Страница 109 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

558. (Домашняя практическая работа) Найдите среднюю длину своего шага, измерив расстояние, пройденное за пять шагов.

Это практическая задача, для решения которой необходимо провести измерения. Ниже описан порядок действий и приведён пример расчёта. Вам нужно будет выполнить измерения самостоятельно и подставить свои данные в формулу.

1. Проведение измерений

• Выберите ровное место (например, комнату или коридор), где можно сделать 5 шагов по прямой.
• Отметьте начальную точку на полу (например, мелом, карандашом или положив какой-либо предмет).
• От этой точки сделайте 5 шагов в обычном для вас темпе, стараясь не менять длину шага искусственно.
• После пятого шага остановитесь и отметьте конечную точку (например, по носку передней ноги).
• С помощью измерительной ленты (рулетки) измерьте расстояние между начальной и конечной точками. Запишите полученное значение.

2. Расчёт средней длины шага

Средняя длина шага находится делением общего пройденного расстояния на количество сделанных шагов.

Формула для вычисления средней длины шага ($S_{ср}$):

$S_{ср} = \frac{L}{n}$

где:
$L$ – общее расстояние, измеренное вами,
$n$ – количество шагов (по условию задачи $n = 5$).

Пример расчёта

Предположим, вы измерили расстояние, пройденное за 5 шагов, и оно составило 3,6 метра ($L = 3,6$ м).

Теперь подставим известные значения в формулу:

$S_{ср} = \frac{3,6 \text{ м}}{5} = 0,72 \text{ м}$

Для удобства можно перевести результат в сантиметры. Поскольку в 1 метре 100 сантиметров, то:

$0,72 \text{ м} = 0,72 \times 100 \text{ см} = 72 \text{ см}$

Таким образом, средняя длина шага в данном примере составляет 72 сантиметра.

Ответ: Чтобы найти среднюю длину своего шага, нужно измерить расстояние, пройденное за 5 шагов, и разделить полученное число на 5. В приведённом примере средняя длина шага составила 72 см.

559. В течение недели в 8 ч утра Саша измерял температуру воздуха. Он получил такие результаты: 20 °С; 18 °С; 16 °С; 15 °С; 14 °С; 17 °С; 19 °С. Найдите среднее значение проведённых измерений.

Чтобы найти среднее значение проведённых измерений, необходимо вычислить их среднее арифметическое. Для этого нужно сложить все полученные результаты и разделить полученную сумму на количество измерений.

Саша проводил измерения в течение недели, следовательно, всего было 7 измерений. Полученные им результаты: 20 °C, 18 °C, 16 °C, 15 °C, 14 °C, 17 °C, 19 °C.

1. Сначала найдём сумму всех измерений:
$20 + 18 + 16 + 15 + 14 + 17 + 19 = 119$

2. Теперь разделим полученную сумму на количество измерений (на 7):
$119 / 7 = 17$

Следовательно, среднее значение температуры за неделю составляет 17 °C.
Ответ: 17 °C.

560. Поезд ехал 4 ч со скоростью 64 км / ч и 5 ч со скоростью 53,2 км / ч.

Найдите среднюю скорость поезда на протяжении всего пути.

Чтобы найти среднюю скорость поезда, необходимо весь пройденный путь разделить на всё время движения.

Формула для нахождения средней скорости: $V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — это весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё время движения.

1. Вычислим расстояние, пройденное на первом участке пути. Для этого умножим скорость на время:

$S_1 = 64 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 256 \text{ км}$

2. Вычислим расстояние, пройденное на втором участке пути:

$S_2 = 53,2 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 266 \text{ км}$

3. Найдем весь путь, пройденный поездом, сложив расстояния двух участков:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 256 \text{ км} + 266 \text{ км} = 522 \text{ км}$

4. Найдем общее время движения поезда:

$t_{общ} = 4 \text{ ч} + 5 \text{ ч} = 9 \text{ ч}$

5. Теперь можем найти среднюю скорость поезда на протяжении всего пути:

$V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{522 \text{ км}}{9 \text{ ч}} = 58 \text{ км/ч}$

Ответ: 58 км/ч.

561. Автомобиль ехал 3 ч со скоростью 56,4 км/ч и 4 ч со скоростью 62,7 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути.

Для того чтобы найти среднюю скорость автомобиля на всём пути, необходимо общее расстояние, пройденное автомобилем, разделить на общее время, затраченное на этот путь. Решение можно разбить на несколько шагов:

1. Найти расстояние, которое автомобиль проехал за первые 3 часа.

Расстояние равно произведению скорости на время. На первом участке пути:

$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 56,4 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 169,2 \text{ км}$

2. Найти расстояние, которое автомобиль проехал за следующие 4 часа.

Аналогично, для второго участка пути:

$S_2 = v_2 \cdot t_2 = 62,7 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 250,8 \text{ км}$

3. Найти общее расстояние и общее время.

Общее расстояние — это сумма расстояний, пройденных на каждом участке:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 169,2 \text{ км} + 250,8 \text{ км} = 420 \text{ км}$

Общее время в пути — это сумма времени движения на каждом участке:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = 3 \text{ ч} + 4 \text{ ч} = 7 \text{ ч}$

4. Найти среднюю скорость автомобиля.

Разделим общее расстояние на общее время:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{420 \text{ км}}{7 \text{ ч}} = 60 \text{ км/ч}$

Ответ: 60 км/ч.

562. В автомастерской работает 10 человек. У двоих из них месячная зарплата составляет 22 800 р., у четверых – 28 000 р., у троих – 31 000 р., а у одного – 32 000 р. Какова средняя зарплата работников мастерской?

Для нахождения средней зарплаты необходимо рассчитать общий фонд заработной платы всех работников и разделить его на общее количество работников.

1. Сначала определим общий фонд заработной платы. Для этого умножим размер зарплаты каждой группы работников на их количество и сложим полученные значения:

• Два работника получают по 22 800 р.: $2 \times 22\ 800 = 45\ 600$ р.
• Четыре работника получают по 28 000 р.: $4 \times 28\ 000 = 112\ 000$ р.
• Три работника получают по 31 000 р.: $3 \times 31\ 000 = 93\ 000$ р.
• Один работник получает 32 000 р.: $1 \times 32\ 000 = 32\ 000$ р.

2. Теперь сложим эти суммы, чтобы найти общий фонд зарплаты для всех 10 работников:

$45\ 600 + 112\ 000 + 93\ 000 + 32\ 000 = 282\ 600$ р.

3. Чтобы найти среднюю зарплату, разделим общий фонд на общее количество работников, которое равно 10:

Средняя зарплата = $\frac{282\ 600}{10} = 28\ 260$ р.

Ответ: 28 260 р.

563. Фермер собрал с каждого гектара поля площадью 30 га по 30,2 ц пшеницы, а с каждого гектара поля площадью 20 га по 32,3 ц пшеницы. Какой средний урожай с одного гектара собрал фермер?

Чтобы определить средний урожай с одного гектара, необходимо найти общее количество собранной пшеницы и разделить его на общую площадь полей.

1. Найдем общий урожай с первого поля.

Площадь первого поля — 30 га, а урожайность — 30,2 центнера (ц) с гектара. Умножим площадь на урожайность:

$30 \times 30,2 = 906$ (ц)

2. Найдем общий урожай со второго поля.

Площадь второго поля — 20 га, а урожайность — 32,3 ц с гектара. Умножим площадь на урожайность:

$20 \times 32,3 = 646$ (ц)

3. Найдем общий урожай с обоих полей.

Сложим урожай, полученный с первого и второго полей:

$906 + 646 = 1552$ (ц)

4. Найдем общую площадь обоих полей.

Сложим площади первого и второго полей:

$30 + 20 = 50$ (га)

5. Рассчитаем средний урожай с одного гектара.

Для этого разделим общий собранный урожай на общую площадь полей:

$\frac{1552}{50} = 31,04$ (ц/га)

Ответ: 31,04 ц.

564. Среднее арифметическое чисел 7,8 и $x$ равно 7,2. Найдите $x$.

Среднее арифметическое нескольких чисел — это частное от деления суммы этих чисел на их количество.

В задаче даны два числа: 7,8 и x. Их количество равно 2. Среднее арифметическое этих чисел равно 7,2.

Составим уравнение на основе определения среднего арифметического:

$ \frac{7,8 + x}{2} = 7,2 $

Для того чтобы найти неизвестное слагаемое (7,8 + x), нужно частное (7,2) умножить на делитель (2):

$ 7,8 + x = 7,2 \cdot 2 $

$ 7,8 + x = 14,4 $

Теперь найдем неизвестное слагаемое x. Для этого из суммы (14,4) вычтем известное слагаемое (7,8):

$ x = 14,4 - 7,8 $

$ x = 6,6 $

Проверка:

Подставим найденное значение x в исходное выражение для среднего арифметического:

$ \frac{7,8 + 6,6}{2} = \frac{14,4}{2} = 7,2 $

Так как 7,2 = 7,2, решение найдено верно.

Ответ: 6,6

565. Среднее арифметическое чисел 6,4 и $y$ равно 8,5. Найдите $y$.

Среднее арифметическое двух чисел – это их сумма, разделенная на 2. По условию задачи, среднее арифметическое чисел 6,4 и $y$ равно 8,5.

Можем составить уравнение на основе этого определения:

$\frac{6,4 + y}{2} = 8,5$

Чтобы решить это уравнение и найти $y$, сначала умножим обе его части на 2:

$(6,4 + y) = 8,5 \cdot 2$

$6,4 + y = 17$

Теперь, чтобы найти $y$, вычтем 6,4 из обеих частей уравнения:

$y = 17 - 6,4$

$y = 10,6$

Ответ: 10,6

566. Среднее арифметическое двух чисел, одно из которых в 4 раза меньше другого, равно 10. Найдите эти числа.

Пусть меньшее из двух чисел равно $x$.

Согласно условию, одно число в 4 раза меньше другого. Это означает, что большее число в 4 раза больше меньшего. Следовательно, большее число равно $4x$.

Среднее арифметическое двух чисел вычисляется как их сумма, деленная на два. По условию, среднее арифметическое этих двух чисел равно 10. Составим уравнение на основе этой информации:

$ \frac{x + 4x}{2} = 10 $

Теперь решим полученное уравнение:

1. Упростим выражение в числителе:

$ \frac{5x}{2} = 10 $

2. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$ 5x = 10 \cdot 2 $

$ 5x = 20 $

3. Разделим обе части уравнения на 5, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{20}{5} $

$ x = 4 $

Таким образом, меньшее число равно 4.

Теперь найдем большее число, подставив значение $x$ в выражение $4x$:

$ 4 \cdot 4 = 16 $

Большее число равно 16.

Выполним проверку:

Среднее арифметическое чисел 4 и 16: $ \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10 $. Условие выполняется.

Одно число (4) в 4 раза меньше другого (16), так как $16 / 4 = 4$. Условие выполняется.

Ответ: 4 и 16.

567. Среднее арифметическое двух чисел, одно из которых на 4,6 больше другого, равно 8.2. Найдите эти числа.

Для решения задачи введем переменную. Пусть меньшее из двух чисел равно $x$.

По условию, одно из чисел на 4,6 больше другого. Следовательно, большее число будет равно $x + 4,6$.

Среднее арифметическое двух чисел вычисляется как их сумма, деленная на их количество (в данном случае на 2). По условию, среднее арифметическое этих двух чисел равно 8,2. Составим уравнение на основе этих данных:

$\frac{x + (x + 4,6)}{2} = 8,2$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$.

1. Упростим выражение в числителе:

$\frac{2x + 4,6}{2} = 8,2$

2. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2x + 4,6 = 8,2 \cdot 2$

$2x + 4,6 = 16,4$

3. Перенесем 4,6 из левой части в правую с противоположным знаком:

$2x = 16,4 - 4,6$

$2x = 11,8$

4. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{11,8}{2}$

$x = 5,9$

Мы нашли меньшее число, оно равно 5,9.

Теперь найдем второе (большее) число, которое на 4,6 больше первого:

$5,9 + 4,6 = 10,5$

Таким образом, искомые числа — это 5,9 и 10,5.

Проверим результат: найдем среднее арифметическое чисел 5,9 и 10,5.

$\frac{5,9 + 10,5}{2} = \frac{16,4}{2} = 8,2$

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 5,9 и 10,5.

568. Отметьте на координатном луче числа $a$ и $b$ и их среднее арифметическое, если:

1) $a=2, b=6;$

2) $a=4, b=7.$

Выскажите гипотезу, как расположена точка, соответствующая среднему арифметическому чисел $a$ и $b$, относительно точек, соответствующих числам $a$ и $b$.

1)

Даны числа $a=2$ и $b=6$.
Найдем их среднее арифметическое, которое обозначим как $m$:
$m = \frac{a + b}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Теперь отметим точки, соответствующие числам $a=2$, $b=6$ и их среднему арифметическому $m=4$ на координатном луче.

Найдем расстояние от точки $m=4$ до точки $a=2$: $4 - 2 = 2$.
Найдем расстояние от точки $b=6$ до точки $m=4$: $6 - 4 = 2$.
Расстояния равны. Это означает, что точка, соответствующая среднему арифметическому, находится ровно посередине между точками, соответствующими числам $a$ и $b$.

Ответ: Среднее арифметическое равно 4.

2)

Даны числа $a=4$ и $b=7$.
Найдем их среднее арифметическое $m$:
$m = \frac{a + b}{2} = \frac{4 + 7}{2} = \frac{11}{2} = 5,5$.
Отметим точки, соответствующие числам $a=4$, $b=7$ и их среднему арифметическому $m=5,5$ на координатном луче.

Найдем расстояние от точки $m=5,5$ до точки $a=4$: $5,5 - 4 = 1,5$.
Найдем расстояние от точки $b=7$ до точки $m=5,5$: $7 - 5,5 = 1,5$.
Расстояния снова равны, что подтверждает вывод, сделанный в первом пункте.

Ответ: Среднее арифметическое равно 5,5.

Гипотеза

На основании решенных примеров можно выдвинуть гипотезу: точка на координатном луче, соответствующая среднему арифметическому двух чисел $a$ и $b$, является серединой отрезка, концы которого соответствуют числам $a$ и $b$.

Это означает, что точка среднего арифметического равноудалена от точек, соответствующих исходным числам. Проверим это в общем виде. Пусть даны числа $a$ и $b$ (для определенности $a < b$), а их среднее арифметическое равно $m = \frac{a+b}{2}$.
Расстояние от $m$ до $a$ равно $m - a = \frac{a+b}{2} - a = \frac{a+b-2a}{2} = \frac{b-a}{2}$.
Расстояние от $b$ до $m$ равно $b - m = b - \frac{a+b}{2} = \frac{2b-a-b}{2} = \frac{b-a}{2}$.
Так как расстояния равны, гипотеза верна.

Ответ: Точка, соответствующая среднему арифметическому чисел $a$ и $b$, расположена ровно посередине между точками, соответствующими числам $a$ и $b$.

569. Принимая участие в математической олимпиаде, Дима решил 10 задач. За каждую задачу он мог получить не более 12 баллов. За первые восемь задач мальчик получил среднюю оценку 7 баллов. Сколько баллов получил Дима за каждую из оставшихся двух задач, если среднее количество баллов за одну задачу составляло 8 баллов?

Для решения задачи выполним последовательно несколько действий.

1. Найдем общее количество баллов, которое Дима набрал за все задачи.
По условию, Дима решил 10 задач, а среднее количество баллов за одну задачу составило 8. Чтобы найти общую сумму баллов, умножим количество задач на средний балл:
$10 \text{ задач} \times 8 \text{ баллов/задачу} = 80 \text{ баллов}$.

2. Найдем сумму баллов за первые восемь задач.
Известно, что за первые восемь задач средняя оценка составила 7 баллов. Вычислим, сколько всего баллов было получено за эти задачи:
$8 \text{ задач} \times 7 \text{ баллов/задачу} = 56 \text{ баллов}$.

3. Вычислим, сколько баллов Дима получил за оставшиеся две задачи.
Мы знаем общую сумму баллов (80) и сумму баллов за первые восемь задач (56). Чтобы найти сумму баллов за две последние задачи, вычтем из общей суммы сумму за первые восемь:
$80 \text{ баллов} - 56 \text{ баллов} = 24 \text{ балла}$.

4. Определим количество баллов за каждую из двух оставшихся задач.
Сумма баллов за две последние задачи равна 24. По условию, за каждую задачу можно было получить не более 12 баллов. Пусть $x$ — это баллы за девятую задачу, а $y$ — за десятую.
Мы имеем систему:
$x + y = 24$
$x \le 12$
$y \le 12$
Единственное решение этой системы — это когда оба слагаемых принимают максимально возможные значения, то есть $x = 12$ и $y = 12$. Только в этом случае их сумма будет равна 24.
Таким образом, Дима получил по 12 баллов за каждую из двух последних задач.

Ответ: за каждую из оставшихся двух задач Дима получил по 12 баллов.

570. В университете оценка за семестр является средним арифметическим оценок за 5 тестов, которые студенты сдают в течение семестра. Наивысшая возможная оценка за каждый тест равна 100 баллам. Средняя оценка Марии за четыре сданных ею теста составляет 88 баллов. Сколько баллов должна получить Мария за пятый тест, чтобы её оценка за семестр составила 90 баллов?

Для решения этой задачи необходимо использовать понятие среднего арифметического. Итоговая оценка за семестр — это среднее арифметическое оценок за все 5 тестов.

1. Сначала найдём общую сумму баллов, которую Мария уже набрала за первые четыре теста. Средний балл за 4 теста составляет 88. Чтобы найти сумму, нужно умножить средний балл на количество тестов:
$Сумма_{4} = 88 \times 4 = 352$ балла.

2. Теперь определим, какая общая сумма баллов за все пять тестов необходима для того, чтобы средний балл составил 90. Для этого умножим желаемый средний балл на общее количество тестов:
$Сумма_{5} = 90 \times 5 = 450$ баллов.

3. Наконец, вычислим, сколько баллов Мария должна получить за пятый тест. Для этого нужно из необходимой общей суммы баллов за пять тестов вычесть уже набранную сумму за четыре теста. Пусть $x$ — это оценка за пятый тест.
$x = Сумма_{5} - Сумма_{4}$
$x = 450 - 352 = 98$ баллов.

Поскольку максимальный балл за тест равен 100, а $98 \leq 100$, то Мария может получить необходимую оценку.

Ответ: 98 баллов.

571. Автомобиль ехал 3,4 ч по шоссе со скоростью 90 км/ч и 1,6 ч по грунтовой дороге. С какой скоростью ехал автомобиль по грунтовой дороге, если средняя скорость на протяжении всего пути составляла 75,6 км/ч?

Для решения данной задачи необходимо последовательно выполнить следующие действия:

1. Вычислить общее время движения автомобиля.

Сложим время движения по шоссе и время движения по грунтовой дороге:

$t_{общ} = 3,4 \text{ ч} + 1,6 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$

2. Вычислить общее расстояние, которое проехал автомобиль.

Общее расстояние равно произведению средней скорости на общее время в пути. Средняя скорость по условию составляет 75,6 км/ч.

$S_{общ} = v_{ср} \times t_{общ} = 75,6 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 378 \text{ км}$

3. Вычислить расстояние, пройденное автомобилем по шоссе.

Для этого умножим скорость движения по шоссе (90 км/ч) на время движения по нему (3,4 ч):

$S_{шоссе} = 90 \text{ км/ч} \times 3,4 \text{ ч} = 306 \text{ км}$

4. Вычислить расстояние, пройденное автомобилем по грунтовой дороге.

Вычтем из общего расстояния расстояние, пройденное по шоссе:

$S_{грунт} = S_{общ} - S_{шоссе} = 378 \text{ км} - 306 \text{ км} = 72 \text{ км}$

5. Вычислить скорость автомобиля на грунтовой дороге.

Теперь, зная расстояние, пройденное по грунтовой дороге (72 км), и время движения по ней (1,6 ч), найдем искомую скорость, разделив расстояние на время:

$v_{грунт} = \frac{S_{грунт}}{t_{грунт}} = \frac{72 \text{ км}}{1,6 \text{ ч}} = 45 \text{ км/ч}$

Ответ: 45 км/ч.