Страница 104 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

543. Найдите десятичное приближение до сотых корня уравнения:

1) $9x = 5;$

2) $8 : x = 125;$

3) $3x = 4;$

4) $\frac{2}{7}x = 1\frac{1}{6}$.

1) Решим уравнение $9x=5$.
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение разделить на известный множитель:
$x = \frac{5}{9}$
Переведем обыкновенную дробь в десятичную, разделив числитель на знаменатель:
$x = 5 : 9 = 0.555...$
Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой (разряд тысячных). Так как она равна 5, то цифру в разряде сотых увеличиваем на 1.
$x \approx 0.56$
Ответ: 0.56

2) Решим уравнение $8 : x = 125$.
Чтобы найти неизвестный делитель $x$, нужно делимое разделить на частное:
$x = 8 : 125$
$x = \frac{8}{125}$
Переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого можно домножить числитель и знаменатель на 8, чтобы в знаменателе получилось 1000:
$x = \frac{8 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{64}{1000} = 0.064$
Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой. Так как она равна 4 (что меньше 5), то цифру в разряде сотых оставляем без изменений.
$x \approx 0.06$
Ответ: 0.06

3) Решим уравнение $3x=4$.
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение разделить на известный множитель:
$x = \frac{4}{3}$
Переведем обыкновенную дробь в десятичную, разделив числитель на знаменатель:
$x = 4 : 3 = 1.333...$
Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой. Так как она равна 3 (что меньше 5), то цифру в разряде сотых оставляем без изменений.
$x \approx 1.33$
Ответ: 1.33

4) Решим уравнение $\frac{2}{7}x = 1\frac{1}{6}$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$
Уравнение принимает вид: $\frac{2}{7}x = \frac{7}{6}$.
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение разделить на известный множитель:
$x = \frac{7}{6} : \frac{2}{7}$
Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:
$x = \frac{7}{6} \cdot \frac{7}{2} = \frac{49}{12}$
Переведем обыкновенную дробь в десятичную, разделив числитель на знаменатель:
$x = 49 : 12 = 4.0833...$
Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой. Так как она равна 3 (что меньше 5), то цифру в разряде сотых оставляем без изменений.
$x \approx 4.08$
Ответ: 4.08

544. Найдите десятичное приближение до сотых корня уравнения:

1) $12x = 7$;

2) $5 : x = 8$;

3) $7x = 16$;

4) $\frac{3}{8}x = 1\frac{9}{16}$.

1) $12x=7$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 12:

$x = \frac{7}{12}$

Теперь найдем десятичное приближение, разделив 7 на 12. Вычислим значение с точностью до тысячных, чтобы выполнить округление до сотых:

$7 \div 12 = 0.583...$

Для округления до сотых смотрим на цифру в разряде тысячных. В данном случае это 3. Так как $3 < 5$, цифру в разряде сотых (8) оставляем без изменений.

$x \approx 0.58$

Ответ: $0.58$

2) $5 : x = 8$

Данное уравнение можно представить в виде пропорции:

$\frac{5}{x} = \frac{8}{1}$

Выразим $x$ из этого уравнения:

$8x = 5$

$x = \frac{5}{8}$

Теперь найдем десятичное значение, разделив 5 на 8:

$5 \div 8 = 0.625$

Для округления до сотых смотрим на цифру в разряде тысячных. В данном случае это 5. Так как $5 \ge 5$, цифру в разряде сотых (2) увеличиваем на единицу.

$x \approx 0.63$

Ответ: $0.63$

3) $7x = 16$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 7:

$x = \frac{16}{7}$

Теперь найдем десятичное приближение, разделив 16 на 7. Вычислим значение с точностью до тысячных, чтобы выполнить округление до сотых:

$16 \div 7 = 2.2857...$

Для округления до сотых смотрим на цифру в разряде тысячных. В данном случае это 5. Так как $5 \ge 5$, цифру в разряде сотых (8) увеличиваем на единицу.

$x \approx 2.29$

Ответ: $2.29$

4) $\frac{3}{8}x = 1\frac{9}{16}$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{3}{8}x = \frac{25}{16}$

Чтобы найти $x$, разделим правую часть на коэффициент при $x$, то есть на $\frac{3}{8}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = \frac{25}{16} \div \frac{3}{8} = \frac{25}{16} \cdot \frac{8}{3}$

Сократим дробь перед умножением:

$x = \frac{25 \cdot 8}{16 \cdot 3} = \frac{25 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{25}{6}$

Теперь найдем десятичное приближение, разделив 25 на 6. Вычислим значение с точностью до тысячных, чтобы выполнить округление до сотых:

$25 \div 6 = 4.166...$

Для округления до сотых смотрим на цифру в разряде тысячных. В данном случае это 6. Так как $6 \ge 5$, цифру в разряде сотых (6) увеличиваем на единицу.

$x \approx 4.17$

Ответ: $4.17$

545. Преобразуйте обыкновенные дроби в десятичные, округлите их до сотых и выполните вычисления:

1) $\frac{3}{7} + 0,69;$

2) $4\frac{7}{9} - 3\frac{5}{12} + 4,96.$

1) Для решения выражения $\frac{3}{7} + 0,69$ сначала преобразуем обыкновенную дробь $\frac{3}{7}$ в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель:

$\frac{3}{7} = 3 \div 7 = 0,428571...$

Теперь необходимо округлить полученную десятичную дробь до сотых. Для этого смотрим на третью цифру после запятой (разряд тысячных). Эта цифра — 8. Так как $8 \ge 5$, округляем предыдущую цифру (разряд сотых) в большую сторону:

$0,428571... \approx 0,43$

Теперь выполним сложение с округленным значением:

$0,43 + 0,69 = 1,12$

Ответ: 1,12

2) Для решения выражения $4\frac{7}{9} - 3\frac{5}{12} + 4,96$ преобразуем смешанные числа в десятичные дроби и округлим их до сотых.

Преобразуем $4\frac{7}{9}$. Дробная часть $\frac{7}{9}$ равна:

$\frac{7}{9} = 7 \div 9 = 0,777...$

Следовательно, $4\frac{7}{9} = 4,777...$. Округляем до сотых (третья цифра после запятой 7, поэтому округляем вверх):

$4,777... \approx 4,78$

Теперь преобразуем $3\frac{5}{12}$. Дробная часть $\frac{5}{12}$ равна:

$\frac{5}{12} = 5 \div 12 = 0,41666...$

Следовательно, $3\frac{5}{12} = 3,41666...$. Округляем до сотых (третья цифра после запятой 6, поэтому округляем вверх):

$3,41666... \approx 3,42$

Теперь подставим округленные значения в исходное выражение и выполним вычисления по порядку:

$4,78 - 3,42 + 4,96 = 1,36 + 4,96 = 6,32$

Ответ: 6,32

546. Преобразуйте обыкновенные дроби в десятичные, округлите их до сотых и выполните вычисления:

1) $\frac{6}{13} - 0,28;$

2) $12\frac{10}{19} - 4,54 - 5\frac{1}{6}$.

1) $ \frac{6}{13} - 0,28 $

Сначала преобразуем обыкновенную дробь $ \frac{6}{13} $ в десятичную, разделив числитель на знаменатель. Чтобы округлить результат до сотых, нам нужно знать как минимум три знака после запятой.

$ 6 : 13 \approx 0,4615... $

Теперь округлим полученную десятичную дробь до сотых. Смотрим на цифру в разряде тысячных (третья цифра после запятой) — это 1. Так как 1 меньше 5, то цифру в разряде сотых (6) оставляем без изменений, а последующие цифры отбрасываем.

$ \frac{6}{13} \approx 0,46 $

Теперь выполним вычисление, подставив округленное значение:

$ 0,46 - 0,28 = 0,18 $

Ответ: 0,18

2) $ 12\frac{10}{19} - 4,54 - 5\frac{1}{6} $

Преобразуем каждую смешанную дробь в десятичную и округлим до сотых.

Для дроби $ 12\frac{10}{19} $ преобразуем ее дробную часть $ \frac{10}{19} $:

$ 10 : 19 \approx 0,5263... $

Округляем до сотых. Цифра в разряде тысячных равна 6. Так как 6 больше или равно 5, увеличиваем цифру в разряде сотых (2) на единицу: $ 0,52 \to 0,53 $.

Следовательно, $ 12\frac{10}{19} \approx 12,53 $.

Для дроби $ 5\frac{1}{6} $ преобразуем ее дробную часть $ \frac{1}{6} $:

$ 1 : 6 = 0,1666... $

Округляем до сотых. Цифра в разряде тысячных равна 6. Так как 6 больше или равно 5, увеличиваем цифру в разряде сотых (6) на единицу: $ 0,16 \to 0,17 $.

Следовательно, $ 5\frac{1}{6} \approx 5,17 $.

Теперь подставим округленные значения в исходное выражение и выполним вычисления по порядку:

$ 12,53 - 4,54 - 5,17 = 7,99 - 5,17 = 2,82 $

Ответ: 2,82

547. Из двух городов, расстояние между которыми 108 км, одновременно навстречу друг другу выехали царь Салтан и князь Гвидон. Карета царя Салтана двигалась со скоростью 10 км/ч, что составляло $\frac{5}{7}$ скорости, с которой на коне ехал князь Гвидон. Через сколько часов после выезда они встретятся?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти скорость князя Гвидона.

Из условия известно, что скорость кареты царя Салтана равна 10 км/ч, и это составляет $ \frac{5}{7} $ от скорости, с которой ехал князь Гвидон. Чтобы найти целое число по его дроби, нужно значение этой дроби разделить на саму дробь.

Пусть $ V_{Салтан} $ — скорость царя Салтана, а $ V_{Гвидон} $ — скорость князя Гвидона.

$ V_{Салтан} = 10 $ км/ч.

$ V_{Салтан} = \frac{5}{7} \cdot V_{Гвидон} $

Отсюда находим скорость князя Гвидона:

$ V_{Гвидон} = 10 \div \frac{5}{7} = 10 \cdot \frac{7}{5} = \frac{70}{5} = 14 $ км/ч.

2. Найти скорость сближения.

Поскольку царь Салтан и князь Гвидон едут навстречу друг другу, их общая скорость, или скорость сближения, равна сумме их скоростей.

$ V_{сближения} = V_{Салтан} + V_{Гвидон} = 10 + 14 = 24 $ км/ч.

3. Найти время до встречи.

Время, через которое они встретятся, можно найти, разделив общее расстояние на скорость сближения. Расстояние $ S $ между городами равно 108 км.

$ t = \frac{S}{V_{сближения}} = \frac{108}{24} $

Выполним деление:

$ t = 4,5 $ часа.

Ответ: они встретятся через 4,5 часа после выезда.

548. Найдите значение выражения:

$(3.6 - 1\frac{2}{3}) : (4\frac{1}{15} - 2\frac{7}{9}) \cdot 2.6$

Для решения данного примера выполним действия по порядку, соблюдая приоритет операций в скобках, деления и умножения.

1) Первым действием выполним вычитание в первых скобках. Для этого преобразуем десятичную дробь и смешанное число в неправильные дроби.

$3,6 = 3\frac{6}{10} = 3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{18}{5}$

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь найдем их разность, приведя дроби к общему знаменателю 15:

$3,6 - 1\frac{2}{3} = \frac{18}{5} - \frac{5}{3} = \frac{18 \cdot 3}{15} - \frac{5 \cdot 5}{15} = \frac{54 - 25}{15} = \frac{29}{15}$

2) Вторым действием выполним вычитание во вторых скобках. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$4\frac{1}{15} = \frac{4 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{61}{15}$

$2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{25}{9}$

Найдем их разность, приведя дроби к общему знаменателю 45 (НОК(15, 9) = 45):

$4\frac{1}{15} - 2\frac{7}{9} = \frac{61}{15} - \frac{25}{9} = \frac{61 \cdot 3}{45} - \frac{25 \cdot 5}{45} = \frac{183 - 125}{45} = \frac{58}{45}$

3) Третьим действием выполним деление результатов первых двух действий.

$\frac{29}{15} : \frac{58}{45}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{29}{15} \cdot \frac{45}{58} = \frac{29 \cdot 45}{15 \cdot 58}$

Сократим числитель и знаменатель: 29 и 58 на 29 (получим 1 и 2), 45 и 15 на 15 (получим 3 и 1):

$\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}$

4) Четвертым действием умножим результат деления на 2,6. Преобразуем 2,6 в обыкновенную дробь.

$2,6 = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{3}{2} \cdot \frac{13}{5} = \frac{3 \cdot 13}{2 \cdot 5} = \frac{39}{10} = 3,9$

Ответ: 3,9.

549. Увеличится или уменьшится частное и во сколько раз, если:

1) делимое увеличить в 4 раза;

2) делитель уменьшить в 3 раза;

3) делимое увеличить в 6 раз, а делитель — в 2 раза;

4) делимое уменьшить в 10 раз, а делитель увеличить в 5 раз?

Чтобы определить, как изменится частное, введем переменные. Пусть $a$ — исходное делимое, $b$ — исходный делитель, а $c$ — исходное частное. Тогда справедливо равенство:

$c = \frac{a}{b}$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

В этом случае новое делимое равно $4a$, а делитель остается прежним, $b$. Найдем новое частное $c_{1}$:

$c_{1} = \frac{4a}{b} = 4 \cdot \frac{a}{b} = 4c$

Это означает, что частное увеличится в 4 раза.

Ответ: увеличится в 4 раза.

В этом случае делимое остается прежним, $a$, а новый делитель равен $b/3$. Найдем новое частное $c_{2}$:

$c_{2} = \frac{a}{b/3} = a \cdot \frac{3}{b} = 3 \cdot \frac{a}{b} = 3c$

Это означает, что частное увеличится в 3 раза.

Ответ: увеличится в 3 раза.

В этом случае новое делимое равно $6a$, а новый делитель равен $2b$. Найдем новое частное $c_{3}$:

$c_{3} = \frac{6a}{2b} = \frac{6}{2} \cdot \frac{a}{b} = 3 \cdot \frac{a}{b} = 3c$

Это означает, что частное увеличится в 3 раза.

Ответ: увеличится в 3 раза.

В этом случае новое делимое равно $a/10$, а новый делитель равен $5b$. Найдем новое частное $c_{4}$:

$c_{4} = \frac{a/10}{5b} = \frac{a}{10 \cdot 5b} = \frac{a}{50b} = \frac{1}{50} \cdot \frac{a}{b} = \frac{c}{50}$

Это означает, что частное уменьшится в 50 раз.

Ответ: уменьшится в 50 раз.

550. Из натурального числа, которое не больше 100, вычли сумму его цифр. Из полученного числа снова вычли сумму его цифр, и так делали несколько раз. После 11 таких вычитаний впервые получили 0. Найдите исходное число.

Пусть $N_0$ — исходное натуральное число, такое что $N_0 \le 100$.Обозначим через $S(x)$ сумму цифр числа $x$.Последовательность чисел строится по правилу $N_{k+1} = N_k - S(N_k)$.По условию, после 11 вычитаний впервые получили 0. Это означает, что $N_{11} = 0$ и $N_k \ne 0$ для всех $k < 11$.

Рассмотрим свойство операции вычитания суммы цифр. Любое натуральное число $x$ и сумма его цифр $S(x)$ имеют одинаковые остатки при делении на 9. Математически это записывается как $x \equiv S(x) \pmod{9}$.Следовательно, разность $x - S(x)$ всегда делится на 9, так как $x - S(x) \equiv S(x) - S(x) \equiv 0 \pmod{9}$.

Таким образом, число $N_1 = N_0 - S(N_0)$ должно быть кратно 9.Все последующие члены последовательности также будут кратны 9, поскольку если $N_k$ кратно 9, то и $S(N_k)$ кратно 9, а значит и их разность $N_{k+1} = N_k - S(N_k)$ будет кратна 9.Итак, все числа $N_1, N_2, \dots, N_{10}$ являются кратными 9.

Решим задачу, двигаясь в обратном порядке от $N_{11}$ к $N_0$.Нам известно, что $N_{11} = 0$. Это результат 11-го вычитания: $N_{10} - S(N_{10}) = 0$.Равенство $x - S(x) = 0$ выполняется только для однозначных чисел. Поскольку $N_{10} \ne 0$ и $N_{10}$ кратно 9, единственным возможным значением является $N_{10} = 9$.

Теперь найдем $N_9$. Оно должно удовлетворять уравнению $N_9 - S(N_9) = N_{10} = 9$.Так как $N_9$ — член последовательности, он должен быть кратен 9 и $N_9 > N_{10}$. Пусть $N_9$ — двузначное число вида $10a+b$. Тогда $N_9 - S(N_9) = (10a+b) - (a+b) = 9a$.Получаем уравнение $9a = 9$, откуда $a=1$.Значит, $N_9$ — это кратное 9 число, которое начинается с цифры 1. Единственное такое число — 18. Итак, $N_9=18$.

Аналогично находим остальные члены последовательности:

• $N_8 - S(N_8) = N_9 = 18 \implies 9a = 18 \implies a=2$. $N_8$ — кратное 9 число, начинающееся с 2. Значит, $N_8=27$.
• $N_7 - S(N_7) = N_8 = 27 \implies 9a = 27 \implies a=3$. Значит, $N_7=36$.
• $N_6 - S(N_6) = 36 \implies N_6 = 45$.
• $N_5 - S(N_5) = 45 \implies N_5 = 54$.
• $N_4 - S(N_4) = 54 \implies N_4 = 63$.
• $N_3 - S(N_3) = 63 \implies N_3 = 72$.
• $N_2 - S(N_2) = 72 \implies N_2 = 81$.

Теперь найдем $N_1$, зная что $N_1 - S(N_1) = N_2 = 81$.Используя формулу $9a=81$, получаем $a=9$.Значит, $N_1$ — это кратное 9 число, которое начинается с цифры 9. Есть два таких числа, меньших или равных 100:

1. $N_1 = 90$. Проверка: $90 - S(90) = 90 - 9 = 81$. Подходит.
2. $N_1 = 99$. Проверка: $99 - S(99) = 99 - 18 = 81$. Тоже подходит.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $N_1 = 90$.Нам нужно найти исходное число $N_0 \le 100$ такое, что $N_0 - S(N_0) = 90$.

• Если $N_0$ — двузначное число ($N_0 = 10a+b$), то $N_0 - S(N_0) = 9a$. Тогда $9a = 90$, откуда $a=10$, что невозможно для цифры.
• Если $N_0$ — трёхзначное число, то единственная возможность — $N_0=100$. Проверяем: $100 - S(100) = 100 - 1 = 99 \ne 90$.

Таким образом, не существует натурального числа $N_0 \le 100$, для которого выполняется это условие.

Случай 2: $N_1 = 99$.Нам нужно найти исходное число $N_0 \le 100$ такое, что $N_0 - S(N_0) = 99$.

• Если $N_0$ — двузначное число ($N_0 = 10a+b$), то $N_0 - S(N_0) = 9a$. Тогда $9a = 99$, откуда $a=11$, что невозможно.
• Если $N_0 = 100$, то $100 - S(100) = 100 - 1 = 99$. Это условие выполняется.

Единственное число, удовлетворяющее условию, — это $N_0=100$.

Проверим всю последовательность для $N_0=100$:$N_0 = 100$
$N_1 = 100 - 1 = 99$
$N_2 = 99 - 18 = 81$
$N_3 = 81 - 9 = 72$
$N_4 = 72 - 9 = 63$
$N_5 = 63 - 9 = 54$
$N_6 = 54 - 9 = 45$
$N_7 = 45 - 9 = 36$
$N_8 = 36 - 9 = 27$
$N_9 = 27 - 9 = 18$
$N_{10} = 18 - 9 = 9$
$N_{11} = 9 - 9 = 0$
После 11 вычитаний мы впервые получили 0.

Ответ: 100.