Страница 123 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

651. В августе яблоки подешевели по сравнению с июлем на 15 % и цена килограмма яблок составила 119 р. Сколько рублей стоил 1 кг яблок в июле?

Пусть $x$ — цена 1 кг яблок в июле в рублях.

Согласно условию, в августе яблоки подешевели на 15%. Это означает, что августовская цена составила $100\% - 15\% = 85\%$ от июльской цены.

Переведем проценты в десятичную дробь: $85\% = 0,85$.

Цена в августе составила 119 рублей. Мы можем составить уравнение, чтобы найти первоначальную цену $x$:

$x \cdot 0,85 = 119$

Теперь найдем $x$, разделив 119 на 0,85:

$x = \frac{119}{0,85}$

Для удобства вычислений избавимся от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{119 \cdot 100}{85} = \frac{11900}{85}$

Выполним деление:

$x = 140$

Таким образом, 1 кг яблок в июле стоил 140 рублей.

Ответ: 140 рублей.

652. На обед в харчевне «Три пескаря» лиса Алиса и кот Базилио заказали салат «Оливье», жареного поросёнка и торт-мороженое. Когда им принесли счёт, оказалось, что за салат надо заплатить 28 % суммы, за поросёнка — 54 %, а за торт-мороженое — остальные 108 сольдо. Сколько сольдо стоил обед Алисы и Базилио?

Для того чтобы найти общую стоимость обеда, сперва определим, какую часть от всей суммы составляют салат и поросёнок вместе.

1. Найдём суммарный процент стоимости салата и поросёнка от общей суммы счёта:
$28\% + 54\% = 82\%$

2. Вся сумма счёта составляет 100%. Оставшаяся часть приходится на торт-мороженое. Вычислим, какой процент от общей суммы составляет стоимость торта-мороженого:
$100\% - 82\% = 18\%$

3. Из условия задачи известно, что стоимость торта-мороженого равна 108 сольдо. Таким образом, 18% от общей суммы счёта — это 108 сольдо. Теперь мы можем найти общую сумму (100%), составив пропорцию или разделив известную часть на её долю.

Обозначим общую стоимость обеда за $X$. Тогда:
$0.18 \cdot X = 108$

Найдём $X$:
$X = 108 / 0.18$
$X = 10800 / 18$
$X = 600$

Следовательно, общая стоимость обеда составила 600 сольдо.

Ответ: 600 сольдо.

653. Трое друзей собирали грибы. Первый собрал 37 % всех грибов, второй – 25 %, а третий – остальные 152 гриба. Сколько всего грибов они собрали?

Для решения задачи примем общее количество собранных грибов за 100%.

1. Найдем, какую долю грибов в процентах собрали первый и второй друзья вместе. Для этого сложим их процентные доли:

$37\% + 25\% = 62\%$

2. Теперь определим, какая процентная доля грибов приходится на третьего друга. Для этого вычтем из общего количества (100%) долю, собранную первыми двумя друзьями:

$100\% - 62\% = 38\%$

Таким образом, третий друг собрал 38% от всех грибов.

3. Из условия мы знаем, что третий друг собрал 152 гриба, и это составляет 38% от общего количества. Обозначим общее количество грибов за $x$. Тогда можно составить пропорцию или уравнение:

$0.38 \cdot x = 152$

4. Найдем $x$, разделив количество грибов, собранных третьим другом, на его долю:

$x = \frac{152}{0.38}$

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{15200}{38}$

$x = 400$

Следовательно, всего друзья собрали 400 грибов.

Ответ: 400 грибов.

654. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 50 см, а ширина составляет 24 % длины. Вычислите объём параллелепипеда, если ширина составляет 30 % высоты.

Для решения задачи нам нужно последовательно найти все три измерения прямоугольного параллелепипеда (длину, ширину и высоту), а затем вычислить его объём.

1. Находим ширину параллелепипеда

Из условия известно, что длина параллелепипеда равна $50$ см. Ширина составляет $24\%$ от длины. Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на дробь, соответствующую проценту.

Ширина = $50 \cdot \frac{24}{100} = 50 \cdot 0,24 = 12$ см.

2. Находим высоту параллелепипеда

В условии сказано, что ширина составляет $30\%$ от высоты. Мы уже знаем, что ширина равна $12$ см. Составим уравнение, где $H$ - это высота:

$12 = H \cdot \frac{30}{100}$

$12 = H \cdot 0,3$

Чтобы найти высоту, разделим ширину на $0,3$:

$H = \frac{12}{0,3} = \frac{120}{3} = 40$ см.

3. Вычисляем объём параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) равен произведению его длины ($L$), ширины ($W$) и высоты ($H$):

$V = L \cdot W \cdot H$

Подставляем все известные значения:

$V = 50 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} \cdot 40 \text{ см} = 600 \text{ см}^2 \cdot 40 \text{ см} = 24000 \text{ см}^3$.

Ответ: $24000 \text{ см}^3$.

655. В первый день турист прошёл 7,2 км, во второй день – 150 % того, что в первый. Сколько километров прошёл турист за три дня, если во второй день он прошёл 90 % того, что прошёл в третий?

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить вычисления для каждого дня, а затем найти общую сумму.

1. Вычисление расстояния, пройденного во второй день
В первый день турист прошёл 7,2 км. Во второй день он прошёл 150% от этого расстояния. Чтобы найти 150% от числа, необходимо умножить это число на 1,5 (так как $150\% = \frac{150}{100} = 1,5$).
$7,2 \text{ км} \cdot 1,5 = 10,8 \text{ км}$.
Таким образом, во второй день турист прошёл 10,8 км.

2. Вычисление расстояния, пройденного в третий день
Из условия известно, что расстояние, пройденное во второй день (10,8 км), составляет 90% от расстояния, пройденного в третий день. Обозначим расстояние за третий день как $x$. Тогда можно составить уравнение (учитывая, что $90\% = 0,9$):
$0,9 \cdot x = 10,8$
Чтобы найти $x$, нужно разделить 10,8 на 0,9:
$x = \frac{10,8}{0,9} = \frac{108}{9} = 12 \text{ км}$.
Следовательно, в третий день турист прошёл 12 км.

3. Вычисление общего расстояния за три дня
Чтобы найти общее расстояние, которое турист прошёл за три дня, необходимо сложить расстояния за каждый день:
$7,2 \text{ км (1-й день)} + 10,8 \text{ км (2-й день)} + 12 \text{ км (3-й день)} = 30 \text{ км}$.
Ответ: 30 км.

656. В саду росли яблони и вишни, причём яблони составляли 41 % всех деревьев. Вишнёвых деревьев было на 54 больше, чем яблонь. Сколько деревьев росло в саду? Сколько среди них было вишнёвых деревьев?

Пусть $x$ — общее количество деревьев в саду (яблонь и вишен вместе), что составляет 100%.

Согласно условию, яблони составляют 41% всех деревьев. Следовательно, доля вишнёвых деревьев составляет:
$100\% - 41\% = 59\%$

Известно, что вишнёвых деревьев на 54 больше, чем яблонь. Найдём, на сколько процентов вишен больше, чем яблонь:
$59\% - 41\% = 18\%$

Таким образом, разница в 54 дерева соответствует 18% от общего количества деревьев в саду. Теперь мы можем составить пропорцию или уравнение, чтобы найти общее количество деревьев $x$.

$0.18 \times x = 54$

Сколько деревьев росло в саду?
Решим уравнение, чтобы найти $x$:
$x = \frac{54}{0.18} = \frac{5400}{18} = 300$
Всего в саду росло 300 деревьев.
Ответ: 300 деревьев.

Сколько среди них было вишнёвых деревьев?
Чтобы найти количество вишнёвых деревьев, нужно вычислить 59% от общего числа деревьев (300):
$300 \times 0.59 = 177$
Таким образом, в саду росло 177 вишнёвых деревьев.
Проверка:
Количество яблонь: $300 \times 0.41 = 123$.
Разница: $177 - 123 = 54$. Условие задачи выполняется.
Ответ: 177 вишнёвых деревьев.

657. За два дня проложили кабель. В первый день проложили 68 % кабеля, а во второй – на 115,2 м меньше, чем в первый. Сколько всего метров кабеля проложили за два дня? Сколько метров кабеля проложили в первый день?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это общая длина кабеля в метрах, которую проложили за два дня.

Согласно условию, в первый день проложили 68% от всей длины кабеля. Выразим это в метрах:

Длина кабеля в первый день = $0,68x$ м.

Во второй день проложили на 115,2 м меньше, чем в первый день. Выразим длину кабеля, проложенного во второй день:

Длина кабеля во второй день = $(0,68x - 115,2)$ м.

Общая длина кабеля равна сумме длин, проложенных за два дня. Составим уравнение:

Длина за 1-й день + Длина за 2-й день = Общая длина

$0,68x + (0,68x - 115,2) = x$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

$1,36x - 115,2 = x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$1,36x - x = 115,2$

$0,36x = 115,2$

$x = \frac{115,2}{0,36}$

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{11520}{36}$

$x = 320$

Таким образом, мы нашли общую длину кабеля. Теперь ответим на вопросы задачи.

Общая длина кабеля, которую мы обозначили за $x$, составляет 320 метров.

Ответ: 320 м.

В первый день проложили 68% от общей длины. Найдем это значение:

$320 \cdot 0,68 = 217,6$ м.

Ответ: 217,6 м.

658. В саду растут красные, розовые и белые розы. Красные розы составляют 40 % всех роз, розовые – 58 % остальных роз, а белых роз растёт 63. Сколько всего роз растёт в саду?

Для решения задачи будем двигаться по шагам, от известных величин к неизвестным.

1. Сначала определим, какой процент от общего числа роз составляют розовые и белые розы вместе. Так как красные розы составляют 40% всех роз, то на долю остальных (розовых и белых) приходится:
$100\% - 40\% = 60\%$

2. Далее выясним, какой процент от этих оставшихся роз составляют белые розы. По условию, розовые составляют 58% остальных роз. Значит, белые розы составляют:
$100\% - 58\% = 42\%$ от числа остальных роз.

3. Теперь, зная, что белых роз 63 штуки и это составляет 42% от числа остальных роз, мы можем найти, сколько всего было остальных роз (розовых и белых вместе). Для этого составим пропорцию или разделим число на его долю:
$63 / 0.42 = 150$ роз.
Итак, всего в саду 150 розовых и белых роз.

4. Наконец, мы знаем, что эти 150 роз составляют 60% от общего количества роз в саду. Найдём общее количество роз, разделив число на его долю:
$150 / 0.6 = 250$ роз.

Ответ: 250 роз.

659. В первый день Саша прочитал 25 % всей книги, во второй – 68 % оставшихся страниц, а в третий – последние 96 страниц. Сколько всего страниц в книге?

Для решения этой задачи будем рассуждать с конца.

1. В третий день Саша прочитал 96 страниц. Известно, что во второй день он прочитал 68% от оставшихся после первого дня страниц. Это значит, что 96 страниц, прочитанные в третий день, составляют оставшуюся часть от того, что было перед вторым днем. Эта часть равна:

$100\% - 68\% = 32\%$

Таким образом, 96 страниц — это 32% от количества страниц, которые оставались после первого дня.

2. Теперь мы можем найти, сколько страниц оставалось прочитать после первого дня. Если 96 страниц — это 32%, то все 100% (остаток после первого дня) можно найти с помощью пропорции:

$\frac{96}{0.32} = 300$ страниц.

Значит, после первого дня Саше оставалось прочитать 300 страниц.

3. В первый день Саша прочитал 25% всей книги. Следовательно, 300 страниц, которые остались после первого дня, составляют $100\% - 25\% = 75\%$ от общего числа страниц в книге.

4. Зная, что 300 страниц — это 75% всей книги, найдем общее количество страниц в книге ($x$):

$\frac{300}{0.75} = 400$ страниц.

Ответ: 400.

660. Сколько килограммов картофеля продал магазин за три дня, если в первый день продали $32\%$ всего картофеля, во второй – $45\%$ оставшегося, а в третий – $561$ кг?

Для решения этой задачи необходимо найти общее количество картофеля, которое было в магазине изначально. Обозначим эту величину переменной $x$ (в кг). Решим задачу по шагам, двигаясь от последнего дня к первому.

1. Начнем с конца. В третий день было продано 561 кг картофеля. Это количество является остатком после продаж в первые два дня.

2. Во второй день продали 45% от того количества, что осталось после первого дня. Это означает, что 561 кг, проданные в третий день, составляют $100\% - 45\% = 55\%$ от остатка после первого дня. Обозначим остаток после первого дня как $y$. Тогда:$0.55 \times y = 561$Найдем $y$:$y = \frac{561}{0.55} = \frac{56100}{55} = 1020$ кг.Таким образом, после первого дня в магазине оставалось 1020 кг картофеля.

3. В первый день было продано 32% всего картофеля. Следовательно, остаток в 1020 кг составляет $100\% - 32\% = 68\%$ от общего первоначального количества картофеля ($x$). Теперь мы можем составить уравнение для нахождения $x$:$0.68 \times x = 1020$Найдем $x$:$x = \frac{1020}{0.68} = \frac{102000}{68} = 1500$ кг.

Таким образом, всего в магазине было 1500 кг картофеля, которые и были проданы за три дня.

Проверка:
- Изначально было 1500 кг картофеля.
- В первый день продали 32%: $1500 \times 0.32 = 480$ кг. Осталось: $1500 - 480 = 1020$ кг.
- Во второй день продали 45% остатка: $1020 \times 0.45 = 459$ кг. Осталось: $1020 - 459 = 561$ кг.
- В третий день продали 561 кг, что совпадает с условием задачи.

Ответ: 1500 кг.

661. На новогодний праздник в школу завезли три вида мороженого: шоколадное, клубничное и ванильное. Шоколадное составляло 52 % всего мороженого, клубничное – 25 % шоколадного, а ванильное – остальные 70 кг. Сколько килограммов мороженого завезли в школу?

Для решения задачи примем общую массу всего мороженого за 100%.

1. Найдём, какой процент от всего мороженого составляет клубничное.
Шоколадное мороженое составляет 52% от общего количества. Клубничное мороженое составляет 25% от массы шоколадного. Чтобы найти долю клубничного мороженого от общего количества, нужно вычислить 25% от 52%.
$0.25 \times 52\% = 13\%$
Таким образом, клубничное мороженое составляет 13% от всего завезённого мороженого.

2. Найдём, какой процент от всего мороженого составляют шоколадное и клубничное вместе.
Для этого сложим их процентные доли:
$52\% + 13\% = 65\%$

3. Найдём, какой процент от всего мороженого составляет ванильное.
Ванильное мороженое — это всё остальное, поэтому его доля равна разности 100% и суммарной доли шоколадного и клубничного:
$100\% - 65\% = 35\%$

4. Найдём общую массу мороженого.
Из условия известно, что масса ванильного мороженого составляет 70 кг. Мы выяснили, что это 35% от общей массы. Обозначим общую массу мороженого за $x$ и составим пропорцию:
70 кг — 35%
$x$ кг — 100%
Теперь найдём $x$:
$x = \frac{70 \times 100}{35} = 2 \times 100 = 200$ кг.

Ответ: 200 кг.