Страница 119 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

625. Бумажный мусор разлагается в природе на безопасные для неё вещества в среднем за 2 года. Время разложения алюминиевой банки составляет $25\,000\%$ от времени разложения бумаги, время разложения пластиковой крышки — $20\%$ от времени разложения алюминиевой банки, а время разложения пластикового пакета — $200\%$ от времени разложения пластиковой крышки. Сколько лет необходимо для разложения в природе пластикового пакета? Какие чувства вызывает у вас рисунок?

Сколько лет необходимо для разложения в природе пластикового пакета?

Для решения задачи необходимо последовательно рассчитать время разложения для каждого вида мусора, исходя из данных в условии.

1. Время разложения бумажного мусора составляет 2 года.

2. Найдём время разложения алюминиевой банки. Оно составляет 25 000 % от времени разложения бумаги. Сначала переведём проценты в десятичную дробь: $25000\% = 25000 / 100 = 250$.

Теперь вычислим время:

$2 \text{ года} \times 250 = 500 \text{ лет}$

3. Найдём время разложения пластиковой крышки. Оно составляет 20 % от времени разложения алюминиевой банки. Переведём проценты в дробь: $20\% = 20 / 100 = 0.2$.

Вычислим время:

$500 \text{ лет} \times 0.2 = 100 \text{ лет}$

4. Найдём время разложения пластикового пакета. Оно составляет 200 % от времени разложения пластиковой крышки. Переведём проценты в дробь: $200\% = 200 / 100 = 2$.

Вычислим итоговое время:

$100 \text{ лет} \times 2 = 200 \text{ лет}$

Ответ: для разложения в природе пластикового пакета необходимо 200 лет.

Какие чувства вызывает у вас рисунок?

Рисунок, на котором красивый природный пейзаж (море, песчаный пляж) испорчен разбросанным мусором, вызывает в первую очередь негативные чувства. Возникает грусть и разочарование от того, как бездумное поведение людей наносит вред окружающей среде. Появляется тревога за будущее нашей планеты, за здоровье экосистемы и живых существ, которые могут пострадать от этого загрязнения. Также этот вид вызывает возмущение и негодование по отношению к тем, кто оставил мусор, и одновременно — желание исправить ситуацию, убрать пляж и сделать его снова чистым. Изображение заставляет задуматься о личной ответственности каждого за сохранение природы.

Ответ: Рисунок вызывает чувства грусти, тревоги за природу и возмущения из-за безответственного поведения людей, а также мотивирует к действиям по защите окружающей среды.

626. Четыре предприятия перевели на счёт краеведческого музея 1 800 000 р. Первое предприятие перечислило 24 % этой суммы, второе – 125 % того, что перечислило первое предприятие, третье – $\frac{4}{9}$ того, что перечислило второе предприятие, а остальную сумму – четвёртое предприятие. Сколько рублей перечислило четвёртое предприятие?

Для решения задачи нужно последовательно вычислить, какую сумму перечислило каждое из первых трех предприятий, а затем вычесть эту общую сумму из итоговой, чтобы найти вклад четвертого предприятия.

1. Найдем сумму, которую перечислило первое предприятие.

Первое предприятие перечислило 24% от общей суммы 1 800 000 рублей. Чтобы найти процент от числа, нужно умножить число на долю, выраженную в сотых.

$1\ 800\ 000 \cdot \frac{24}{100} = 1\ 800\ 000 \cdot 0,24 = 432\ 000$ рублей.

2. Найдем сумму, которую перечислило второе предприятие.

Второе предприятие перечислило 125% от суммы, которую внесло первое предприятие (432 000 рублей).

$432\ 000 \cdot \frac{125}{100} = 432\ 000 \cdot 1,25 = 540\ 000$ рублей.

3. Найдем сумму, которую перечислило третье предприятие.

Третье предприятие перечислило $\frac{4}{9}$ от суммы, которую внесло второе предприятие (540 000 рублей). Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

$540\ 000 \cdot \frac{4}{9} = \frac{540\ 000 \cdot 4}{9} = 60\ 000 \cdot 4 = 240\ 000$ рублей.

4. Найдем сумму, которую перечислило четвертое предприятие.

Четвертое предприятие перечислило оставшуюся сумму. Для этого из общей суммы вычтем суммы, перечисленные первыми тремя предприятиями.

Сначала найдем общую сумму первых трех предприятий:

$432\ 000 + 540\ 000 + 240\ 000 = 1\ 212\ 000$ рублей.

Теперь вычтем эту сумму из общей:

$1\ 800\ 000 - 1\ 212\ 000 = 588\ 000$ рублей.

Ответ: 588 000 рублей.

627. Цену на некоторый товар вначале снизили на 20 %, а потом повысили на 20 %. Как изменилась цена этого товара по сравнению с первоначальной (повысилась или понизилась) и на сколько процентов?

Для решения этой задачи обозначим первоначальную цену товара переменной $x$.

1. Снижение цены на 20%

Первоначальная цена $x$ соответствует 100%. После снижения на 20% новая цена составит $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной. Чтобы найти новую цену, умножим $x$ на коэффициент, соответствующий 80%:
$x \cdot (1 - \frac{20}{100}) = x \cdot 0.8 = 0.8x$

2. Повышение цены на 20%

Теперь новую цену ($0.8x$) повышают на 20%. Важно, что проценты начисляются на текущую цену, а не на первоначальную. Цена увеличится в $1 + \frac{20}{100} = 1.2$ раза.
Конечная цена будет равна:
$(0.8x) \cdot 1.2 = 0.96x$

3. Сравнение конечной цены с первоначальной

Мы получили, что конечная цена составляет $0.96x$. Сравним ее с первоначальной ценой $x$ (которая равна $1x$).
Поскольку $0.96x < 1x$, цена товара понизилась.
Чтобы найти, на сколько процентов изменилась цена, найдем разницу между начальной и конечной ценой в процентах. Начальная цена — это 100%, а конечная — 96% от начальной ($0.96 \cdot 100\% = 96\%$).
$100\% - 96\% = 4\%$

Ответ: цена понизилась на 4%.

628. Цену на некоторый товар вначале повысили на 10 %, а потом снизили на 30 %. Как изменилась цена этого товара по сравнению с первоначальной (повысилась или понизилась) и на сколько процентов?

Для решения задачи примем первоначальную цену товара за $x$. Эта цена соответствует 100%.

Этап 1: Повышение цены на 10%

При повышении цены на 10% новая цена составит $100\% + 10\% = 110\%$ от первоначальной. Чтобы найти новую цену, нужно умножить первоначальную цену на коэффициент, соответствующий 110%.

Коэффициент изменения: $1 + \frac{10}{100} = 1.1$.

Цена после повышения: $x \cdot 1.1 = 1.1x$.

Этап 2: Снижение цены на 30%

Далее, полученную цену ($1.1x$) снижают на 30%. Важно, что процент снижения рассчитывается от новой, повышенной цены, а не от первоначальной.

Снижение на 30% означает, что от текущей цены останется $100\% - 30\% = 70\%$.

Коэффициент изменения: $1 - \frac{30}{100} = 0.7$.

Итоговая цена: $(1.1x) \cdot 0.7 = 0.77x$.

Этап 3: Сравнение итоговой и первоначальной цены

Первоначальная цена была $x$ (или $1x$), а конечная цена стала $0.77x$.

Поскольку $0.77 < 1$, итоговая цена ниже первоначальной. Следовательно, цена понизилась.

Чтобы определить, на сколько процентов понизилась цена, найдем разницу между первоначальной и итоговой ценой в долях от первоначальной цены:

$1x - 0.77x = 0.23x$.

Теперь переведем полученное значение в проценты, умножив его на 100:

$0.23 \cdot 100\% = 23\%$.

Таким образом, цена товара понизилась на 23% по сравнению с первоначальной.

Ответ: цена понизилась на 23%.

629. Докажите, что $a\%$ от числа $b$ равны $b\%$ от числа $a$.

Чтобы доказать данное утверждение, необходимо выразить обе части предполагаемого равенства математически и сравнить их.

1. Найдём a % от числа b

По определению, один процент ($1\%$) — это одна сотая часть числа, то есть $ \frac{1}{100} $. Соответственно, $a$ процентов — это $a$ сотых частей, или $ \frac{a}{100} $.

Чтобы найти $a$% от числа $b$, нужно умножить число $b$ на дробь, соответствующую $a$ процентам:

$ b \cdot \frac{a}{100} = \frac{b \cdot a}{100} = \frac{ab}{100} $

2. Найдём b % от числа a

Аналогично, $b$ процентов — это $b$ сотых частей, или $ \frac{b}{100} $.

Чтобы найти $b$% от числа $a$, нужно умножить число $a$ на дробь, соответствующую $b$ процентам:

$ a \cdot \frac{b}{100} = \frac{a \cdot b}{100} = \frac{ab}{100} $

3. Сравнение результатов

В первом случае мы получили выражение $ \frac{ab}{100} $.

Во втором случае мы также получили выражение $ \frac{ab}{100} $.

Мы видим, что оба выражения тождественно равны. Это следует из переместительного (коммутативного) свойства умножения, согласно которому от перемены мест множителей произведение не меняется ($a \cdot b = b \cdot a$).

Следовательно, $ a \% $ от числа $ b $ равны $ b \% $ от числа $ a $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как математическое выражение для "$a$% от числа $b$" ($b \cdot \frac{a}{100}$) и для "$b$% от числа $a$" ($a \cdot \frac{b}{100}$) приводятся к одному и тому же виду $ \frac{ab}{100} $.

630. В саду растут груши и яблони, всего $100$ деревьев. Сколько яблонь растёт в саду, если $20 \%$ их количества равно $60 \%$ количества груш?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $Я$ — это количество яблонь в саду, а $Г$ — количество груш.

Из условия задачи мы знаем, что общее количество деревьев равно 100. Это дает нам первое уравнение:

$Я + Г = 100$

Второе условие гласит, что 20 % количества яблонь равно 60 % количества груш. Переведем проценты в десятичные дроби: $20\% = 0.2$ и $60\% = 0.6$. Теперь мы можем записать второе уравнение:

$0.2 \cdot Я = 0.6 \cdot Г$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} Я + Г = 100 \\ 0.2 \cdot Я = 0.6 \cdot Г \end{cases} $

Давайте решим эту систему. Сначала упростим второе уравнение, разделив обе его части на 0.2:

$Я = \frac{0.6}{0.2} \cdot Г$

$Я = 3 \cdot Г$

Теперь мы знаем, что яблонь в 3 раза больше, чем груш. Подставим это соотношение в первое уравнение ($Я + Г = 100$):

$3Г + Г = 100$

$4Г = 100$

Теперь найдем количество груш:

$Г = \frac{100}{4} = 25$

В саду растет 25 груш. Зная это, мы можем найти количество яблонь, используя первое уравнение:

$Я = 100 - Г = 100 - 25 = 75$

Таким образом, в саду растёт 75 яблонь.

Ответ: 75 яблонь.