Страница 143 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

747. 1) Из 36 учеников 6 класса девять учащихся получили за контрольную работу по математике оценку «5». Сколько процентов учащихся получили оценку «5»?

2) Найдите процент содержания соли в растворе, если 400 г раствора содержит 34 г соли.

3) Посеяли 240 семян, из которых взошло 228. Найдите процент всхожести семян.

1) Чтобы найти, какой процент учащихся получил оценку «5», необходимо разделить количество учащихся, получивших эту оценку, на общее число учащихся в классе, а затем умножить результат на 100%.

Общее число учащихся составляет 36 человек, что принимается за 100%.
Число учащихся, получивших оценку «5», равно 9.

Вычислим процентное соотношение:
$\frac{9}{36} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\%$

Ответ: 25%.

2) Процент содержания соли в растворе — это отношение массы соли к общей массе раствора, выраженное в процентах. Для расчета нужно массу соли разделить на массу всего раствора и умножить на 100%.

Общая масса раствора: 400 г.
Масса соли в растворе: 34 г.

Найдем процент содержания соли:
$\frac{34}{400} \times 100\% = \frac{17}{200} \times 100\% = 0.085 \times 100\% = 8.5\%$

Ответ: 8.5%.

3) Процент всхожести семян определяется как отношение количества взошедших семян к общему количеству посеянных семян, умноженное на 100%.

Общее количество посеянных семян: 240.
Количество взошедших семян: 228.

Рассчитаем процент всхожести:
$\frac{228}{240} \times 100\% = \frac{19}{20} \times 100\% = 0.95 \times 100\% = 95\%$

Ответ: 95%.

748. На сколько процентов изменилось значение величины, если она изменилась:

1) от 3 кг до 6 кг;

2) от 2 м до 3 м;

3) от 40 к. до 70 к.;

4) от 80 м до 72 м;

5) от 100 р. до 115 р.;

6) от 60 мин до 42 мин?

Для того чтобы определить, на сколько процентов изменилось значение величины, необходимо найти разницу между новым и старым значением, разделить её на старое значение и умножить результат на 100%. Формула выглядит так:

$\text{Процентное изменение} = \frac{\text{Новое значение} - \text{Старое значение}}{\text{Старое значение}} \times 100\%$

Если результат вычисления — положительное число, то значение увеличилось. Если отрицательное — уменьшилось.

1) от 3 кг до 6 кг
Начальное значение: 3 кг. Конечное значение: 6 кг.
Вычисляем процентное изменение: $\frac{6 - 3}{3} \times 100\% = \frac{3}{3} \times 100\% = 1 \times 100\% = 100\%$.
Ответ: увеличилось на 100%.

2) от 2 м до 3 м
Начальное значение: 2 м. Конечное значение: 3 м.
Вычисляем процентное изменение: $\frac{3 - 2}{2} \times 100\% = \frac{1}{2} \times 100\% = 0.5 \times 100\% = 50\%$.
Ответ: увеличилось на 50%.

3) от 40 к. до 70 к.
Начальное значение: 40 к. Конечное значение: 70 к.
Вычисляем процентное изменение: $\frac{70 - 40}{40} \times 100\% = \frac{30}{40} \times 100\% = \frac{3}{4} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$.
Ответ: увеличилось на 75%.

4) от 80 м до 72 м
Начальное значение: 80 м. Конечное значение: 72 м.
Вычисляем процентное изменение: $\frac{72 - 80}{80} \times 100\% = \frac{-8}{80} \times 100\% = -\frac{1}{10} \times 100\% = -10\%$.
Знак минус указывает на уменьшение величины.
Ответ: уменьшилось на 10%.

5) от 100 р. до 115 р.
Начальное значение: 100 р. Конечное значение: 115 р.
Вычисляем процентное изменение: $\frac{115 - 100}{100} \times 100\% = \frac{15}{100} \times 100\% = 15\%$.
Ответ: увеличилось на 15%.

6) от 60 мин до 42 мин
Начальное значение: 60 мин. Конечное значение: 42 мин.
Вычисляем процентное изменение: $\frac{42 - 60}{60} \times 100\% = \frac{-18}{60} \times 100\% = -\frac{3}{10} \times 100\% = -30\%$.
Знак минус указывает на уменьшение величины.
Ответ: уменьшилось на 30%.

749. 1) Цена товара повысилась со 140 р. до 175 р. На сколько процентов повысилась цена товара?

2) Цена товара снизилась со 175 р. до 140 р. На сколько процентов снизилась цена товара?

1) Чтобы найти, на сколько процентов повысилась цена товара, нужно сначала найти разницу между новой и старой ценой. Затем эту разницу разделить на первоначальную цену и умножить на 100%.

1. Найдем разницу в цене:
$175 - 140 = 35$ р.

2. Теперь найдем, какую часть составляет эта разница от первоначальной цены (140 р.) и выразим это в процентах:
$\frac{35}{140} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\%$
Цена товара повысилась на 25%.

Ответ: 25%

2) Чтобы найти, на сколько процентов снизилась цена товара, нужно сначала найти разницу между старой и новой ценой. Затем эту разницу разделить на первоначальную цену и умножить на 100%.

1. Найдем разницу в цене:
$175 - 140 = 35$ р.

2. Теперь найдем, какую часть составляет эта разница от первоначальной цены (175 р.) и выразим это в процентах:
$\frac{35}{175} \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\%$
Цена товара снизилась на 20%.

Ответ: 20%

750. Известно, что 380 кг руды первого вида содержит 68,4 кг железа, а 420 кг руды второго вида – 96,6 кг железа. В какой руде, первого или второго вида, выше процентное содержание железа?

Для того чтобы определить, в какой руде процентное содержание железа выше, необходимо найти это значение для каждого вида руды и сравнить их.

1. Найдём процентное содержание железа в руде первого вида.

Общая масса руды составляет 380 кг, а масса железа в ней — 68,4 кг. Процентное содержание вычисляется по формуле:

$P_1 = \frac{\text{масса железа}}{\text{общая масса руды}} \times 100\%$

$P_1 = \frac{68,4}{380} \times 100\% = 0,18 \times 100\% = 18\%$

Таким образом, в руде первого вида содержится 18% железа.

2. Найдём процентное содержание железа в руде второго вида.

Общая масса руды составляет 420 кг, а масса железа в ней — 96,6 кг. Вычислим процентное содержание аналогичным образом:

$P_2 = \frac{\text{масса железа}}{\text{общая масса руды}} \times 100\%$

$P_2 = \frac{96,6}{420} \times 100\% = 0,23 \times 100\% = 23\%$

Таким образом, в руде второго вида содержится 23% железа.

3. Сравним полученные результаты.

Процентное содержание железа в руде первого вида — $18\%$.

Процентное содержание железа в руде второго вида — $23\%$.

Сравнивая эти значения, получаем: $23\% > 18\%$.

Следовательно, процентное содержание железа выше в руде второго вида.

Ответ: процентное содержание железа выше в руде второго вида.

751. Известно, что 280 г первого раствора содержит 98 г соли, а 220 г второго раствора – 88 г соли. В каком растворе, первом или втором, выше процентное содержание соли?

Чтобы определить, в каком растворе процентное содержание соли выше, необходимо вычислить это содержание для каждого раствора. Процентное содержание вещества в растворе — это отношение массы растворенного вещества (соли) к общей массе раствора, умноженное на 100%.

Формула для расчета процентного содержания:

$$ \text{Процентное содержание} = \frac{\text{масса соли}}{\text{масса раствора}} \times 100\% $$

Вычисление для первого раствора

Дано: масса первого раствора составляет 280 г, масса соли в нем — 98 г.

Рассчитаем процентное содержание соли в первом растворе ($P_1$):

$$ P_1 = \frac{98}{280} \times 100\% $$

Сократим дробь $\frac{98}{280}$. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 14:

$$ \frac{98 \div 14}{280 \div 14} = \frac{7}{20} $$

Теперь вычислим процент:

$$ P_1 = \frac{7}{20} \times 100\% = 0.35 \times 100\% = 35\% $$

Таким образом, процентное содержание соли в первом растворе составляет 35%.

Вычисление для второго раствора

Дано: масса второго раствора составляет 220 г, масса соли в нем — 88 г.

Рассчитаем процентное содержание соли во втором растворе ($P_2$):

$$ P_2 = \frac{88}{220} \times 100\% $$

Сократим дробь $\frac{88}{220}$. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 44:

$$ \frac{88 \div 44}{220 \div 44} = \frac{2}{5} $$

Теперь вычислим процент:

$$ P_2 = \frac{2}{5} \times 100\% = 0.4 \times 100\% = 40\% $$

Таким образом, процентное содержание соли во втором растворе составляет 40%.

Сравнение результатов

Сравним процентное содержание соли в двух растворах:

Первый раствор: $35\%$

Второй раствор: $40\%$

Поскольку $40\% > 35\%$, процентное содержание соли выше во втором растворе.

Ответ: Процентное содержание соли выше во втором растворе.

752. По данным на 1 января 2021 г., общая численность населения Российской Федерации составляла 146,17 млн человек, из них 109,55 млн – жители городов. Сколько процентов всего населения России составляет городское население? Ответ округлите до сотых.

Для того чтобы найти, какой процент составляет городское население от всего населения России, нужно разделить количество жителей городов на общую численность населения и умножить полученный результат на 100.

1. Найдём долю городского населения от общей численности:

$\frac{109,55 \text{ млн}}{146,17 \text{ млн}}$

2. Вычислим значение этого отношения:

$\frac{109,55}{146,17} \approx 0,749469795...$

3. Переведём полученное значение в проценты, умножив его на 100:

$0,749469795... \cdot 100\% = 74,9469795...\%$

4. Округлим результат до сотых. Для этого смотрим на третью цифру после запятой. Это 6. Так как $6 \ge 5$, то вторую цифру после запятой (4) увеличиваем на единицу.

$74,946...\% \approx 74,95\%$

Ответ: 74,95%.

753. Петя смотрел по телевизору художественный фильм 114 минут. Показ фильма 8 раз прерывался на трёхминутную рекламу. Сколько процентов от времени просмотра фильма заняла реклама? Ответ округлите до единиц.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти общую продолжительность рекламы.

В условии сказано, что показ фильма 8 раз прерывался на рекламу, каждая из которых длилась 3 минуты. Чтобы найти общее время, затраченное на рекламу, умножим количество перерывов на их продолжительность:

$8 \times 3 = 24$ минуты.

2. Найти общее время просмотра.

Общее время, которое Петя провел у телевизора, складывается из времени самого фильма и общего времени всех рекламных пауз. Длительность фильма — 114 минут, а общая длительность рекламы — 24 минуты.

$114 + 24 = 138$ минут.

3. Рассчитать процентное соотношение.

Чтобы найти, сколько процентов от общего времени просмотра заняла реклама, нужно разделить время рекламы на общее время просмотра и умножить полученный результат на 100%.

$\frac{\text{время рекламы}}{\text{общее время просмотра}} \times 100\% = \frac{24}{138} \times 100\%$

Выполним деление:

$\frac{24}{138} \approx 0.173913...$

Теперь умножим на 100, чтобы получить проценты:

$0.173913... \times 100\% \approx 17.39\%$

4. Округлить результат до единиц.

По условию задачи, ответ нужно округлить до целого числа. Смотрим на первую цифру после запятой: это 3. Так как 3 меньше 5, округляем в меньшую сторону, то есть отбрасываем дробную часть.

$17.39\% \approx 17\%$

Таким образом, реклама заняла примерно 17% от всего времени просмотра.

Ответ: 17%

754. Домашняя практическая работа

Определите, сколько в среднем у вас уходит времени (в течение недели) на выполнение школьного домашнего задания, в частности на выполнение задания по математике. Вычислите, сколько процентов время выполнения задания по математике составляет от времени выполнения всего домашнего задания.

Это задание является практической работой, и его результаты будут индивидуальны для каждого ученика. Для демонстрации решения приведем пример с гипотетическими данными.

1. Определите, сколько в среднем у вас уходит времени (в течение недели) на выполнение школьного домашнего задания, в частности на выполнение задания по математике.

Предположим, что в течение учебной недели (5 дней) на выполнение всех домашних заданий уходит в среднем 3 часа в день, а на выполнение задания по математике — 45 минут в день.

Сначала найдем общее время, затрачиваемое на все домашние задания за неделю. Для этого умножим среднее время в день на количество учебных дней:
$T_{общ} = 3 \text{ часа/день} \times 5 \text{ дней} = 15 \text{ часов}$
Для удобства дальнейших расчетов переведем это время в минуты:
$15 \text{ часов} \times 60 \text{ минут/час} = 900 \text{ минут}$

Теперь найдем время, затрачиваемое на домашнее задание по математике за неделю:
$T_{мат} = 45 \text{ минут/день} \times 5 \text{ дней} = 225 \text{ минут}$

Ответ: в среднем за неделю на выполнение всего домашнего задания уходит 15 часов (900 минут), а на задание по математике — 225 минут (3 часа 45 минут).

2. Вычислите, сколько процентов время выполнения задания по математике составляет от времени выполнения всего домашнего задания.

Чтобы найти, какую часть (в процентах) время на математику составляет от общего времени, нужно разделить время, потраченное на математику, на общее время, потраченное на все домашние задания, и умножить результат на 100%.
Будем использовать данные, полученные в предыдущем пункте и выраженные в минутах.

Процентное соотношение ($P$) вычисляется по формуле:
$P = \frac{T_{мат}}{T_{общ}} \times 100\%$

Подставим наши значения в формулу:
$P = \frac{225}{900} \times 100\%$
Сократим дробь:
$\frac{225}{900} = \frac{1}{4}$
Теперь вычислим процент:
$P = \frac{1}{4} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\%$

Ответ: время выполнения задания по математике составляет 25% от времени выполнения всего домашнего задания.

755. Костюм стоил 3600 р. Сначала его цену повысили на 20%, а потом новую цену снизили на 10%. Какой стала цена костюма после этих изменений? На сколько процентов изменилась начальная цена костюма?

Какой стала цена костюма после этих изменений?

1. Первоначальная цена костюма — 3600 рублей. Сначала цену повысили на 20%. Найдем, на сколько рублей выросла цена:
$3600 \times \frac{20}{100} = 3600 \times 0.2 = 720$ р.
Теперь определим новую цену после повышения:
$3600 + 720 = 4320$ р.
Это можно вычислить и одним действием, умножив начальную цену на коэффициент 1.2 (что соответствует 120%):
$3600 \times 1.2 = 4320$ р.

2. Затем новую цену в 4320 рублей снизили на 10%. Рассчитаем размер скидки:
$4320 \times \frac{10}{100} = 4320 \times 0.1 = 432$ р.
Вычтем скидку из цены, чтобы найти конечную стоимость костюма:
$4320 - 432 = 3888$ р.
Это также можно вычислить одним действием, умножив цену на коэффициент 0.9 (что соответствует 90%):
$4320 \times 0.9 = 3888$ р.

Ответ: цена костюма после этих изменений стала 3888 рублей.

На сколько процентов изменилась начальная цена костюма?

1. Чтобы найти процентное изменение, нужно сравнить конечную цену с начальной.
Начальная цена: 3600 р.
Конечная цена: 3888 р.

2. Найдем абсолютное изменение цены:
$3888 - 3600 = 288$ р.
Цена увеличилась на 288 рублей.

3. Теперь найдем, какую часть это изменение составляет от начальной цены, и выразим в процентах:
$\frac{\text{изменение цены}}{\text{начальная цена}} \times 100\% = \frac{288}{3600} \times 100\%$
Сократим дробь:
$\frac{288}{3600} = \frac{288 \div 36}{3600 \div 36} = \frac{8}{100} = 0.08$
Переведем в проценты:
$0.08 \times 100\% = 8\%$

Можно также решить задачу, используя коэффициенты. Повышение на 20% соответствует умножению на 1.2, а снижение на 10% — умножению на 0.9.
Общий коэффициент изменения цены:
$1.2 \times 0.9 = 1.08$
Это означает, что конечная цена составляет 108% от начальной. Следовательно, начальная цена увеличилась на:
$108\% - 100\% = 8\%$

Ответ: начальная цена костюма увеличилась на 8%.

756. Шкаф стоил 4800 р. Сначала его цену снизили на $10\%$, а потом новую цену повысили на $25\%$. Какой стала цена шкафа после этих изменений? На сколько процентов изменилась начальная цена шкафа?

Какой стала цена шкафа после этих изменений?

Для решения этой задачи выполним действия поочередно.

1. Начальная цена шкафа — 4800 рублей. Сначала цену снизили на 10%. Найдем новую цену после снижения. Снижение на 10% означает, что новая цена составит $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначальной.

Цена после снижения:
$4800 \cdot (1 - \frac{10}{100}) = 4800 \cdot 0.9 = 4320$ рублей.

2. Затем новую цену (4320 рублей) повысили на 25%. Теперь эта цена является базой для следующего изменения. Повышение на 25% означает, что итоговая цена составит $100\% + 25\% = 125\%$ от цены после снижения.

Итоговая цена:
$4320 \cdot (1 + \frac{25}{100}) = 4320 \cdot 1.25 = 5400$ рублей.

Ответ: 5400 рублей.

На сколько процентов изменилась начальная цена шкафа?

Чтобы определить общее процентное изменение, нужно сравнить конечную цену с начальной.

Начальная цена: 4800 рублей (это 100%).
Конечная цена: 5400 рублей.

1. Найдем абсолютное изменение цены:
$5400 - 4800 = 600$ рублей.

2. Теперь найдем, какую долю составляет это изменение от начальной цены, и выразим ее в процентах:
$\frac{\text{абсолютное изменение}}{\text{начальная цена}} \cdot 100\% = \frac{600}{4800} \cdot 100\%$

Вычислим значение:
$\frac{600}{4800} = \frac{6}{48} = \frac{1}{8} = 0.125$

Теперь переведем в проценты:
$0.125 \cdot 100\% = 12.5\%$

Поскольку конечная цена (5400 р.) больше начальной (4800 р.), то цена увеличилась.

Ответ: начальная цена шкафа увеличилась на 12.5%.