Страница 130 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

682. Увеличен или уменьшен предмет на плане, если он изображён на нём в масштабе:

1) $1:10$;

2) $100:1$;

3) $1:50$;

4) $5:1$?

Масштаб — это отношение длины отрезка на плане к его действительной длине. Он записывается в виде отношения $a:b$, где $a$ — это расстояние на плане, а $b$ — соответствующее расстояние в реальности.

Чтобы определить, увеличен или уменьшен предмет, нужно сравнить числа в записи масштаба:

- Если первое число меньше второго ($a < b$), то это масштаб уменьшения. Изображение на плане меньше реального объекта.

- Если первое число больше второго ($a > b$), то это масштаб увеличения. Изображение на плане больше реального объекта.

- Если числа равны ($a = b$, например, $1:1$), то предмет изображен в натуральную величину.

1) 1 : 10

В данном случае масштаб $1:10$. Так как $1 < 10$ (первое число меньше второго), это является масштабом уменьшения. Это означает, что 1 единица длины на плане соответствует 10 таким же единицам в реальности. Следовательно, предмет на плане изображен уменьшенным.

Ответ: уменьшен.

2) 100 : 1

Здесь масштаб $100:1$. Так как $100 > 1$ (первое число больше второго), это является масштабом увеличения. Это означает, что 100 единиц длины на плане соответствуют 1 такой же единице в реальности. Следовательно, предмет на плане изображен увеличенным.

Ответ: увеличен.

3) 1 : 50

Здесь масштаб $1:50$. Так как $1 < 50$ (первое число меньше второго), это является масштабом уменьшения. Это означает, что 1 единица длины на плане соответствует 50 таким же единицам в реальности. Следовательно, предмет на плане изображен уменьшенным.

Ответ: уменьшен.

4) 5 : 1

Здесь масштаб $5:1$. Так как $5 > 1$ (первое число больше второго), это является масштабом увеличения. Это означает, что 5 единиц длины на плане соответствуют 1 такой же единице в реальности. Следовательно, предмет на плане изображен увеличенным.

Ответ: увеличен.

683. Во сколько раз расстояние на карте меньше расстояния на местности, если масштаб карты $1:200000$?

Масштаб карты показывает отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. Масштаб, записанный в виде дроби $1 : 200\ 000$, означает, что 1 единица измерения на карте (например, 1 сантиметр) соответствует $200\ 000$ таким же единицам измерения на местности (то есть $200\ 000$ сантиметрам).

Таким образом, чтобы получить реальное расстояние на местности, нужно расстояние, измеренное на карте, умножить на $200\ 000$. И наоборот, чтобы получить расстояние на карте, нужно реальное расстояние на местности разделить на $200\ 000$.

Вопрос "во сколько раз расстояние на карте меньше расстояния на местности" эквивалентен вопросу "во сколько раз расстояние на местности больше расстояния на карте". Это отношение напрямую задается второй цифрой в масштабе.

Пусть $d_{карта}$ — это расстояние на карте, а $d_{местность}$ — это расстояние на местности. Тогда их соотношение, согласно масштабу, выглядит так:

$\frac{d_{карта}}{d_{местность}} = \frac{1}{200\ 000}$

Отсюда следует, что:

$d_{местность} = 200\ 000 \cdot d_{карта}$

Это означает, что расстояние на карте в $200\ 000$ раз меньше расстояния на местности.

Ответ: в $200\ 000$ раз.

684. Во сколько раз расстояние на местности больше расстояние на карте, если масштаб карты $1 : 40 000$?

Масштаб карты — это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. В данном случае масштаб карты составляет $1 : 40 000$.

Это означает, что любая единица длины на карте (например, $1$ сантиметр) соответствует $40 000$ таким же единицам длины на местности (т.е. $40 000$ сантиметрам).

Отношение можно записать в виде дроби:

$\frac{\text{расстояние на карте}}{\text{расстояние на местности}} = \frac{1}{40 000}$

Вопрос "во сколько раз расстояние на местности больше расстояния на карте" требует найти обратное отношение:

$\frac{\text{расстояние на местности}}{\text{расстояние на карте}} = \frac{40 000}{1} = 40 000$

Таким образом, расстояние на местности в $40 000$ раз больше, чем соответствующее расстояние на карте.

Ответ: Расстояние на местности больше расстояния на карте в $40 000$ раз.

685. Расстояние между городами Париж и Тулуза на карте, масштаб которой 1 : 9 000 000, равно 6,5 см. Вычислите расстояние между этими городами на местности.

Масштаб карты 1:9 000 000 показывает, что 1 сантиметр на карте соответствует 9 000 000 сантиметров на местности.

Чтобы найти реальное расстояние между городами, необходимо расстояние на карте умножить на число, указанное в масштабе.

1. Сначала вычислим расстояние в сантиметрах:
$6,5 \text{ см} \times 9 000 000 = 58 500 000 \text{ см}$

2. Теперь переведем полученное значение в километры. Для удобства сначала переведем сантиметры в метры, а затем метры в километры.
В 1 метре 100 сантиметров:
$58 500 000 \text{ см} \div 100 = 585 000 \text{ м}$
В 1 километре 1000 метров:
$585 000 \text{ м} \div 1000 = 585 \text{ км}$

Таким образом, расстояние между Парижем и Тулузой на местности составляет 585 километров.

Ответ: 585 км.

686. Расстояние между городами Яблоневое и Грушевое равно 240 км. Каким будет расстояние между этими городами на карте с масштабом $1 : 600\,000$?

Масштаб карты $1:600 000$ означает, что 1 сантиметр на карте соответствует $600 000$ сантиметрам в реальности. Чтобы найти расстояние на карте, необходимо реальное расстояние перевести в те же единицы измерения (сантиметры) и затем разделить на знаменатель масштаба.

1. Перевод километров в сантиметры

Сначала переведем данное расстояние из километров в сантиметры. В одном километре $1000$ метров, а в одном метре $100$ сантиметров.

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 1000 \times 100 \text{ см} = 100 000 \text{ см}$

Теперь вычислим, сколько сантиметров в $240$ километрах:

$240 \text{ км} = 240 \times 100 000 \text{ см} = 24 000 000 \text{ см}$

2. Вычисление расстояния на карте

Теперь разделим реальное расстояние в сантиметрах на знаменатель масштаба, чтобы найти соответствующее расстояние на карте:

$\frac{24 000 000 \text{ см}}{600 000} = \frac{240}{6} \text{ см} = 40 \text{ см}$

Следовательно, расстояние между городами Яблоневое и Грушевое на карте будет равно $40$ см.

Ответ: 40 см.

687. Расстояние между городами Зеленогорский и Синеозёрный равно 320 км. Каким будет расстояние между этими городами на карте с масштабом $1 : 4\ 000\ 000$?

Масштаб карты 1:4 000 000 означает, что 1 единица длины на карте соответствует 4 000 000 таким же единицам на местности. Чтобы найти расстояние на карте, необходимо реальное расстояние разделить на знаменатель масштаба, предварительно приведя их к одинаковым единицам измерения.

1. Переведем реальное расстояние, равное 320 км, в сантиметры.
Поскольку в 1 километре 1000 метров, а в 1 метре 100 сантиметров, то в 1 километре $1000 \times 100 = 100\ 000$ сантиметров.
Следовательно, расстояние на местности в сантиметрах равно:
$320 \text{ км} \times 100\ 000 \frac{\text{см}}{\text{км}} = 32\ 000\ 000 \text{ см}$.

2. Теперь разделим полученное расстояние на местности на знаменатель масштаба (4 000 000), чтобы найти соответствующее расстояние на карте.
Расстояние на карте = $\frac{32\ 000\ 000 \text{ см}}{4\ 000\ 000} = 8 \text{ см}$.

Ответ: 8 см.

688. Расстояние между двумя городами на местности равно 435 км, а на карте – 14,5 см. Найдите масштаб карты.

Масштаб карты — это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. Чтобы найти масштаб, необходимо выразить оба расстояния в одинаковых единицах измерения. Удобнее всего перевести всё в сантиметры.

1. Сначала переведем реальное расстояние между городами из километров в сантиметры.
Мы знаем, что 1 км = 1000 м, а 1 м = 100 см.
Следовательно, $1 \text{ км} = 1000 \times 100 = 100\ 000 \text{ см}$.
Теперь вычислим, сколько сантиметров в 435 км:
$435 \text{ км} = 435 \times 100\ 000 \text{ см} = 43\ 500\ 000 \text{ см}$.

2. Теперь у нас есть оба расстояния в сантиметрах:
Расстояние на карте = $14,5$ см.
Расстояние на местности = $43\ 500\ 000$ см.

3. Масштаб находится как отношение расстояния на карте к расстоянию на местности. Запишем это отношение:
$14,5 : 43\ 500\ 000$.

4. Чтобы привести масштаб к стандартному виду $1:N$, нужно разделить обе части отношения на число, стоящее в левой части (в данном случае на 14,5):
$\frac{14,5}{14,5} : \frac{43\ 500\ 000}{14,5}$
$1 : 3\ 000\ 000$.

Таким образом, масштаб карты равен 1:3 000 000.

Ответ: 1:3 000 000.

689. Расстояние между двумя городами на местности равно 120 км, а на карте - 7,5 см. Найдите масштаб карты.

Масштаб карты – это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. Для определения масштаба необходимо привести оба расстояния к одной единице измерения. Удобнее всего перевести километры в сантиметры.

1. Сначала переведем реальное расстояние между городами (120 км) в сантиметры. Мы знаем, что: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$ $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$ Следовательно, $1 \text{ км} = 1000 \times 100 \text{ см} = 100\;000 \text{ см}$.

Теперь вычислим реальное расстояние в сантиметрах: $120 \text{ км} = 120 \times 100\;000 \text{ см} = 12\;000\;000 \text{ см}$.

2. Масштаб находится как отношение расстояния на карте к реальному расстоянию. Расстояние на карте = $7,5$ см. Реальное расстояние = $12\;000\;000$ см.

Составим отношение: $\frac{7,5}{12\;000\;000}$

3. Обычно масштаб записывают в виде $1:N$. Для этого нужно, чтобы в числителе дроби была единица. Разделим числитель и знаменатель на $7,5$: $\frac{7,5 \div 7,5}{12\;000\;000 \div 7,5} = \frac{1}{1\;600\;000}$

Таким образом, масштаб карты равен 1:1 600 000.

Ответ: 1:1 600 000.

690. Замените данное отношение отношением натуральных чисел:

1) $1 : \frac{3}{8}$,

2) $\frac{5}{12} : \frac{17}{18}$,

3) $\frac{3}{4} : \frac{5}{18}$,

4) $1\frac{2}{3} : 1\frac{1}{3}$.

1) Чтобы заменить отношение $1 : \frac{3}{8}$ отношением натуральных чисел, нужно умножить обе части отношения на такое число, чтобы они стали натуральными. В данном случае, чтобы дробь $\frac{3}{8}$ стала натуральным числом, её нужно умножить на её знаменатель, то есть на 8. Умножим обе части отношения на 8:

$1 \cdot 8 : \frac{3}{8} \cdot 8$

$8 : 3$

Оба числа, 8 и 3, являются натуральными.

Ответ: $8 : 3$

2) Дано отношение дробей $\frac{5}{12} : \frac{17}{18}$. Чтобы заменить его отношением натуральных чисел, умножим обе части на их наименьшее общее кратное (НОК). Знаменатели дробей — 12 и 18.

Найдем НОК(12, 18):

$12 = 2^2 \cdot 3$

$18 = 2 \cdot 3^2$

$НОК(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Теперь умножим каждую дробь в отношении на 36:

$\frac{5}{12} \cdot 36 : \frac{17}{18} \cdot 36$

$(5 \cdot \frac{36}{12}) : (17 \cdot \frac{36}{18})$

$(5 \cdot 3) : (17 \cdot 2)$

$15 : 34$

Оба числа, 15 и 34, являются натуральными.

Ответ: $15 : 34$

3) Дано отношение дробей $\frac{3}{4} : \frac{5}{18}$. Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 18, чтобы преобразовать дроби в натуральные числа.

Найдем НОК(4, 18):

$4 = 2^2$

$18 = 2 \cdot 3^2$

$НОК(4, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Умножим обе части отношения на 36:

$\frac{3}{4} \cdot 36 : \frac{5}{18} \cdot 36$

$(3 \cdot \frac{36}{4}) : (5 \cdot \frac{36}{18})$

$(3 \cdot 9) : (5 \cdot 2)$

$27 : 10$

Оба числа, 27 и 10, являются натуральными.

Ответ: $27 : 10$

4) Дано отношение смешанных чисел $1\frac{2}{3} : 1\frac{1}{3}$. Сначала преобразуем их в неправильные дроби.

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Получилось отношение $\frac{5}{3} : \frac{4}{3}$.

Так как знаменатели дробей одинаковы, можно умножить обе части отношения на этот знаменатель, то есть на 3.

$\frac{5}{3} \cdot 3 : \frac{4}{3} \cdot 3$

$5 : 4$

Оба числа, 5 и 4, являются натуральными.

Ответ: $5 : 4$

691. Замените отношение дробных чисел отношением натуральных чисел:

1) $4/9 : 11/9;$

2) $0,8 : 0,03;$

3) $2\frac{5}{8} : 3\frac{1}{6};$

4) $3\frac{1}{2} : 3,6.$

1) Чтобы заменить отношение дробных чисел отношением натуральных чисел, нужно умножить оба члена отношения на их общий знаменатель. В данном случае общий знаменатель равен 9.

$ \frac{4}{9} : \frac{11}{9} = (\frac{4}{9} \cdot 9) : (\frac{11}{9} \cdot 9) = 4 : 11 $

Ответ: $4 : 11$

2) Чтобы заменить отношение десятичных дробей отношением натуральных чисел, нужно умножить оба члена отношения на $10^n$, где n — наибольшее количество знаков после запятой у данных дробей. В данном случае у числа 0,03 два знака после запятой, поэтому умножаем оба числа на $10^2 = 100$.

$ 0,8 : 0,03 = (0,8 \cdot 100) : (0,03 \cdot 100) = 80 : 3 $

Ответ: $80 : 3$

3) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$ 2\frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{16+5}{8} = \frac{21}{8} $

$ 3\frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{18+1}{6} = \frac{19}{6} $

Получилось отношение дробей: $ \frac{21}{8} : \frac{19}{6} $. Теперь умножим оба члена отношения на наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Для чисел 8 и 6 НОК(8, 6) = 24.

$ (\frac{21}{8} \cdot 24) : (\frac{19}{6} \cdot 24) = (21 \cdot \frac{24}{8}) : (19 \cdot \frac{24}{6}) = (21 \cdot 3) : (19 \cdot 4) = 63 : 76 $

Ответ: $63 : 76$

4) Чтобы заменить данное отношение, представим оба числа в одном виде, например, в виде неправильных дробей.

$ 3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2} $

$ 3,6 = 3\frac{6}{10} = 3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{18}{5} $

Получили отношение: $ \frac{7}{2} : \frac{18}{5} $. Умножим оба члена отношения на НОК их знаменателей. Для чисел 2 и 5 НОК(2, 5) = 10.

$ (\frac{7}{2} \cdot 10) : (\frac{18}{5} \cdot 10) = (7 \cdot \frac{10}{2}) : (18 \cdot \frac{10}{5}) = (7 \cdot 5) : (18 \cdot 2) = 35 : 36 $

Ответ: $35 : 36$

692. Увеличится или уменьшится отношение и во сколько раз, если:

1) предыдущий член увеличить в $4$ раза;

2) последующий член увеличить в $2.4$ раза;

3) предыдущий и последующий члены увеличить в $10$ раз;

4) последующий член увеличить в $7$ раз, а предыдущий уменьшить в $3$ раза;

5) предыдущий член уменьшить в $9$ раз, а последующий – в $4.5$ раза?

Обозначим исходное отношение как $a : b$, что эквивалентно дроби $\frac{a}{b}$. В этом отношении $a$ — предыдущий член, а $b$ — последующий член.

1) предыдущий член увеличить в 4 раза;

Если предыдущий член $a$ увеличить в 4 раза, он станет $4a$. Новое отношение будет равно $4a : b$ или $\frac{4a}{b}$.

Чтобы найти, как изменилось отношение, разделим новое отношение на исходное:

$\frac{4a}{b} : \frac{a}{b} = \frac{4a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 4$

Это означает, что отношение увеличилось в 4 раза.

Ответ: увеличится в 4 раза.

2) последующий член увеличить в 2,4 раза;

Если последующий член $b$ увеличить в 2,4 раза, он станет $2.4b$. Новое отношение будет равно $a : 2.4b$ или $\frac{a}{2.4b}$.

Найдем, во сколько раз изменилось отношение, разделив новое на исходное:

$\frac{a}{2.4b} : \frac{a}{b} = \frac{a}{2.4b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{1}{2.4}$

Поскольку отношение умножилось на число, меньшее единицы, оно уменьшилось. Величина уменьшения равна обратному числу, то есть в 2,4 раза.

Ответ: уменьшится в 2,4 раза.

3) предыдущий и последующий члены увеличить в 10 раз;

Если предыдущий член $a$ увеличить в 10 раз, он станет $10a$. Если последующий член $b$ увеличить в 10 раз, он станет $10b$. Новое отношение будет $\frac{10a}{10b}$.

Сократив дробь, получим:

$\frac{10a}{10b} = \frac{a}{b}$

Новое отношение равно исходному. Таким образом, отношение не изменилось.

Ответ: не изменится.

4) последующий член увеличить в 7 раз, а предыдущий уменьшить в 3 раза;

Если последующий член $b$ увеличить в 7 раз, он станет $7b$. Если предыдущий член $a$ уменьшить в 3 раза, он станет $\frac{a}{3}$.

Новое отношение будет равно $\frac{a/3}{7b} = \frac{a}{3 \cdot 7b} = \frac{a}{21b}$.

Найдем, во сколько раз изменилось отношение:

$\frac{a}{21b} : \frac{a}{b} = \frac{a}{21b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{1}{21}$

Отношение умножилось на $\frac{1}{21}$, следовательно, оно уменьшилось в 21 раз.

Ответ: уменьшится в 21 раз.

5) предыдущий член уменьшить в 9 раз, а последующий – в 4,5 раза?

Если предыдущий член $a$ уменьшить в 9 раз, он станет $\frac{a}{9}$. Если последующий член $b$ уменьшить в 4,5 раза, он станет $\frac{b}{4.5}$.

Новое отношение будет равно $\frac{a/9}{b/4.5}$.

Преобразуем это выражение:

$\frac{a/9}{b/4.5} = \frac{a}{9} \cdot \frac{4.5}{b} = \frac{4.5a}{9b} = \frac{4.5}{9} \cdot \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}$

Отношение стало в $\frac{1}{2}$ раза больше исходного, то есть уменьшилось в 2 раза.

Ответ: уменьшится в 2 раза.

693. Увеличится или уменьшится отношение и во сколько раз, если:

1) предыдущий член уменьшить в 5 раз;

2) последующий член уменьшить в 6 раз;

3) предыдущий член увеличить в 9 раз, а последующий уменьшить в 2 раза;

4) последующий и предыдущий члены увеличить соответственно в 4 и 12 раз?

Пусть исходное отношение — это $a:b$ или, в виде дроби, $\frac{a}{b}$. В этой записи $a$ — предыдущий член, а $b$ — последующий член. Мы будем анализировать, как изменяется значение этой дроби.