Номер 550, страница 104 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Десятичное приближение обыкновенной дроби. Глава 3. Дроби - номер 550, страница 104.

Условие.

550. Из натурального числа, которое не больше 100, вычли сумму его цифр. Из полученного числа снова вычли сумму его цифр, и так делали несколько раз. После 11 таких вычитаний впервые получили 0. Найдите исходное число.

Решение.

Решение 2.

Пусть $N_0$ — исходное натуральное число, такое что $N_0 \le 100$.Обозначим через $S(x)$ сумму цифр числа $x$.Последовательность чисел строится по правилу $N_{k+1} = N_k - S(N_k)$.По условию, после 11 вычитаний впервые получили 0. Это означает, что $N_{11} = 0$ и $N_k \ne 0$ для всех $k < 11$.

Рассмотрим свойство операции вычитания суммы цифр. Любое натуральное число $x$ и сумма его цифр $S(x)$ имеют одинаковые остатки при делении на 9. Математически это записывается как $x \equiv S(x) \pmod{9}$.Следовательно, разность $x - S(x)$ всегда делится на 9, так как $x - S(x) \equiv S(x) - S(x) \equiv 0 \pmod{9}$.

Таким образом, число $N_1 = N_0 - S(N_0)$ должно быть кратно 9.Все последующие члены последовательности также будут кратны 9, поскольку если $N_k$ кратно 9, то и $S(N_k)$ кратно 9, а значит и их разность $N_{k+1} = N_k - S(N_k)$ будет кратна 9.Итак, все числа $N_1, N_2, \dots, N_{10}$ являются кратными 9.

Решим задачу, двигаясь в обратном порядке от $N_{11}$ к $N_0$.Нам известно, что $N_{11} = 0$. Это результат 11-го вычитания: $N_{10} - S(N_{10}) = 0$.Равенство $x - S(x) = 0$ выполняется только для однозначных чисел. Поскольку $N_{10} \ne 0$ и $N_{10}$ кратно 9, единственным возможным значением является $N_{10} = 9$.

Теперь найдем $N_9$. Оно должно удовлетворять уравнению $N_9 - S(N_9) = N_{10} = 9$.Так как $N_9$ — член последовательности, он должен быть кратен 9 и $N_9 > N_{10}$. Пусть $N_9$ — двузначное число вида $10a+b$. Тогда $N_9 - S(N_9) = (10a+b) - (a+b) = 9a$.Получаем уравнение $9a = 9$, откуда $a=1$.Значит, $N_9$ — это кратное 9 число, которое начинается с цифры 1. Единственное такое число — 18. Итак, $N_9=18$.

Аналогично находим остальные члены последовательности:

• $N_8 - S(N_8) = N_9 = 18 \implies 9a = 18 \implies a=2$. $N_8$ — кратное 9 число, начинающееся с 2. Значит, $N_8=27$.
• $N_7 - S(N_7) = N_8 = 27 \implies 9a = 27 \implies a=3$. Значит, $N_7=36$.
• $N_6 - S(N_6) = 36 \implies N_6 = 45$.
• $N_5 - S(N_5) = 45 \implies N_5 = 54$.
• $N_4 - S(N_4) = 54 \implies N_4 = 63$.
• $N_3 - S(N_3) = 63 \implies N_3 = 72$.
• $N_2 - S(N_2) = 72 \implies N_2 = 81$.

Теперь найдем $N_1$, зная что $N_1 - S(N_1) = N_2 = 81$.Используя формулу $9a=81$, получаем $a=9$.Значит, $N_1$ — это кратное 9 число, которое начинается с цифры 9. Есть два таких числа, меньших или равных 100:

1. $N_1 = 90$. Проверка: $90 - S(90) = 90 - 9 = 81$. Подходит.
2. $N_1 = 99$. Проверка: $99 - S(99) = 99 - 18 = 81$. Тоже подходит.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $N_1 = 90$.Нам нужно найти исходное число $N_0 \le 100$ такое, что $N_0 - S(N_0) = 90$.

• Если $N_0$ — двузначное число ($N_0 = 10a+b$), то $N_0 - S(N_0) = 9a$. Тогда $9a = 90$, откуда $a=10$, что невозможно для цифры.
• Если $N_0$ — трёхзначное число, то единственная возможность — $N_0=100$. Проверяем: $100 - S(100) = 100 - 1 = 99 \ne 90$.

Таким образом, не существует натурального числа $N_0 \le 100$, для которого выполняется это условие.

Случай 2: $N_1 = 99$.Нам нужно найти исходное число $N_0 \le 100$ такое, что $N_0 - S(N_0) = 99$.

• Если $N_0$ — двузначное число ($N_0 = 10a+b$), то $N_0 - S(N_0) = 9a$. Тогда $9a = 99$, откуда $a=11$, что невозможно.
• Если $N_0 = 100$, то $100 - S(100) = 100 - 1 = 99$. Это условие выполняется.

Единственное число, удовлетворяющее условию, — это $N_0=100$.

Проверим всю последовательность для $N_0=100$:$N_0 = 100$
$N_1 = 100 - 1 = 99$
$N_2 = 99 - 18 = 81$
$N_3 = 81 - 9 = 72$
$N_4 = 72 - 9 = 63$
$N_5 = 63 - 9 = 54$
$N_6 = 54 - 9 = 45$
$N_7 = 45 - 9 = 36$
$N_8 = 36 - 9 = 27$
$N_9 = 27 - 9 = 18$
$N_{10} = 18 - 9 = 9$
$N_{11} = 9 - 9 = 0$
После 11 вычитаний мы впервые получили 0.

Ответ: 100.