Страница 137 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

717. Решите уравнение:

1) $6 : x = 36 : 30;$

2) $12 : 7 = 3 : x,$

3) $4,9 : 0,35 = x : 35;$

4) $\frac{x}{21} = \frac{9}{14};$

5) $\frac{x}{16} = \frac{3}{8};$

6) $\frac{108}{90} = \frac{42}{b}.$

1) $6 : x = 36 : 30$
Данное уравнение является пропорцией. Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов ($a:b = c:d \implies a \cdot d = b \cdot c$).
Применим это свойство к нашему уравнению:
$6 \cdot 30 = x \cdot 36$
$180 = 36x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 36:
$x = \frac{180}{36}$
$x = 5$
Ответ: 5

2) $12 : 7 = 3 : x$
Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$12 \cdot x = 7 \cdot 3$
$12x = 21$
Разделим обе части уравнения на 12, чтобы найти $x$:
$x = \frac{21}{12}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{7}{4}$
Представим ответ в виде десятичной дроби:
$x = 1,75$
Ответ: 1,75

3) $4,9 : 0,35 = x : 35$
Применим основное свойство пропорции:
$4,9 \cdot 35 = 0,35 \cdot x$
Выразим $x$ из этого уравнения:
$x = \frac{4,9 \cdot 35}{0,35}$
Можно заметить, что 35 в 100 раз больше, чем 0,35. Сократим 35 и 0,35:
$x = 4,9 \cdot \frac{35}{0,35}$
$x = 4,9 \cdot 100$
$x = 490$
Ответ: 490

4) $\frac{x}{21} = \frac{9}{14}$
Это пропорция, записанная в виде равенства дробей. Используем правило перекрестного умножения (числитель первой дроби умножается на знаменатель второй, и наоборот):
$x \cdot 14 = 21 \cdot 9$
$14x = 189$
Найдем $x$, разделив 189 на 14:
$x = \frac{189}{14}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 7:
$x = \frac{189 \div 7}{14 \div 7} = \frac{27}{2}$
Переведем в десятичную дробь:
$x = 13,5$
Ответ: 13,5

5) $\frac{x}{16} = \frac{3}{8}$
По правилу перекрестного умножения для пропорций:
$x \cdot 8 = 16 \cdot 3$
$8x = 48$
Разделим обе части уравнения на 8:
$x = \frac{48}{8}$
$x = 6$
Ответ: 6

6) $\frac{108}{90} = \frac{42}{b}$
Применим правило перекрестного умножения:
$108 \cdot b = 90 \cdot 42$
Выразим $b$:
$b = \frac{90 \cdot 42}{108}$
Для упрощения вычислений сократим дробь. Разделим 90 и 108 на их общий делитель 18 ($90 = 18 \cdot 5$, $108 = 18 \cdot 6$):
$b = \frac{18 \cdot 5 \cdot 42}{18 \cdot 6} = \frac{5 \cdot 42}{6}$
Теперь разделим 42 на 6:
$b = 5 \cdot 7$
$b = 35$
Ответ: 35

718. Найдите неизвестный член пропорции:

1) $x : 5 = 21 : 15;$

2) $\frac{12}{x} = \frac{8}{18};$

3) $4,5 : 0,6 = x : 2,4;$

4) $\frac{3,4}{5,1} = \frac{1,4}{x}.$

1) Дана пропорция $x : 5 = 21 : 15$. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних. Запишем это в виде уравнения:
$x \cdot 15 = 5 \cdot 21$
$15x = 105$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 15:
$x = \frac{105}{15}$
$x = 7$
Ответ: 7

2) Дана пропорция $\frac{12}{x} = \frac{8}{18}$. Применим правило перекрестного умножения:
$12 \cdot 18 = x \cdot 8$
$216 = 8x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8:
$x = \frac{216}{8}$
$x = 27$
Ответ: 27

3) Дана пропорция $4,5 : 0,6 = x : 2,4$. Применим основное свойство пропорции: произведение крайних членов ($4,5$ и $2,4$) равно произведению средних ($0,6$ и $x$).
$4,5 \cdot 2,4 = 0,6 \cdot x$
$10,8 = 0,6x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,6:
$x = \frac{10,8}{0,6}$
$x = \frac{108}{6}$
$x = 18$
Ответ: 18

4) Дана пропорция $\frac{3,4}{5,1} = \frac{1,4}{x}$. Используя правило перекрестного умножения, получаем:
$3,4 \cdot x = 5,1 \cdot 1,4$
$3,4x = 7,14$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3,4:
$x = \frac{7,14}{3,4}$
$x = 2,1$
Ответ: 2,1

719. Решите с помощью пропорции задачу.

1) Для изготовления 8 одинаковых деталей необходимо 18 кг металла. Сколько таких деталей можно изготовить из 27 кг металла?

2) За 5 ч турист прошёл 24 км. Какое расстояние он пройдёт за 8 ч с той же скоростью?

3) Из 140 кг свежих вишен получают 21 кг сушёных. Сколько килограммов сушёных вишен получится из 160 кг свежих? Сколько килограммов свежих вишен необходимо взять, чтобы получить 31,5 кг сушёных?

4) Объём бруска, изготовленного из древесины вишни, равен $800 \text{ см}^3$, а его масса – 528 г. Какова масса бруска, изготовленного из этого же материала, если его объём равен $1500 \text{ см}^3$?

5) Из 45 т железной руды выплавляют 25 т железа. Сколько требуется тонн руды, чтобы выплавить 10 т железа?

6) Площадь поля 480 га. Пшеницей засеяли 24 % площади поля. Сколько гектаров земли засеяли пшеницей?

7) За первый час автомобиль проехал 70 км, что составило 14 % всего пути. Сколько километров составляет весь путь?

8) Сплав содержит 12 % цинка. Сколько килограммов цинка содержится в 80 кг сплава?

1) Обозначим искомое количество деталей через $x$. Поскольку количество деталей прямо пропорционально количеству металла, составим пропорцию:

8 деталей — 18 кг
$x$ деталей — 27 кг

Из пропорции следует соотношение: $\frac{8}{x} = \frac{18}{27}$.
Упростим правую часть, разделив числитель и знаменатель на 9: $\frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
Получаем: $\frac{8}{x} = \frac{2}{3}$.
Из этого уравнения находим $x$: $2 \cdot x = 8 \cdot 3 \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x = \frac{24}{2} = 12$ (деталей).
Ответ: 12 деталей.

2) Обозначим искомое расстояние через $x$. Так как скорость туриста постоянна, пройденное расстояние прямо пропорционально времени в пути. Составим пропорцию:

За 5 ч — 24 км
За 8 ч — $x$ км

Соотношение: $\frac{5}{8} = \frac{24}{x}$.
Находим $x$: $5 \cdot x = 8 \cdot 24 \Rightarrow 5x = 192 \Rightarrow x = \frac{192}{5} = 38,4$ (км).
Ответ: 38,4 км.

3) Эта задача состоит из двух частей. Решим каждую с помощью пропорции.
а) Сколько килограммов сушёных вишен получится из 160 кг свежих?
Обозначим искомую массу через $x$.
Из 140 кг свежих — 21 кг сушёных
Из 160 кг свежих — $x$ кг сушёных
Пропорция: $\frac{140}{160} = \frac{21}{x}$. Упростим левую часть: $\frac{140}{160} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$.
Тогда $\frac{7}{8} = \frac{21}{x}$, откуда $7x = 8 \cdot 21 \Rightarrow x = \frac{8 \cdot 21}{7} = 8 \cdot 3 = 24$ (кг).
б) Сколько килограммов свежих вишен необходимо взять, чтобы получить 31,5 кг сушёных?
Обозначим искомую массу через $y$.
$y$ кг свежих — 31,5 кг сушёных
140 кг свежих — 21 кг сушёных
Пропорция: $\frac{y}{140} = \frac{31,5}{21}$.
Отсюда $y = 140 \cdot \frac{31,5}{21}$. Так как $\frac{31,5}{21} = 1,5$, то $y = 140 \cdot 1,5 = 210$ (кг).
Ответ: 24 кг; 210 кг.

4) Масса бруска прямо пропорциональна его объёму, так как он изготовлен из одного и того же материала. Обозначим искомую массу через $x$.

Объём 800 см³ — масса 528 г
Объём 1500 см³ — масса $x$ г

Пропорция: $\frac{800}{1500} = \frac{528}{x}$.
Упростим левую часть: $\frac{800}{1500} = \frac{8}{15}$.
Получаем $\frac{8}{15} = \frac{528}{x}$.
Находим $x$: $8 \cdot x = 15 \cdot 528 \Rightarrow x = \frac{15 \cdot 528}{8}$.
Так как $528 \div 8 = 66$, то $x = 15 \cdot 66 = 990$ (г).
Ответ: 990 г.

5) Количество требуемой руды прямо пропорционально количеству выплавляемого железа. Обозначим искомое количество руды через $x$.

45 т руды — 25 т железа
$x$ т руды — 10 т железа

Пропорция: $\frac{45}{x} = \frac{25}{10}$.
Упростим правую часть: $\frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.
Получаем $\frac{45}{x} = \frac{5}{2}$.
Находим $x$: $5 \cdot x = 45 \cdot 2 \Rightarrow 5x = 90 \Rightarrow x = \frac{90}{5} = 18$ (т).
Ответ: 18 т.

6) Площадь всего поля, 480 га, составляет 100%. Найдём, сколько гектаров составляют 24%. Обозначим эту площадь через $x$.

480 га — 100%
$x$ га — 24%

Пропорция: $\frac{480}{x} = \frac{100}{24}$.
Находим $x$: $100 \cdot x = 480 \cdot 24 \Rightarrow x = \frac{480 \cdot 24}{100} = 4,8 \cdot 24 = 115,2$ (га).
Ответ: 115,2 га.

7) Весь путь составляет 100%. Нам известно, что 70 км — это 14% пути. Обозначим весь путь через $x$.

70 км — 14%
$x$ км — 100%

Пропорция: $\frac{70}{x} = \frac{14}{100}$.
Находим $x$: $14 \cdot x = 70 \cdot 100 \Rightarrow x = \frac{70 \cdot 100}{14}$.
Так как $70 \div 14 = 5$, получаем $x = 5 \cdot 100 = 500$ (км).
Ответ: 500 км.

8) Масса всего сплава, 80 кг, составляет 100%. Найдём массу цинка, которая составляет 12% от массы сплава. Обозначим массу цинка через $x$.

80 кг сплава — 100%
$x$ кг цинка — 12%

Пропорция: $\frac{80}{x} = \frac{100}{12}$.
Находим $x$: $100 \cdot x = 80 \cdot 12 \Rightarrow x = \frac{80 \cdot 12}{100} = \frac{960}{100} = 9,6$ (кг).
Ответ: 9,6 кг.

720. Решите с помощью пропорции задачу.

1) На пошив 14 одинаковых костюмов израсходовали 49 м ткани. Сколько таких костюмов можно сшить из 84 м ткани?

2) За 7 ч в бассейн налилось 224 л воды. За какое время в него нальётся 288 л воды?

3) Из 150 кг картофеля получают 27 кг крахмала. Сколько килограммов крахмала получат из 420 кг картофеля? Сколько килограммов картофеля необходимо, чтобы получить 30,6 кг крахмала?

4) В саду растёт 320 деревьев, из которых 40 % составляют яблони. Сколько яблонь растёт в саду?

5) Масса соли составляет 24 % массы раствора. Сколько килограммов раствора необходимо взять, чтобы он содержал 96 кг соли?

1) Пусть $x$ – количество костюмов, которое можно сшить из 84 м ткани. Так как количество костюмов прямо пропорционально количеству ткани, составим пропорцию:
14 костюмов — 49 м ткани
$x$ костюмов — 84 м ткани
Запишем отношение:
$\frac{14}{x} = \frac{49}{84}$
Теперь решим уравнение, чтобы найти $x$:
$x = \frac{14 \times 84}{49} = \frac{1176}{49} = 24$ (костюма)
Ответ: из 84 м ткани можно сшить 24 костюма.

2) Пусть $x$ – время в часах, за которое в бассейн нальётся 288 л воды. Объем налитой воды прямо пропорционален времени, поэтому составим пропорцию:
7 ч — 224 л
$x$ ч — 288 л
Запишем отношение:
$\frac{7}{x} = \frac{224}{288}$
Решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{7 \times 288}{224} = \frac{2016}{224} = 9$ (часов)
Ответ: 288 л воды нальётся за 9 часов.

3) Эта задача состоит из двух частей.
Первая часть: Сколько килограммов крахмала получат из 420 кг картофеля?
Пусть $x$ – масса крахмала, полученного из 420 кг картофеля. Масса крахмала прямо пропорциональна массе картофеля. Составим пропорцию:
150 кг картофеля — 27 кг крахмала
420 кг картофеля — $x$ кг крахмала
$\frac{150}{420} = \frac{27}{x}$
$x = \frac{420 \times 27}{150} = \frac{11340}{150} = 75,6$ (кг)
Ответ: из 420 кг картофеля получат 75,6 кг крахмала.
Вторая часть: Сколько килограммов картофеля необходимо, чтобы получить 30,6 кг крахмала?
Пусть $y$ – масса картофеля, необходимая для получения 30,6 кг крахмала. Составим пропорцию:
150 кг картофеля — 27 кг крахмала
$y$ кг картофеля — 30,6 кг крахмала
$\frac{150}{y} = \frac{27}{30,6}$
$y = \frac{150 \times 30,6}{27} = \frac{4590}{27} = 170$ (кг)
Ответ: чтобы получить 30,6 кг крахмала, необходимо 170 кг картофеля.

4) Пусть $x$ – количество яблонь в саду. Общее количество деревьев (320) составляет 100%, а яблони составляют 40%. Составим пропорцию:
320 деревьев — 100%
$x$ яблонь — 40%
Запишем отношение:
$\frac{320}{x} = \frac{100}{40}$
Найдем $x$:
$x = \frac{320 \times 40}{100} = \frac{12800}{100} = 128$ (яблонь)
Ответ: в саду растёт 128 яблонь.

5) Пусть $x$ – масса всего раствора в килограммах. Эта масса составляет 100%. Масса соли (96 кг) составляет 24% от массы раствора. Составим пропорцию:
$x$ кг раствора — 100%
96 кг соли — 24%
Запишем отношение:
$\frac{x}{96} = \frac{100}{24}$
Найдем $x$:
$x = \frac{96 \times 100}{24} = 4 \times 100 = 400$ (кг)
Ответ: необходимо взять 400 кг раствора.