Номер 12, страница 105 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Проверьте себя №3. Глава 3. Дроби - номер 12, страница 105.

Условие.

12. Какой бесконечной периодической десятичной дроби равна дробь $ \frac{19}{90} $?

А) $0,(21)$

Б) $0,(2)$

В) $0,(1)$

Г) $0,2(1)$

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти, какой бесконечной периодической десятичной дроби равна обыкновенная дробь $\frac{19}{90}$, необходимо разделить числитель 19 на знаменатель 90.

Выполним деление столбиком:

1. Делим 19 на 90. Поскольку 19 меньше 90, целая часть частного будет равна 0. Ставим 0 и запятую.

2. Приписываем к 19 ноль, получаем 190. Делим 190 на 90. Ближайшее произведение, не превосходящее 190, это $2 \times 90 = 180$. Записываем 2 после запятой. Находим остаток: $190 - 180 = 10$.

3. К остатку 10 приписываем ноль, получаем 100. Делим 100 на 90. Ближайшее произведение — $1 \times 90 = 90$. Записываем 1 в частное. Находим остаток: $100 - 90 = 10$.

4. К новому остатку 10 снова приписываем ноль, получаем 100. При делении 100 на 90 снова получим 1 в частном и 10 в остатке. Остаток 10 начал повторяться, а значит, и цифра 1 в частном будет повторяться бесконечно.

Таким образом, результат деления равен $0,2111...$, что представляет собой смешанную периодическую дробь. Неповторяющаяся часть после запятой (предпериод) — это 2, а повторяющаяся часть (период) — это 1. Такая дробь записывается как $0,2(1)$.

Сравним полученный результат с вариантами ответов:

А) $0,(21) = 0,212121...$

Б) $0,(2) = 0,222222...$

В) $0,(1) = 0,111111...$

Г) $0,2(1) = 0,211111...$

Полученное нами значение $0,2111...$ совпадает с вариантом Г.

Для проверки можно выполнить обратное действие — преобразовать десятичную дробь $0,2(1)$ в обыкновенную.

Пусть $x = 0,2(1) = 0,2111...$

Умножим на 10, чтобы «вынести» предпериод за запятую: $10x = 2,111...$

Умножим на 100, чтобы «вынести» за запятую предпериод вместе с первой цифрой периода: $100x = 21,111...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной периодической части:

$100x - 10x = 21,111... - 2,111...$

$90x = 19$

$x = \frac{19}{90}$

Результат совпадает с исходной дробью, что подтверждает правильность нашего решения.

Ответ: Г) 0,2(1)