Страница 105 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. В автопарке есть 36 автомобилей жёлтого цвета и 24 автомобиля белого цвета. Какую часть всех автомобилей составляют автомобили жёлтого цвета?

А) $\frac{2}{3}$

Б) $\frac{2}{5}$

В) $\frac{3}{5}$

Г) $\frac{5}{3}$

1. Чтобы найти, какую часть от общего количества автомобилей составляют жёлтые автомобили, сначала нужно определить общее количество автомобилей в автопарке. Для этого сложим количество жёлтых и белых автомобилей:
$36 + 24 = 60$ (автомобилей).

2. Теперь составим дробь, где числитель — это количество жёлтых автомобилей, а знаменатель — общее количество автомобилей в автопарке:
$\frac{36}{60}$

3. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 36 и 60 — это 12. Разделим числитель и знаменатель на 12:
$\frac{36 \div 12}{60 \div 12} = \frac{3}{5}$

Таким образом, жёлтые автомобили составляют $\frac{3}{5}$ от всех автомобилей. Этот ответ соответствует варианту В).

Ответ: В) $\frac{3}{5}$

2. Какая часть часа прошла с 15 ч 40 мин до 16 ч 30 мин?

А) $\frac{2}{3}$

Б) $\frac{5}{6}$

В) $\frac{4}{5}$

Г) $\frac{3}{4}$

Для решения задачи необходимо найти продолжительность временного интервала в минутах, а затем выразить это значение как долю от полного часа (60 минут).

1. Найдем, сколько всего минут прошло.

Начальное время: 15 ч 40 мин.
Конечное время: 16 ч 30 мин.

Можно вычислить разницу следующим образом:

С 15 ч 40 мин до 16 ч 00 мин проходит 20 минут.

С 16 ч 00 мин до 16 ч 30 мин проходит еще 30 минут.

Суммарное количество минут равно:

$20 \text{ мин} + 30 \text{ мин} = 50 \text{ мин}$

2. Выразим полученное время в частях часа.

В одном часе 60 минут. Чтобы найти, какую часть часа составляют 50 минут, нужно составить дробь, где в числителе — прошедшие минуты, а в знаменателе — общее количество минут в часе:

$\frac{50}{60}$

3. Сократим дробь.

Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 10:

$\frac{50 \div 10}{60 \div 10} = \frac{5}{6}$

Таким образом, прошедший промежуток времени составляет $\frac{5}{6}$ часа. Этот результат соответствует варианту Б).

Ответ: Б) $\frac{5}{6}$

3. Сколько существует дробей со знаменателем 28, которые больше $ \frac{5}{14} $, но меньше $ \frac{3}{4} $?

А) 9

Б) 10

В) 11

Г) 12

Пусть искомые дроби имеют вид $ \frac{x}{28} $, где $x$ — целое число (числитель). Согласно условию задачи, эти дроби должны удовлетворять двойному неравенству:

$ \frac{5}{14} < \frac{x}{28} < \frac{3}{4} $

Чтобы найти возможные значения $x$, приведем все дроби в неравенстве к общему знаменателю, равному 28.

1. Преобразуем левую часть неравенства (дробь $ \frac{5}{14} $):

$ \frac{5}{14} = \frac{5 \cdot 2}{14 \cdot 2} = \frac{10}{28} $

2. Преобразуем правую часть неравенства (дробь $ \frac{3}{4} $):

$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{21}{28} $

Теперь подставим полученные дроби обратно в неравенство:

$ \frac{10}{28} < \frac{x}{28} < \frac{21}{28} $

Так как знаменатели всех дробей одинаковы, мы можем сравнить их числители. Неравенство для числителей будет выглядеть так:

$ 10 < x < 21 $

Нам нужно найти количество целых чисел $x$, которые больше 10, но меньше 21. Перечислим эти числа:

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Подсчитаем их количество. Всего таких чисел 10. Каждое из этих чисел соответствует одной уникальной дроби со знаменателем 28, удовлетворяющей условию задачи.

Следовательно, существует 10 таких дробей.

Ответ: 10

4. Чему равно значение выражения $2\frac{1}{3} - \left(6 - 7\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5}\right) : 1\frac{5}{7}$?

А) $\frac{5}{9}$

Б) $1\frac{2}{3}$

В) $\frac{2}{3}$

Г) $1\frac{5}{9}$

Для нахождения значения выражения $2\frac{1}{3} - (6 - 7\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5}) : 1\frac{5}{7}$ необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала действия в скобках (умножение, затем вычитание), потом деление и в конце вычитание.

1. Умножение в скобках

Сначала выполним умножение $7\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5}$. Для этого преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$7\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{63+7}{9} = \frac{70}{9}$

Теперь умножаем и сокращаем дроби:

$\frac{70}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{70 \cdot 3}{9 \cdot 5} = \frac{14 \cdot 5 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{14}{3}$

2. Вычитание в скобках

Теперь выполним вычитание в скобках, используя результат первого действия: $6 - \frac{14}{3}$.

Представим число 6 в виде дроби со знаменателем 3: $6 = \frac{18}{3}$.

$\frac{18}{3} - \frac{14}{3} = \frac{18-14}{3} = \frac{4}{3}$

3. Деление

Результат вычислений в скобках ($\frac{4}{3}$) разделим на $1\frac{5}{7}$.

Преобразуем $1\frac{5}{7}$ в неправильную дробь: $1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$.

Деление заменяем умножением на обратную дробь:

$\frac{4}{3} : \frac{12}{7} = \frac{4}{3} \cdot \frac{7}{12} = \frac{4 \cdot 7}{3 \cdot 12} = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 3} = \frac{7}{9}$

4. Вычитание

Выполним последнее действие: $2\frac{1}{3} - \frac{7}{9}$.

Преобразуем $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь и приведем к общему знаменателю 9:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} = \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{21}{9}$

Выполним вычитание:

$\frac{21}{9} - \frac{7}{9} = \frac{21-7}{9} = \frac{14}{9}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{14}{9}$ в смешанное число:

$\frac{14}{9} = 1\frac{5}{9}$

Результат вычисления выражения равен $1\frac{5}{9}$. Это соответствует варианту ответа Г.

Ответ: $1\frac{5}{9}$

5. За день продали 120 кг персиков, что составляет $5 \over 6$ массы персиков, имевшихся в магазине. Сколько килограммов персиков было в магазине?

А) 135 кг

Б) 100 кг

В) 144 кг

Г) 150 кг

По условию задачи, 120 кг проданных персиков — это $\frac{5}{6}$ от всей массы персиков, которая была в магазине. Чтобы найти общую массу (целое), зная ее часть (120 кг) и какую долю эта часть составляет ($\frac{5}{6}$), необходимо значение части разделить на эту долю.

Выполним вычисление:
$120 : \frac{5}{6}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю (то есть на $\frac{6}{5}$):
$120 \cdot \frac{6}{5} = \frac{120 \cdot 6}{5}$

Сократим 120 и 5, разделив 120 на 5:
$\frac{120}{5} = 24$

Теперь умножим полученный результат на 6:
$24 \cdot 6 = 144$ (кг).

Следовательно, изначально в магазине было 144 кг персиков.

Ответ: 144 кг

6. Укажите верное неравенство.

А) $12,7 > 12,71$

Б) $0,6 < 0,078$

В) $5,3 > 5,045$

Г) $6,5 < 6,442$

Чтобы найти верное неравенство, необходимо поочередно проверить каждое из предложенных.

А) $12,7 > 12,71$

Для сравнения десятичных дробей $12,7$ и $12,71$ нужно сравнить их разряды, начиная со старшего. Целые части у обоих чисел одинаковы и равны $12$. Сравним дробные части. В разряде десятых у обоих чисел стоит цифра $7$. Чтобы продолжить сравнение, уравняем количество знаков после запятой, дописав к числу $12,7$ справа ноль: $12,7 = 12,70$. Теперь сравним цифры в разряде сотых: у числа $12,70$ это $0$, а у числа $12,71$ это $1$. Поскольку $0 < 1$, то $12,70 < 12,71$, а значит и $12,7 < 12,71$. Следовательно, неравенство $12,7 > 12,71$ неверно.
Ответ: неверно.

Б) $0,6 < 0,078$

Сравним числа $0,6$ и $0,078$. Целые части у обоих чисел равны $0$. Сравним цифры в разряде десятых: у числа $0,6$ это $6$, а у числа $0,078$ это $0$. Так как $6 > 0$, то $0,6 > 0,078$. Следовательно, неравенство $0,6 < 0,078$ неверно.
Ответ: неверно.

В) $5,3 > 5,045$

Сравним числа $5,3$ и $5,045$. Целые части у обоих чисел равны $5$. Сравним цифры в разряде десятых: у числа $5,3$ это $3$, а у числа $5,045$ это $0$. Так как $3 > 0$, то $5,3 > 5,045$. Следовательно, неравенство $5,3 > 5,045$ верно.
Ответ: верно.

Г) $6,5 < 6,442$

Сравним числа $6,5$ и $6,442$. Целые части у обоих чисел равны $6$. Сравним цифры в разряде десятых: у числа $6,5$ это $5$, а у числа $6,442$ это $4$. Так как $5 > 4$, то $6,5 > 6,442$. Следовательно, неравенство $6,5 < 6,442$ неверно.
Ответ: неверно.

Проанализировав все варианты, мы установили, что единственным верным неравенством является $5,3 > 5,045$.

7. Чему равна разность $2400 \text{ г} - 0.6 \text{ кг}$?

А) 1,8 кг

Б) 2,34 кг

В) 23,4 кг

Г) 2,394 кг

Для того чтобы найти разность двух величин, необходимо привести их к одной единице измерения. Варианты ответа представлены в килограммах, поэтому переведем 2400 граммов в килограммы.

В одном килограмме содержится 1000 граммов:
$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$

Чтобы перевести граммы в килограммы, нужно разделить количество граммов на 1000:
$2400 \text{ г} = \frac{2400}{1000} \text{ кг} = 2,4 \text{ кг}$

Теперь, когда обе величины выражены в килограммах, можем выполнить вычитание:
$2,4 \text{ кг} - 0,6 \text{ кг} = 1,8 \text{ кг}$

Разность равна 1,8 кг.
Ответ: 1,8 кг

8. Найдите значение выражения $(2.3 - 0.036 / 0.4) \cdot 40$.

А) 56

Б) 5,6

В) 8,84

Г) 88,4

Для нахождения значения выражения $(2,3 - 0,036 : 0,4) \cdot 40$ необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала действия в скобках (в первую очередь деление, затем вычитание), а потом умножение.

1. Деление в скобках

Первым действием выполним деление $0,036$ на $0,4$. Чтобы упростить деление на десятичную дробь, перенесем запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, чтобы делитель стал целым числом. В данном случае — на один знак.

$0,036 : 0,4 = 0,36 : 4 = 0,09$

2. Вычитание в скобках

Теперь из $2,3$ вычтем результат, полученный в первом действии:

$2,3 - 0,09$

Для удобства вычисления представим $2,3$ как $2,30$:

$2,30 - 0,09 = 2,21$

3. Умножение

Последним шагом умножим результат вычислений в скобках на $40$:

$2,21 \cdot 40 = 88,4$

Полное решение выглядит так:
$(2,3 - 0,036 : 0,4) \cdot 40 = (2,3 - 0,09) \cdot 40 = 2,21 \cdot 40 = 88,4$

Среди предложенных вариантов правильным является Г) 88,4.

Ответ: 88,4

9. Какую из данных обыкновенных дробей можно представить в виде конечной десятичной дроби?

А) $ \frac{3}{14} $Б) $ \frac{8}{45} $В) $ \frac{11}{160} $Г) $ \frac{7}{12} $

Для того чтобы обыкновенную несократимую дробь можно было представить в виде конечной десятичной дроби, её знаменатель в разложении на простые множители должен содержать только множители 2 и 5. Проанализируем каждую из предложенных дробей.

А) $\frac{3}{14}$

Дробь несократима, так как числа 3 и 14 взаимно простые. Разложим знаменатель 14 на простые множители: $14 = 2 \times 7$. Так как в разложении знаменателя присутствует множитель 7, который отличен от 2 и 5, эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: нельзя.

Б) $\frac{8}{45}$

Дробь несократима, так как числа 8 и 45 взаимно простые. Разложим знаменатель 45 на простые множители: $45 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5$. Так как в разложении знаменателя присутствует множитель 3, который отличен от 2 и 5, эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: нельзя.

В) $\frac{11}{160}$

Дробь несократима, так как 11 — простое число, а 160 на 11 не делится. Разложим знаменатель 160 на простые множители: $160 = 16 \times 10 = 2^4 \times (2 \times 5) = 2^5 \times 5$. Разложение знаменателя содержит только простые множители 2 и 5, поэтому эту дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: можно.

Г) $\frac{7}{12}$

Дробь несократима, так как 7 — простое число, а 12 на 7 не делится. Разложим знаменатель 12 на простые множители: $12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$. Так как в разложении знаменателя присутствует множитель 3, который отличен от 2 и 5, эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: нельзя.

Таким образом, единственная дробь из предложенных, которая удовлетворяет условию, — это дробь под буквой В.

Ответ: В) $\frac{11}{160}$.

10. В каком случае округление до тысячных выполнено верно?

А) $5,6688\dots \approx 5,668$

Б) $5,6688\dots \approx 5,669$

В) $5,6688\dots \approx 5,67$

Г) $5,6688\dots \approx 5,66$

Чтобы округлить десятичную дробь до тысячных, необходимо оставить три знака после запятой, а последующие знаки отбросить. При этом нужно посмотреть на четвертую цифру после запятой (цифру в разряде десятитысячных). Если эта цифра от 5 до 9, то третья цифра после запятой (в разряде тысячных) увеличивается на единицу. Если же четвертая цифра от 0 до 4, то третья цифра остается без изменений.

В заданном числе $5,6688...$ мы округляем до тысячных.

1. Находим цифру в разряде тысячных (третья цифра после запятой): это $8$.

2. Смотрим на следующую цифру, стоящую в разряде десятитысячных (четвертая цифра после запятой): это $8$.

3. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных мы должны увеличить на единицу: $8 + 1 = 9$.

4. Таким образом, округленное до тысячных число равно $5,669$.

Теперь рассмотрим предложенные варианты:

А) $5,6688... \approx 5,668$

Это округление неверно, так как цифра в разряде тысячных должна быть увеличена.

Б) $5,6688... \approx 5,669$

Это округление выполнено верно.

В) $5,6688... \approx 5,67$

Это округление до сотых, а не до тысячных, как требуется в условии задачи.

Г) $5,6688... \approx 5,66$

Это неверное округление до сотых.

Следовательно, единственно верное округление до тысячных представлено в варианте Б.

Ответ: Б

11. Укажите десятичное приближение до десятых дроби $\frac{5}{3}$

А) 1,7

Б) 1,6

В) 1,66

Г) 5,3

Чтобы найти десятичное приближение дроби $\frac{5}{3}$ до десятых, необходимо сначала перевести эту обыкновенную дробь в десятичную. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель.

1. Выполним деление 5 на 3:

$5 \div 3 = 1,666...$

Получилась бесконечная периодическая десятичная дробь $1,(6)$.

2. Теперь необходимо округлить полученное число до десятых. Разряд десятых — это первая цифра после запятой. Чтобы округлить до этого разряда, мы смотрим на следующую цифру (в разряде сотых).

В числе $1,666...$ цифра в разряде десятых — это 6. Цифра в разряде сотых — также 6.

Согласно правилу округления, если цифра, следующая за округляемым разрядом, равна 5 или больше, то округляемый разряд увеличивается на единицу. Так как $6 \ge 5$, мы должны увеличить цифру в разряде десятых (6) на 1.

$1,666... \approx 1,7$

Среди предложенных вариантов ответа этот результат соответствует варианту А).

Ответ: А) 1,7

12. Какой бесконечной периодической десятичной дроби равна дробь $ \frac{19}{90} $?

А) $0,(21)$

Б) $0,(2)$

В) $0,(1)$

Г) $0,2(1)$

Чтобы найти, какой бесконечной периодической десятичной дроби равна обыкновенная дробь $\frac{19}{90}$, необходимо разделить числитель 19 на знаменатель 90.

Выполним деление столбиком:

1. Делим 19 на 90. Поскольку 19 меньше 90, целая часть частного будет равна 0. Ставим 0 и запятую.

2. Приписываем к 19 ноль, получаем 190. Делим 190 на 90. Ближайшее произведение, не превосходящее 190, это $2 \times 90 = 180$. Записываем 2 после запятой. Находим остаток: $190 - 180 = 10$.

3. К остатку 10 приписываем ноль, получаем 100. Делим 100 на 90. Ближайшее произведение — $1 \times 90 = 90$. Записываем 1 в частное. Находим остаток: $100 - 90 = 10$.

4. К новому остатку 10 снова приписываем ноль, получаем 100. При делении 100 на 90 снова получим 1 в частном и 10 в остатке. Остаток 10 начал повторяться, а значит, и цифра 1 в частном будет повторяться бесконечно.

Таким образом, результат деления равен $0,2111...$, что представляет собой смешанную периодическую дробь. Неповторяющаяся часть после запятой (предпериод) — это 2, а повторяющаяся часть (период) — это 1. Такая дробь записывается как $0,2(1)$.

Сравним полученный результат с вариантами ответов:

А) $0,(21) = 0,212121...$

Б) $0,(2) = 0,222222...$

В) $0,(1) = 0,111111...$

Г) $0,2(1) = 0,211111...$

Полученное нами значение $0,2111...$ совпадает с вариантом Г.

Для проверки можно выполнить обратное действие — преобразовать десятичную дробь $0,2(1)$ в обыкновенную.

Пусть $x = 0,2(1) = 0,2111...$

Умножим на 10, чтобы «вынести» предпериод за запятую: $10x = 2,111...$

Умножим на 100, чтобы «вынести» за запятую предпериод вместе с первой цифрой периода: $100x = 21,111...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной периодической части:

$100x - 10x = 21,111... - 2,111...$

$90x = 19$

$x = \frac{19}{90}$

Результат совпадает с исходной дробью, что подтверждает правильность нашего решения.

Ответ: Г) 0,2(1)