Номер 568, страница 109 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Среднее арифметическое. Среднее значение величины. Глава 3. Дроби - номер 568, страница 109.

Условие.

568. Отметьте на координатном луче числа $a$ и $b$ и их среднее арифметическое, если:

1) $a=2, b=6;$

2) $a=4, b=7.$

Выскажите гипотезу, как расположена точка, соответствующая среднему арифметическому чисел $a$ и $b$, относительно точек, соответствующих числам $a$ и $b$.

Решение.

Решение 2.

1)

Даны числа $a=2$ и $b=6$.
Найдем их среднее арифметическое, которое обозначим как $m$:
$m = \frac{a + b}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Теперь отметим точки, соответствующие числам $a=2$, $b=6$ и их среднему арифметическому $m=4$ на координатном луче.

Найдем расстояние от точки $m=4$ до точки $a=2$: $4 - 2 = 2$.
Найдем расстояние от точки $b=6$ до точки $m=4$: $6 - 4 = 2$.
Расстояния равны. Это означает, что точка, соответствующая среднему арифметическому, находится ровно посередине между точками, соответствующими числам $a$ и $b$.

Ответ: Среднее арифметическое равно 4.

2)

Даны числа $a=4$ и $b=7$.
Найдем их среднее арифметическое $m$:
$m = \frac{a + b}{2} = \frac{4 + 7}{2} = \frac{11}{2} = 5,5$.
Отметим точки, соответствующие числам $a=4$, $b=7$ и их среднему арифметическому $m=5,5$ на координатном луче.

Найдем расстояние от точки $m=5,5$ до точки $a=4$: $5,5 - 4 = 1,5$.
Найдем расстояние от точки $b=7$ до точки $m=5,5$: $7 - 5,5 = 1,5$.
Расстояния снова равны, что подтверждает вывод, сделанный в первом пункте.

Ответ: Среднее арифметическое равно 5,5.

Гипотеза

На основании решенных примеров можно выдвинуть гипотезу: точка на координатном луче, соответствующая среднему арифметическому двух чисел $a$ и $b$, является серединой отрезка, концы которого соответствуют числам $a$ и $b$.

Это означает, что точка среднего арифметического равноудалена от точек, соответствующих исходным числам. Проверим это в общем виде. Пусть даны числа $a$ и $b$ (для определенности $a < b$), а их среднее арифметическое равно $m = \frac{a+b}{2}$.
Расстояние от $m$ до $a$ равно $m - a = \frac{a+b}{2} - a = \frac{a+b-2a}{2} = \frac{b-a}{2}$.
Расстояние от $b$ до $m$ равно $b - m = b - \frac{a+b}{2} = \frac{2b-a-b}{2} = \frac{b-a}{2}$.
Так как расстояния равны, гипотеза верна.

Ответ: Точка, соответствующая среднему арифметическому чисел $a$ и $b$, расположена ровно посередине между точками, соответствующими числам $a$ и $b$.