Страница 101 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

531. Сравните дроби, записав предварительно обыкновенные дроби в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби:

1) $ \frac{3}{11} $ и $ 0,269 $;

2) $ \frac{7}{9} $ и $ \frac{77}{100} $;

3) $ \frac{11}{12} $ и $ \frac{19}{20} $;

4) $ \frac{47}{15} $ и $ \frac{119}{36} $.

1)

Чтобы сравнить дроби $\frac{3}{11}$ и $0,269$, представим обыкновенную дробь в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Для этого разделим числитель на знаменатель:

$3 : 11 = 0,2727... = 0,(27)$

Теперь сравним $0,(27)$ и $0,269$.

$0,(27) = 0,2727...$

$0,269 = 0,2690...$

Сравниваем дроби по разрядам. В разряде десятых цифры совпадают (2). В разряде сотых $7 > 6$.

Следовательно, $0,(27) > 0,269$, а значит $\frac{3}{11} > 0,269$.

Ответ: $\frac{3}{11} > 0,269$.

2)

Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{9}$ и $\frac{77}{100}$, представим обе дроби в виде десятичных.

Преобразуем $\frac{7}{9}$ в бесконечную периодическую десятичную дробь:

$7 : 9 = 0,777... = 0,(7)$

Преобразуем $\frac{77}{100}$ в конечную десятичную дробь:

$\frac{77}{100} = 0,77$

Теперь сравним $0,(7)$ и $0,77$.

$0,(7) = 0,777...$

$0,77 = 0,770...$

Сравниваем дроби по разрядам. В разрядах десятых и сотых цифры совпадают (7). В разряде тысячных $7 > 0$.

Следовательно, $0,(7) > 0,77$, а значит $\frac{7}{9} > \frac{77}{100}$.

Ответ: $\frac{7}{9} > \frac{77}{100}$.

3)

Чтобы сравнить дроби $\frac{11}{12}$ и $\frac{19}{20}$, представим обе дроби в виде десятичных.

Преобразуем $\frac{11}{12}$ в бесконечную периодическую десятичную дробь:

$11 : 12 = 0,91666... = 0,91(6)$

Преобразуем $\frac{19}{20}$ в конечную десятичную дробь:

$\frac{19}{20} = \frac{19 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{95}{100} = 0,95$

Теперь сравним $0,91(6)$ и $0,95$.

$0,91(6) = 0,9166...$

$0,95 = 0,9500...$

Сравниваем дроби по разрядам. В разряде десятых цифры совпадают (9). В разряде сотых $1 < 5$.

Следовательно, $0,91(6) < 0,95$, а значит $\frac{11}{12} < \frac{19}{20}$.

Ответ: $\frac{11}{12} < \frac{19}{20}$.

4)

Чтобы сравнить дроби $\frac{47}{15}$ и $\frac{119}{36}$, представим обе дроби в виде бесконечных периодических десятичных дробей.

Преобразуем $\frac{47}{15}$:

$47 : 15 = 3,1333... = 3,1(3)$

Преобразуем $\frac{119}{36}$:

$119 : 36 = 3,30555... = 3,30(5)$

Теперь сравним $3,1(3)$ и $3,30(5)$.

$3,1(3) = 3,1333...$

$3,30(5) = 3,3055...$

Сравниваем дроби по разрядам. Целые части равны (3). В разряде десятых $1 < 3$.

Следовательно, $3,1(3) < 3,30(5)$, а значит $\frac{47}{15} < \frac{119}{36}$.

Ответ: $\frac{47}{15} < \frac{119}{36}$.

532. Найдите значение выражения:

1) $\frac{5}{16} : 1,25 \cdot 0,36 : 1\frac{4}{5}$;

2) $\frac{7}{8} : \left(0,75 \cdot \frac{14}{15} : 1,2\right)$.

1) Для решения выражения $\frac{5}{16} : 1,25 \cdot 0,36 : 1\frac{4}{5}$ преобразуем все десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби.

$1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$

$0,36 = \frac{36}{100} = \frac{9}{25}$

$1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$

Теперь подставим полученные дроби в исходное выражение:

$\frac{5}{16} : \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{25} : \frac{9}{5}$

Выполним действия по порядку слева направо. Деление заменяем умножением на обратную дробь:

$\frac{5}{16} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{9}{25} : \frac{9}{5} = \frac{5 \cdot 4}{16 \cdot 5} \cdot \frac{9}{25} : \frac{9}{5} = \frac{20}{80} \cdot \frac{9}{25} : \frac{9}{5} = \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{25} : \frac{9}{5}$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{25} : \frac{9}{5} = \frac{9}{100} : \frac{9}{5} = \frac{9}{100} \cdot \frac{5}{9} = \frac{9 \cdot 5}{100 \cdot 9} = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$

Также можно было сократить все дроби сразу:

$\frac{5}{16} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{9}{25} \cdot \frac{5}{9} = \frac{\cancel{5} \cdot 4 \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{5}}{16 \cdot \cancel{5} \cdot 25 \cdot \cancel{9}} = \frac{4}{16 \cdot 5} = \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20}$

Ответ: $\frac{1}{20}$

2) Для решения выражения $\frac{7}{8} : (0,75 \cdot \frac{14}{15} : 1,2)$ сначала выполним действия в скобках.

Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

$0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

Теперь выражение в скобках выглядит так: $(\frac{3}{4} \cdot \frac{14}{15} : \frac{6}{5})$. Выполним действия в скобках по порядку.

1. Умножение:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{14}{15} = \frac{3 \cdot 14}{4 \cdot 15} = \frac{3 \cdot (2 \cdot 7)}{(2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 5)} = \frac{7}{2 \cdot 5} = \frac{7}{10}$

2. Деление:

$\frac{7}{10} : \frac{6}{5} = \frac{7}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{7 \cdot 5}{10 \cdot 6} = \frac{7 \cdot 5}{(2 \cdot 5) \cdot 6} = \frac{7}{12}$

Мы нашли значение выражения в скобках, оно равно $\frac{7}{12}$. Теперь разделим на него исходную дробь:

$\frac{7}{8} : \frac{7}{12} = \frac{7}{8} \cdot \frac{12}{7} = \frac{\cancel{7} \cdot 12}{8 \cdot \cancel{7}} = \frac{12}{8} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

533. В таблице приведены данные о высоте некоторых гор.

Название горы Месторасположение Высота горы над уровнем моря, м

Арарат Турция 5137

Джомолунгма граница Непала и Китая 8848

Килиманджаро Танзания 5895

Монблан граница Франции и Италии 4809

Монте-Визо Италия 3841

Пик Дюфур Швейцария 4634

Фудзияма Япония 3776

Эльбрус Россия 5642

1) Округлите высоту каждой горы до десятков метров.

2) Запишите названия приведённых гор в порядке убывания их высот.

1) Округлите высоту каждой горы до десятков метров.

Чтобы округлить число до десятков, необходимо посмотреть на цифру в разряде единиц. Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то разряд десятков увеличивается на единицу, а разряд единиц заменяется нулём. Если цифра в разряде единиц 0, 1, 2, 3 или 4, то разряд десятков остаётся без изменений, а разряд единиц заменяется нулём.

• Арарат: $5137$ м. Цифра в разряде единиц – 7, значит, округляем в большую сторону. $5137 \approx 5140$ м.
• Джомолунгма: $8848$ м. Цифра в разряде единиц – 8, значит, округляем в большую сторону. $8848 \approx 8850$ м.
• Килиманджаро: $5895$ м. Цифра в разряде единиц – 5, значит, округляем в большую сторону. $5895 \approx 5900$ м.
• Монблан: $4809$ м. Цифра в разряде единиц – 9, значит, округляем в большую сторону. $4809 \approx 4810$ м.
• Монте-Визо: $3841$ м. Цифра в разряде единиц – 1, значит, округляем в меньшую сторону. $3841 \approx 3840$ м.
• Пик Дюфур: $4634$ м. Цифра в разряде единиц – 4, значит, округляем в меньшую сторону. $4634 \approx 4630$ м.
• Фудзияма: $3776$ м. Цифра в разряде единиц – 6, значит, округляем в большую сторону. $3776 \approx 3780$ м.
• Эльбрус: $5642$ м. Цифра в разряде единиц – 2, значит, округляем в меньшую сторону. $5642 \approx 5640$ м.

Ответ: Арарат – $5140$ м, Джомолунгма – $8850$ м, Килиманджаро – $5900$ м, Монблан – $4810$ м, Монте-Визо – $3840$ м, Пик Дюфур – $4630$ м, Фудзияма – $3780$ м, Эльбрус – $5640$ м.

2) Запишите названия приведённых гор в порядке убывания их высот.

Для этого сравним исходные высоты гор и расположим их в порядке от наибольшей к наименьшей:

1. Джомолунгма ($8848$ м)
2. Килиманджаро ($5895$ м)
3. Эльбрус ($5642$ м)
4. Арарат ($5137$ м)
5. Монблан ($4809$ м)
6. Пик Дюфур ($4634$ м)
7. Монте-Визо ($3841$ м)
8. Фудзияма ($3776$ м)

Ответ: Джомолунгма, Килиманджаро, Эльбрус, Арарат, Монблан, Пик Дюфур, Монте-Визо, Фудзияма.

534. Округлите дроби:

1) 9,486; 12,78; 0,5498; 10,333; 1,89 до десятых;

2) 3,405; 4,326; 82,2048; 0,2349; 0,999 до сотых;

3) 0,6372; 2,2981; 6,55555; 4,6767 до тысячных.

1)

Чтобы округлить десятичную дробь до определенного разряда (в данном случае, до десятых), необходимо посмотреть на цифру, стоящую справа от этого разряда. Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в округляемом разряде нужно увеличить на единицу, а все цифры справа от него отбросить. Если же справа стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в округляемом разряде оставляют без изменений, а все цифры справа отбрасывают.

Применим это правило к данным дробям для округления до десятых:

- В числе $9,486$ справа от разряда десятых (цифра 4) стоит цифра $8$. Так как $8 \ge 5$, увеличиваем 4 на 1. Получаем: $9,486 \approx 9,5$.
- В числе $12,78$ справа от разряда десятых (цифра 7) стоит цифра $8$. Так как $8 \ge 5$, увеличиваем 7 на 1. Получаем: $12,78 \approx 12,8$.
- В числе $0,5498$ справа от разряда десятых (цифра 5) стоит цифра $4$. Так как $4 < 5$, оставляем 5 без изменений. Получаем: $0,5498 \approx 0,5$.
- В числе $10,333$ справа от разряда десятых (цифра 3) стоит цифра $3$. Так как $3 < 5$, оставляем 3 без изменений. Получаем: $10,333 \approx 10,3$.
- В числе $1,89$ справа от разряда десятых (цифра 8) стоит цифра $9$. Так как $9 \ge 5$, увеличиваем 8 на 1. Получаем: $1,89 \approx 1,9$.

Ответ: $9,5$; $12,8$; $0,5$; $10,3$; $1,9$.

2)

Округляем дроби до сотых. Для этого смотрим на цифру в разряде тысячных.

- В числе $3,405$ в разряде тысячных стоит цифра $5$. Так как $5 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде сотых (0) на 1. Получаем: $3,405 \approx 3,41$.
- В числе $4,326$ в разряде тысячных стоит цифра $6$. Так как $6 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде сотых (2) на 1. Получаем: $4,326 \approx 4,33$.
- В числе $82,2048$ в разряде тысячных стоит цифра $4$. Так как $4 < 5$, оставляем цифру в разряде сотых (0) без изменений. Получаем: $82,2048 \approx 82,20$.
- В числе $0,2349$ в разряде тысячных стоит цифра $4$. Так как $4 < 5$, оставляем цифру в разряде сотых (3) без изменений. Получаем: $0,2349 \approx 0,23$.
- В числе $0,999$ в разряде тысячных стоит цифра $9$. Так как $9 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде сотых (9) на 1. Это приводит к каскадному увеличению: 9 сотых + 1 сотая = 10 сотых = 1 десятая. 9 десятых + 1 десятая = 10 десятых = 1 целая. Получаем: $0,999 \approx 1,00$.

Ответ: $3,41$; $4,33$; $82,20$; $0,23$; $1,00$.

3)

Округляем дроби до тысячных. Для этого смотрим на цифру в разряде десятитысячных.

- В числе $0,6372$ в разряде десятитысячных стоит цифра $2$. Так как $2 < 5$, оставляем цифру в разряде тысячных (7) без изменений. Получаем: $0,6372 \approx 0,637$.
- В числе $2,2981$ в разряде десятитысячных стоит цифра $1$. Так как $1 < 5$, оставляем цифру в разряде тысячных (8) без изменений. Получаем: $2,2981 \approx 2,298$.
- В числе $6,55555$ в разряде десятитысячных стоит цифра $5$. Так как $5 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде тысячных (5) на 1. Получаем: $6,55555 \approx 6,556$.
- В числе $4,6767$ в разряде десятитысячных стоит цифра $7$. Так как $7 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде тысячных (6) на 1. Получаем: $4,6767 \approx 4,677$.

Ответ: $0,637$; $2,298$; $6,556$; $4,677$.