить пропорцию, в которой исходное число принимается за 100%.

Пример: Найдем 15% от числа 650.

Составим пропорцию, где $x$ — это искомое значение:

650 — 100%

$x$ — 15%

Теперь решаем пропорцию. Для этого нужно перемножить известные значения по диагонали и разделить на значение, стоящее по диагонали от $x$:

$x = \frac{650 \times 15}{100} = \frac{9750}{100} = 97.5$

Ответ: Чтобы найти процент от числа, можно составить пропорцию, где исходное число — это 100%, а искомая величина $x$ — это заданный процент, и решить ее.

Способ 3: Нахождение одного процента

Этот метод удобен для быстрых вычислений в уме.

1. Сначала находим, чему равен 1% от исходного числа. Для этого нужно разделить число на 100.
2. Затем умножаем полученное значение на искомое количество процентов.

Пример: Найдем 7% от числа 400.

Находим 1% от 400: $400 \div 100 = 4$.

Теперь умножаем значение одного процента (4) на количество процентов (7): $4 \times 7 = 28$.

Ответ: Чтобы найти процент от числа, можно разделить это число на 100 (чтобы найти 1%) и затем умножить результат на нужное количество процентов.

1. Найдите $ \frac{1}{100} $ числа:

1) 600;

2) 70;

3) 9;

4) 54,2;

5) 6,39.

Чтобы найти $\frac{1}{100}$ от числа, необходимо данное число умножить на $\frac{1}{100}$, что равносильно делению этого числа на 100. При делении на 100 запятая в десятичной записи числа переносится на две цифры влево.

2. В саду росло 400 деревьев, из которых $\frac{17}{100}$ составляли вишни. Сколько вишнёвых деревьев росло в саду?

Чтобы найти количество вишнёвых деревьев в саду, необходимо общее количество деревьев умножить на ту часть, которую составляют вишни.

Общее количество деревьев в саду — 400.

Часть, которую составляют вишни, равна $\frac{17}{100}$.

Найдём количество вишнёвых деревьев, умножив общее количество деревьев на эту дробь:

$400 \cdot \frac{17}{100} = \frac{400 \cdot 17}{100} = 4 \cdot 17 = 68$

Таким образом, в саду росло 68 вишнёвых деревьев.

Ответ: 68.

3. В школе учатся 800 учеников, из которых 0,14 имеют по математике годовую оценку пять. У скольких учеников по математике годовая оценка пять?

Чтобы определить, сколько учеников получили годовую оценку «пять» по математике, необходимо умножить общее количество учеников в школе на долю тех, кто имеет эту оценку.

Общее количество учеников в школе составляет 800.

Доля учеников, имеющих оценку «пять», выражена десятичной дробью 0,14.

Выполним умножение:

$800 \cdot 0,14 = 112$

Таким образом, 112 учеников в школе имеют по математике годовую оценку «пять».

Ответ: 112.

4. Чему равна сумма двух чисел, если она больше одного из них на 3,8, а другого – на 6,4?

Пусть первое число — это $x$, а второе — $y$. Их сумма $S = x + y$.

Согласно условию, сумма больше одного из чисел на 3,8. Это означает, что если из суммы вычесть одно из чисел, получится 3,8. Запишем это в виде уравнения. Если мы из суммы ($x + y$) вычтем первое число ($x$), то получим второе число ($y$):
$(x + y) - x = y$
Из условия следует, что эта разница равна 3,8. Таким образом, второе число равно 3,8.
$y = 3,8$

Аналогично, по условию, сумма больше другого числа на 6,4. Это означает, что если из суммы вычесть второе число, получится 6,4.
$(x + y) - y = x$
Из условия следует, что эта разница равна 6,4. Таким образом, первое число равно 6,4.
$x = 6,4$

Теперь, когда мы нашли оба числа (6,4 и 3,8), мы можем вычислить их сумму:
$S = x + y = 6,4 + 3,8 = 10,2$

Ответ: 10,2

5. Чему равно уменьшаемое, если оно больше вычитаемого на 1,9, а разности на 2,3?

Обозначим компоненты вычитания переменными:

• Пусть уменьшаемое будет $x$.
• Пусть вычитаемое будет $y$.
• Пусть разность будет $z$.

Основная формула вычитания связывает эти три компонента:

$x - y = z$

Теперь переведем условия задачи на язык математики:

1. "Уменьшаемое ... больше вычитаемого на 1,9". Это значит, что если из уменьшаемого вычесть вычитаемое, получится 1,9. Но мы знаем, что уменьшаемое минус вычитаемое — это разность. Следовательно, разность равна 1,9.
   $x - y = 1,9 \implies z = 1,9$
2. "Уменьшаемое ... больше ... разности на 2,3". Это значит, что если из уменьшаемого вычесть разность, получится 2,3.
   $x - z = 2,3$

Теперь у нас есть два простых уравнения:

$z = 1,9$

$x - z = 2,3$

Мы уже знаем значение разности ($z$). Подставим его во второе уравнение, чтобы найти искомое уменьшаемое ($x$):

$x - 1,9 = 2,3$

Чтобы найти $x$, нужно к 2,3 прибавить 1,9:

$x = 2,3 + 1,9$

$x = 4,2$

Таким образом, уменьшаемое равно 4,2.

Проверим, правильно ли мы нашли все значения. Если уменьшаемое $x = 4,2$ и разность $z = 1,9$, то вычитаемое $y$ будет равно:

$y = x - z = 4,2 - 1,9 = 2,3$

Условия задачи выполняются:

• Уменьшаемое (4,2) больше вычитаемого (2,3) на 1,9, так как $4,2 - 2,3 = 1,9$.
• Уменьшаемое (4,2) больше разности (1,9) на 2,3, так как $4,2 - 1,9 = 2,3$.

Решение верное.

Ответ: 4,2

584. Суша занимает 29 % площади поверхности Земли, а остальную поверхность занимает Мировой океан. Сколько процентов площади поверхности Земли занимает Мировой океан?

Для решения этой задачи примем всю площадь поверхности Земли за 100%.

Из условия известно, что суша занимает 29% от этой площади. Оставшуюся часть поверхности занимает Мировой океан. Чтобы найти, какой процент площади занимает Мировой океан, необходимо из общей площади (100%) вычесть ту часть, которую занимает суша (29%).

Выполним математическое действие:$100\% - 29\% = 71\%$

Следовательно, Мировой океан занимает 71% площади поверхности Земли.

Ответ: 71%

585. По данным за 2021 г. жители городов России составили 75 % всего населения России. Сколько процентов населения России составило сельское население?

Примем всё население России за 100%. Население страны состоит из двух основных групп: городское население (жители городов) и сельское население.

Согласно условию задачи, городское население составляет 75% от всего населения России.

Чтобы найти, какой процент составляет сельское население, необходимо из общего процента населения (100%) вычесть известный процент городского населения (75%).

Выполним вычисление:

$100\% - 75\% = 25\%$

Следовательно, 25% населения России составило сельское население.

Ответ: 25%.

586. С помощью рисунка 106 определите, на каком из смартфонов аккумулятор заряжен: 1) меньше, чем на $50 \\%$; 2) больше, чем на $50 \\%$; 3) на $100 \\%$.

Рис. 106

Для решения задачи необходимо проанализировать индикаторы заряда аккумулятора, которые отображаются в правом верхнем углу экрана каждого из трех смартфонов на рисунке.

1) меньше, чем на 50 %

Рассмотрим индикатор заряда на левом смартфоне. Прямоугольник, символизирующий аккумулятор, заполнен белым цветом примерно на одну треть. Так как одна треть меньше половины, то заряд аккумулятора на этом смартфоне меньше, чем $50\%$.

Ответ: на смартфоне слева.

2) больше, чем на 50 %

Индикатор заряда на смартфоне, расположенном в центре, заполнен белым цветом заметно больше, чем наполовину (примерно на три четверти), но не полностью. Это означает, что его заряд больше, чем $50\%$.

Ответ: на смартфоне посередине.

3) на 100 %

Индикатор заряда на правом смартфоне полностью заполнен белым цветом. Это указывает на то, что аккумулятор полностью заряжен, то есть его заряд составляет $100\%$.

Ответ: на смартфоне справа.