Страница 146 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Для новогодних подарков взяли равные массы конфет четырёх сортов по цене 268 р., 192 р., 204 р. и 336 р. за килограмм и полученную смесь расфасовали в подарки по 1 кг каждый. Какова цена на одного подарка? А) 230 р. Б) 200 р. В) 240 р. Г) 250 р.

Чтобы определить цену одного новогоднего подарка, необходимо найти стоимость одного килограмма полученной конфетной смеси. По условию задачи, для смеси были взяты равные массы конфет четырех разных сортов. Это означает, что цена за килограмм смеси будет равна среднему арифметическому цен этих четырех сортов.

Цены за килограмм для каждого сорта конфет составляют:

• 1-й сорт ($C_1$): 268 р.
• 2-й сорт ($C_2$): 192 р.
• 3-й сорт ($C_3$): 204 р.
• 4-й сорт ($C_4$): 336 р.

Найдем среднюю цену, которая и будет ценой одного подарка весом 1 кг. Для этого сложим цены всех сортов и разделим на их количество (4).

1. Найдем сумму цен всех сортов конфет:

$S = C_1 + C_2 + C_3 + C_4 = 268 + 192 + 204 + 336 = 1000$ рублей.

2. Разделим полученную сумму на количество сортов, чтобы найти среднюю цену за килограмм:

$Цена_{подарка} = \frac{S}{4} = \frac{1000}{4} = 250$ рублей.

Таким образом, цена одного подарка весом 1 кг составляет 250 рублей. Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что это соответствует варианту Г.

Ответ: Г) 250 р.

2. Велосипедист проехал 20 км со скоростью 10 км/ч и 45 км со скоростью 15 км/ч. Найдите среднюю скорость движения велосипедиста.

А) 13 км/ч

Б) 11,5 км/ч

В) 12,5 км/ч

Г) 12 км/ч

Средняя скорость движения вычисляется по формуле, где весь пройденный путь делится на всё время движения: $V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

1. Сначала найдем общее расстояние, которое проехал велосипедист. Для этого сложим длины двух участков пути: $S_{общ} = 20 \text{ км} + 45 \text{ км} = 65 \text{ км}$.

2. Затем найдем время, затраченное на преодоление каждого участка. Время вычисляется по формуле $t = \frac{S}{V}$:
Время на первом участке: $t_1 = \frac{20 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 2 \text{ часа}$.
Время на втором участке: $t_2 = \frac{45 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = 3 \text{ часа}$.

3. Найдем общее время в пути, сложив время, затраченное на каждый участок: $t_{общ} = t_1 + t_2 = 2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 5 \text{ часов}$.

4. Теперь, зная общее расстояние и общее время, можно рассчитать среднюю скорость: $V_{ср} = \frac{65 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 13 \text{ км/ч}$.

Этот результат соответствует варианту А).
Ответ: А) 13 км/ч

3. В стаде было 200 животных, из них 34 % составляли овцы. Сколько овец было в стаде? А) 54 Б) 68 В) 72 Г) 86

Для того чтобы найти количество овец в стаде, необходимо вычислить 34% от общего числа животных, которое равно 200.

Способ 1: Использование пропорции

Примем общее количество животных (200) за 100%. Пусть x — это количество овец, которое составляет 34%.

Составим пропорцию:

200 животных — 100%

x овец — 34%

Решим пропорцию, чтобы найти x:

$x = \frac{200 \cdot 34}{100}$

Сократим 200 и 100:

$x = 2 \cdot 34 = 68$

Способ 2: Перевод процентов в десятичную дробь

Сначала переведем проценты в десятичную дробь. Для этого нужно разделить число процентов на 100:

$34\% = \frac{34}{100} = 0.34$

Теперь умножим общее количество животных на полученную дробь:

$200 \cdot 0.34 = 68$

Оба способа дают одинаковый результат. В стаде было 68 овец, что соответствует варианту Б).

Ответ: 68

4. Сплав содержит $28\%$ меди. Какова масса сплава, если он содержит $56\text{ т}$ меди? А) $350\text{ т}$ Б) $300\text{ т}$ В) $250\text{ т}$ Г) $200\text{ т}$

4.

Пусть $M$ — искомая масса всего сплава. Из условия задачи известно, что сплав содержит 28% меди. Это означает, что масса меди составляет 28% от общей массы сплава.

Масса меди в сплаве дана и равна 56 тоннам. Таким образом, мы можем составить следующее соотношение, представив проценты в виде десятичной дроби ($28\% = 0.28$):

$0.28 \times M = 56 \text{ т}$

Чтобы найти общую массу сплава $M$, нужно решить это уравнение относительно $M$:

$M = \frac{56}{0.28}$

Для удобства вычислений можно избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 100:

$M = \frac{56 \times 100}{0.28 \times 100} = \frac{5600}{28}$

Теперь выполним деление:

$M = 200 \text{ т}$

Следовательно, масса сплава составляет 200 тонн. Этот результат соответствует варианту Г).

Ответ: Г) 200 т

5. В магазин завезли яблоки и груши, причём груши составляли 35 % завезённых фруктов. Яблок было на 126 кг больше, чем груш. Сколько килограммов яблок и груш завезли в магазин?

А) 300 кг

Б) 350 кг

В) 420 кг

Г) 480 кг

Пусть $x$ кг — это общая масса всех завезённых фруктов.

Согласно условию, груши составляют 35% от общей массы. Это означает, что масса груш равна $0.35x$ кг.

Остальные фрукты — яблоки. Их доля от общей массы составляет:
$100\% - 35\% = 65\%$
Следовательно, масса яблок равна $0.65x$ кг.

В задаче указано, что яблок было на 126 кг больше, чем груш. Это можно выразить в виде уравнения, где разница между массой яблок и массой груш равна 126:
$0.65x - 0.35x = 126$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти общую массу фруктов $x$:
$0.30x = 126$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0.30:
$x = \frac{126}{0.30}$
$x = \frac{1260}{3}$
$x = 420$

Таким образом, общая масса яблок и груш, завезённых в магазин, составляет 420 кг.

Этот результат соответствует варианту ответа В).

Ответ: В) 420 кг

6. Чему равен неизвестный член пропорции $ \frac{x}{12} = \frac{11}{30} $?

А) 27,5

Б) 4,4

В) 2,2

Г) 0,4

Чтобы найти неизвестный член пропорции $ \frac{x}{12} = \frac{11}{30} $, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Запишем это свойство для данной пропорции:

$ x \cdot 30 = 12 \cdot 11 $

Теперь выразим x, разделив обе части уравнения на 30:

$ x = \frac{12 \cdot 11}{30} $

Для упрощения вычислений сократим дробь. Числа 12 и 30 делятся на 6:

$ x = \frac{(12 \div 6) \cdot 11}{(30 \div 6)} = \frac{2 \cdot 11}{5} $

Выполним умножение в числителе:

$ x = \frac{22}{5} $

Преобразуем полученную обыкновенную дробь в десятичную, разделив числитель на знаменатель:

$ x = 22 \div 5 = 4,4 $

Полученное значение соответствует варианту ответа Б.

Ответ: 4,4

7. Из 12 м батиста сшили восемь блузок одного размера и одного фасона. Сколько таких блузок можно сшить из 18 м батиста?

А) 12 блузок

Б) 16 блузок

В) 10 блузок

Г) 18 блузок

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько ткани уходит на одну блузку, а затем рассчитать, сколько блузок можно сшить из нового количества ткани.

1. Сначала найдем расход батиста на одну блузку. Известно, что из 12 метров ткани сшили 8 блузок. Разделим общее количество ткани на количество блузок:

$12 \text{ м} \div 8 \text{ блузок} = 1,5 \text{ м/блузку}$

Таким образом, на пошив одной блузки требуется 1,5 метра батиста.

2. Теперь, зная расход ткани на одну блузку, вычислим, сколько таких же блузок можно сшить из 18 метров батиста. Для этого разделим новое количество ткани на расход на одну блузку:

$18 \text{ м} \div 1,5 \text{ м/блузку} = 12 \text{ блузок}$

Также эту задачу можно решить с помощью пропорции. Пусть $x$ — искомое количество блузок. Составим пропорцию:

$\frac{12 \text{ м}}{8 \text{ блузок}} = \frac{18 \text{ м}}{x \text{ блузок}}$

Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{18 \times 8}{12} = \frac{144}{12} = 12 \text{ блузок}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату: из 18 метров батиста можно сшить 12 блузок. Этот ответ соответствует варианту А).

Ответ: А) 12 блузок

8. Каково процентное содержание соли в растворе, если в 400 г раствора содержится 36 г соли? А) 9 % Б) 10 % В) 12 % Г) 18 %

Процентное содержание соли в растворе (массовая доля) определяется отношением массы растворенной соли к общей массе раствора, выраженным в процентах. Для расчета используется следующая формула:

$\omega = \frac{m_{соли}}{m_{раствора}} \times 100\%$

где:

• $\omega$ — процентное содержание (массовая доля) соли,
• $m_{соли}$ — масса соли,
• $m_{раствора}$ — масса всего раствора.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• $m_{соли} = 36$ г,
• $m_{раствора} = 400$ г.

Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:

$\omega = \frac{36}{400} \times 100\%$

Сначала выполним деление:

$\frac{36}{400} = 0.09$

Затем умножим полученный результат на 100, чтобы выразить его в процентах:

$0.09 \times 100\% = 9\%$

Таким образом, процентное содержание соли в растворе составляет 9%. Этот результат соответствует варианту ответа А).

Ответ: 9%

9. Сколько процентов часа составляют 24 мин?

А) $20 \%$

Б) $30 \%$

В) $40 \%$

Г) $50 \%$

Чтобы определить, сколько процентов от часа составляют 24 минуты, необходимо сначала выразить обе величины в одинаковых единицах измерения. Удобнее всего перевести часы в минуты.

Как известно, в одном часе 60 минут:

$1 \text{ час} = 60 \text{ минут}$

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти, какую часть 24 минуты составляют от 60 минут, и выразить эту часть в процентах. Для этого составим пропорцию, приняв 60 минут за 100%.

60 минут — 100%

24 минуты — $x$%

Отсюда можно составить уравнение:

$\frac{24}{60} = \frac{x}{100}$

Чтобы найти $x$, нужно решить это уравнение:

$x = \frac{24 \times 100}{60}$

Сократим дробь. Сначала сократим 100 и 60 на 20:

$x = \frac{24 \times 5}{3}$

Теперь сократим 24 и 3 на 3:

$x = 8 \times 5$

$x = 40$

Следовательно, 24 минуты составляют 40% от часа.

Ответ: 40 %

10. Товар стоил 140 р. Через некоторое время его цена увеличилась на 35 р. На сколько процентов повысилась цена товара?

А) на $10\%$

Б) на $15\%$

В) на $20\%$

Г) на $25\%$

Чтобы определить, на сколько процентов повысилась цена, необходимо найти отношение величины повышения цены к первоначальной цене и выразить это отношение в процентах.

Первоначальная цена товара составляет $140$ рублей. Это значение мы принимаем за $100\%$.

Цена увеличилась на $35$ рублей. Нам нужно выяснить, какой процент от $140$ рублей составляет $35$ рублей.

Для этого составим пропорцию:

$140 \text{ р.} — 100\%$

$35 \text{ р.} — x\%$

Из пропорции находим $x$:

$x = \frac{35 \times 100}{140}$

Выполним вычисления:

$x = \frac{3500}{140} = \frac{350}{14} = 25$

Таким образом, цена товара повысилась на $25\%$.

Другой способ решения — это разделить сумму увеличения на первоначальную цену и умножить на $100\%$:

$\frac{35}{140} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\%$

Этот результат соответствует варианту Г).

Ответ: Г) на 25 %

11. Цена картофеля сначала возросла на 10 %, а потом снизилась на 10 %. Как изменилась цена картофеля по сравнению с первоначальной?

А) снизилась на 1 %

Б) возросла на 1 %

В) не изменилась

Г) снизилась на 5 %

Для решения этой задачи обозначим первоначальную цену картофеля за $x$.

Шаг 1: Повышение цены на 10%
Когда цена возрастает на 10%, она становится равной $100\% + 10\% = 110\%$ от первоначальной. Чтобы найти новую цену, умножим первоначальную цену на коэффициент, соответствующий 110%, то есть на 1,1.
Цена после повышения: $P_1 = x \times 1.1 = 1.1x$.

Шаг 2: Снижение цены на 10%
Далее, новая цена $P_1$ снижается на 10%. Важно, что 10% теперь вычисляются от новой, повышенной цены ($1.1x$). Снижение на 10% означает, что итоговая цена составит $100\% - 10\% = 90\%$ от цены $P_1$. Коэффициент, соответствующий 90%, равен 0,9.
Конечная цена: $P_2 = P_1 \times 0.9 = (1.1x) \times 0.9 = 0.99x$.

Шаг 3: Сравнение конечной и первоначальной цены
Первоначальная цена была $x$ (то есть $1.00x$), а конечная цена стала $0.99x$.
Чтобы найти, на сколько процентов изменилась цена, сравним конечный коэффициент (0.99) с начальным (1.00).
Изменение составляет: $1.00 - 0.99 = 0.01$.
Чтобы выразить это значение в процентах, умножим его на 100:
$0.01 \times 100\% = 1\%$.
Поскольку конечная цена ($0.99x$) меньше первоначальной ($1.00x$), цена снизилась.

Таким образом, цена картофеля по сравнению с первоначальной снизилась на 1%.

Ответ: А) снизилась на 1 %

12. В школе $50 \%$ учащихся занимается в спортивных секциях, из них $30 \%$ ходят в театральный кружок. Какой процент учащихся школы одновременно занимается в спортивных секциях и в театральном кружке?

А) $80 \%$

Б) $25 \%$

В) $20 \%$

Г) $15 \%$

Для решения задачи необходимо найти процент учащихся от общего числа школьников, которые занимаются одновременно и в спортивных секциях, и в театральном кружке. Это задача на нахождение процента от процента.

1. Сначала выразим доли в виде десятичных дробей.

• 50% учащихся занимаются в спортивных секциях. Это составляет $50\% = \frac{50}{100} = 0.5$ от общего числа учащихся.
• 30% из этих спортсменов ходят в театральный кружок. Это составляет $30\% = \frac{30}{100} = 0.3$ от числа занимающихся в спортивных секциях.

2. Чтобы найти долю учащихся, которые занимаются и тем, и другим, от общего числа учащихся в школе, нужно перемножить эти доли.

Доля = (доля занимающихся спортом) $\times$ (доля посещающих театр из числа спортсменов)

Доля = $0.5 \times 0.3 = 0.15$

3. Теперь переведем полученную долю обратно в проценты, умножив ее на 100%.

$0.15 \times 100\% = 15\%$

Таким образом, 15% всех учащихся школы одновременно занимаются в спортивных секциях и посещают театральный кружок.

Ответ: 15 %