Страница 139 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

732. Нарушится ли пропорция, если:

1) оба члена одного из отношений умножить на 8;

2) оба члена одного отношения разделить на 2, а оба члена другого отношения умножить на 5;

3) оба средних члена разделить на 3,6?

Проанализируем каждый случай, исходя из того, что изначально дана верная пропорция $a:b=c:d$, что равносильно $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Основное свойство пропорции заключается в том, что произведение её крайних членов равно произведению средних членов: $ad=bc$.

1) оба члена одного из отношений умножить на 8;

Воспользуемся основным свойством дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, то значение дроби не изменится. Пусть мы умножаем на 8 оба члена первого отношения $a:b$. Новое отношение будет $(8a):(8b)$. В виде дроби это $\frac{8a}{8b}$. Сократив множитель 8, мы получим исходную дробь $\frac{a}{b}$. Таким образом, левая часть пропорции не изменилась. Пропорция примет вид $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, что является верным по условию.
Проверим через основное свойство пропорции. Новая пропорция: $(8a):(8b)=c:d$. Произведение крайних членов: $(8a) \cdot d = 8ad$. Произведение средних членов: $(8b) \cdot c = 8bc$. Нужно проверить, верно ли равенство $8ad = 8bc$. Так как исходная пропорция верна, то $ad=bc$. Умножив обе части этого равенства на 8, получим $8ad=8bc$. Равенство выполняется.
Ответ: нет, пропорция не нарушится.

2) оба члена одного отношения разделить на 2, а оба члена другого отношения умножить на 5;

Пусть дана пропорция $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Разделим оба члена первого отношения на 2. Получим отношение $\frac{a/2}{b/2}$. Значение этой дроби равно $\frac{a}{b}$. Умножим оба члена второго отношения на 5. Получим отношение $\frac{5c}{5d}$. Значение этой дроби равно $\frac{c}{d}$. Новая пропорция будет выглядеть как $\frac{a/2}{b/2} = \frac{5c}{5d}$. Поскольку значение левой части не изменилось ($\frac{a}{b}$) и значение правой части не изменилось ($\frac{c}{d}$), а по условию они были равны, то и новое равенство будет верным.
Проверим через основное свойство. Новая пропорция: $(a/2):(b/2)=(5c):(5d)$. Произведение крайних членов: $(a/2) \cdot (5d) = \frac{5ad}{2}$. Произведение средних членов: $(b/2) \cdot (5c) = \frac{5bc}{2}$. Так как $ad=bc$, то и $\frac{5ad}{2} = \frac{5bc}{2}$. Равенство выполняется.
Ответ: нет, пропорция не нарушится.

3) оба средних члена разделить на 3,6?

В пропорции $a:b=c:d$ средними членами являются $b$ и $c$. Разделим каждый из них на 3,6. Новая пропорция будет иметь вид $a:\frac{b}{3.6} = \frac{c}{3.6}:d$. Проверим выполнение основного свойства пропорции. Произведение крайних членов: $a \cdot d = ad$. Произведение новых средних членов: $\frac{b}{3.6} \cdot \frac{c}{3.6} = \frac{bc}{3.6^2} = \frac{bc}{12.96}$. Для того чтобы новая пропорция была верной, должно выполняться равенство $ad = \frac{bc}{12.96}$. Но мы знаем, что из исходной верной пропорции следует $ad = bc$. Тогда равенство принимает вид $bc = \frac{bc}{12.96}$. Это равенство, в общем случае (при $b \ne 0$ и $c \ne 0$), неверно, так как $1 \neq \frac{1}{12.96}$.
Рассмотрим пример. Возьмем верную пропорцию $10:5 = 4:2$ (обе части равны 2). Средние члены здесь 5 и 4. Разделим их на 3,6. Новая пропорция: $10 : \frac{5}{3.6} = \frac{4}{3.6} : 2$. Проверим, равны ли отношения. Первое отношение: $10 : \frac{5}{3.6} = 10 \cdot \frac{3.6}{5} = 2 \cdot 3.6 = 7.2$. Второе отношение: $\frac{4}{3.6} : 2 = \frac{4}{3.6 \cdot 2} = \frac{4}{7.2} = \frac{40}{72} = \frac{5}{9}$. Так как $7.2 \neq \frac{5}{9}$, пропорция нарушилась.
Ответ: да, пропорция нарушится.

733. Нарушится ли пропорция, если:

1) оба члена одного из отношений разделить на 4;

2) оба крайних члена умножить на 10;

3) один из её крайних членов и один из средних членов умножить на 6?

Пусть дана пропорция $a : b = c : d$, что эквивалентно записи в виде равенства дробей $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Основное свойство пропорции заключается в том, что произведение её крайних членов равно произведению её средних членов: $ad = bc$. В данной пропорции $a$ и $d$ являются крайними членами, а $b$ и $c$ — средними. Проверим, нарушится ли это равенство в каждом из предложенных случаев.

1) оба члена одного из отношений разделить на 4;

Возьмем одно из отношений, например, $a : b$ или дробь $\frac{a}{b}$. Если разделить оба члена этого отношения (числитель и знаменатель дроби) на 4, то получится новое отношение $(\frac{a}{4}) : (\frac{b}{4})$ или новая дробь $\frac{a/4}{b/4}$. Согласно основному свойству дроби, ее значение не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число. Таким образом, $\frac{a/4}{b/4} = \frac{a}{4} \cdot \frac{4}{b} = \frac{a}{b}$. Значение отношения не изменилось, поэтому пропорция примет вид $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то есть останется прежней. Равенство сохраняется. Аналогичный результат будет, если разделить на 4 члены отношения $c:d$.
Ответ: пропорция не нарушится.

2) оба крайних члена умножить на 10;

Крайние члены пропорции — это $a$ и $d$. Умножим каждый из них на 10. Новые крайние члены будут $10a$ и $10d$. Средние члены $b$ и $c$ остаются без изменений. Новая пропорция будет иметь вид $(10a) : b = c : (10d)$, или в виде дробей: $\frac{10a}{b} = \frac{c}{10d}$. Для проверки верности новой пропорции воспользуемся основным свойством: произведение крайних членов должно быть равно произведению средних. Произведение новых крайних членов: $(10a) \cdot (10d) = 100ad$. Произведение средних членов: $b \cdot c = bc$. Новое равенство должно выглядеть как $100ad = bc$. Из исходной верной пропорции мы знаем, что $ad = bc$. Подставим $bc$ вместо $ad$ в новое равенство: $100(bc) = bc$. Это равенство верно только в том случае, если $bc = 0$. В общем случае это не так, следовательно, равенство нарушается.
Ответ: пропорция нарушится.

3) один из её крайних членов и один из средних членов умножить на 6?

Рассмотрим все четыре возможных варианта такого преобразования.
Вариант 1: Умножим крайний член $a$ и средний член $b$ на 6. Новая пропорция: $(6a) : (6b) = c : d$. В виде дробей это $\frac{6a}{6b} = \frac{c}{d}$. Левую часть можно сократить на 6, в результате чего мы получим исходную пропорцию $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Пропорция не нарушилась.
Вариант 2: Умножим крайний член $a$ и средний член $c$ на 6. Новая пропорция: $(6a) : b = (6c) : d$. В виде дробей это $\frac{6a}{b} = \frac{6c}{d}$. Проверим основное свойство: $(6a)d = b(6c)$, что равносильно $6ad = 6bc$. Так как изначальная пропорция была верной ($ad=bc$), то и это равенство верно (его можно разделить на 6). Пропорция не нарушилась.
Вариант 3: Умножим крайний член $d$ и средний член $b$ на 6. Новая пропорция: $a : (6b) = c : (6d)$. В виде дробей это $\frac{a}{6b} = \frac{c}{6d}$. Проверим основное свойство: $a(6d) = (6b)c$, что равносильно $6ad = 6bc$. Равенство верно по той же причине, что и в варианте 2. Пропорция не нарушилась.
Вариант 4: Умножим крайний член $d$ и средний член $c$ на 6. Новая пропорция: $a : b = (6c) : (6d)$. В виде дробей это $\frac{a}{b} = \frac{6c}{6d}$. Правую часть можно сократить на 6, и мы получим исходную пропорцию $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Пропорция не нарушилась.
Во всех возможных случаях пропорция остается верной.
Ответ: пропорция не нарушится.

734. Докажите, что если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то:

1) $ \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $;

2) $ \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d} $.

1)

Нам дано, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Чтобы доказать равенство $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$, вычтем единицу из обеих частей исходного равенства:

$\frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1$

Теперь приведем каждую часть к общему знаменателю:

$\frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{c}{d} - \frac{d}{d}$

$\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$ доказано.

2)

Нам дано, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Нужно доказать, что $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$.

Сначала рассмотрим случай, когда $a \neq 0$ (и, следовательно, $c \neq 0$, так как дроби равны, а знаменатели $b, d$ не могут быть равны нулю). Мы можем взять обратные величины от обеих частей исходного равенства (перевернуть дроби):

$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$

Прибавим единицу к обеим частям нового равенства:

$\frac{b}{a} + 1 = \frac{d}{c} + 1$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{b+a}{a} = \frac{d+c}{c}$

Теперь снова возьмем обратные величины (перевернем дроби), чтобы получить искомое равенство:

$\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$

Теперь рассмотрим случай, когда $a=0$. Из исходной пропорции $\frac{0}{b} = \frac{c}{d}$ следует, что $c=0$. Подставляя эти значения в доказываемое равенство, получаем $\frac{0}{0+b} = \frac{0}{0+d}$, что упрощается до $0=0$. Это верное равенство.

Таким образом, тождество доказано для всех возможных случаев.

Ответ: Равенство $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ доказано.

735. Девять кокосов стоят столько дублонов, сколько кокосов можно купить за 1 дублон. Сколько стоят 15 кокосов?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это цена одного кокоса в дублонах.

Исходя из этого, количество кокосов, которое можно купить за 1 дублон, будет равно $\frac{1}{x}$.

В условии сказано: "Девять кокосов стоят столько дублонов, сколько кокосов можно купить за 1 дублон". Стоимость девяти кокосов равна $9 \cdot x$ дублонов. Таким образом, мы можем составить уравнение, приравняв стоимость девяти кокосов к количеству кокосов, которые можно купить за один дублон: $9x = \frac{1}{x}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Умножим обе части на $x$ (так как цена не может быть нулевой): $9x \cdot x = 1$ $9x^2 = 1$ $x^2 = \frac{1}{9}$ $x = \sqrt{\frac{1}{9}}$

Поскольку цена является положительной величиной, мы берем только положительный корень: $x = \frac{1}{3}$ Итак, цена одного кокоса составляет $\frac{1}{3}$ дублона.

Теперь мы можем найти, сколько стоят 15 кокосов. Для этого нужно умножить количество кокосов на цену одного кокоса: Стоимость 15 кокосов = $15 \cdot x = 15 \cdot \frac{1}{3} = 5$ дублонов.

Ответ: 5 дублонов.

736. Во сколько раз число:

1) $\frac{1}{6}$;

2) $\frac{3}{5}$;

3) $0,6$ меньше обратного ему числа?

737. Из сёл Заречное и Заозёрное одновременно навстречу друг другу вышли два мальчика и встретились через 10 мин после начала движения. Затем мальчики продолжили движение в тех же направлениях, и один из них пришёл в Заозёрное через 8 мин после встречи. Через сколько минут после своего выхода из Заозёрного другой мальчик придёт в Заречное?

Решение:

Обозначим скорость первого мальчика (вышедшего из села Заречное) как $v_1$, а скорость второго мальчика (вышедшего из села Заозёрное) как $v_2$. Время до их встречи составляет $t_{встр} = 10$ минут.

За 10 минут до встречи первый мальчик прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot t_{встр} = 10v_1$. Второй мальчик за это же время прошел расстояние $S_2 = v_2 \cdot t_{встр} = 10v_2$. Всё расстояние между сёлами равно $S = S_1 + S_2$.

После встречи первый мальчик, шедший из Заречного, продолжил движение в Заозёрное. Ему осталось пройти расстояние $S_2$, которое до встречи прошел второй мальчик. По условию, он прошел это расстояние за $t_1 = 8$ минут. Следовательно, мы можем записать: $S_2 = v_1 \cdot 8$.

Теперь у нас есть два выражения для расстояния $S_2$: $S_2 = 10v_2$ и $S_2 = 8v_1$. Приравнивая их, получаем: $10v_2 = 8v_1$. Отсюда мы можем найти отношение скоростей мальчиков: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.

Теперь рассмотрим путь второго мальчика (вышедшего из Заозёрного) после встречи. Ему осталось пройти расстояние $S_1$, которое до встречи прошел первый мальчик. Обозначим время, которое он на это затратит, как $t_2$. Таким образом, $S_1 = v_2 \cdot t_2$.

У нас также есть выражение для $S_1$ из первого этапа: $S_1 = 10v_1$. Приравнивая выражения для $S_1$, получаем: $10v_1 = v_2 \cdot t_2$. Выразим отсюда $t_2$: $t_2 = 10 \cdot \frac{v_1}{v_2}$. Подставим найденное ранее отношение скоростей: $t_2 = 10 \cdot \frac{5}{4} = \frac{50}{4} = 12.5$ минут. Это время, которое второй мальчик шёл после встречи до прибытия в Заречное.

Вопрос задачи: через сколько минут после своего выхода из Заозёрного другой мальчик придет в Заречное? Это общее время в пути для второго мальчика. Оно складывается из времени до встречи и времени после встречи. $T_{общ} = t_{встр} + t_2 = 10 + 12.5 = 22.5$ минут.

Ответ: 22.5 минут.

738. Найдите значение выражения:

1) $(3\frac{1}{3} + 2,5) \cdot (4,6 - 2\frac{1}{3})$

2) $(4,5 \cdot 1\frac{2}{3} - 6,75) \cdot (1\frac{1}{3})^3$

1) $(3\frac{1}{3} + 2,5) \cdot (4,6 - 2\frac{1}{3})$

Для решения этого выражения необходимо выполнить действия в скобках, а затем перемножить полученные результаты. Для удобства вычислений преобразуем десятичные дроби в обыкновенные.

1. Вычислим значение в первой скобке:

$3\frac{1}{3} + 2,5 = \frac{10}{3} + 2\frac{5}{10} = \frac{10}{3} + \frac{5}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{10 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} + \frac{15}{6} = \frac{35}{6}$

2. Вычислим значение во второй скобке:

$4,6 - 2\frac{1}{3} = 4\frac{6}{10} - \frac{7}{3} = 4\frac{3}{5} - \frac{7}{3} = \frac{23}{5} - \frac{7}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$\frac{23 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{69}{15} - \frac{35}{15} = \frac{34}{15}$

3. Перемножим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$\frac{35}{6} \cdot \frac{34}{15} = \frac{35 \cdot 34}{6 \cdot 15}$

Сократим дробь перед умножением: 35 и 15 на 5, а 34 и 6 на 2.

$\frac{(35:5) \cdot (34:2)}{(6:2) \cdot (15:5)} = \frac{7 \cdot 17}{3 \cdot 3} = \frac{119}{9}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{119}{9} = 13\frac{2}{9}$

Ответ: $13\frac{2}{9}$

2) $(4,5 \cdot 1\frac{2}{3} - 6,75) \cdot (1\frac{1}{3})^3$

Решим это выражение по действиям, предварительно переведя все числа в обыкновенные дроби.

1. Выполним умножение в скобках:

$4,5 \cdot 1\frac{2}{3} = 4\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{9 \cdot 5}{2 \cdot 3} = \frac{3 \cdot 5}{2} = \frac{15}{2}$

2. Выполним вычитание в скобках:

$\frac{15}{2} - 6,75 = \frac{15}{2} - 6\frac{75}{100} = \frac{15}{2} - 6\frac{3}{4} = \frac{15}{2} - \frac{27}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 4:

$\frac{15 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} = \frac{30}{4} - \frac{27}{4} = \frac{3}{4}$

3. Возведем в степень вторую скобку:

$(1\frac{1}{3})^3 = (\frac{4}{3})^3 = \frac{4^3}{3^3} = \frac{64}{27}$

4. Перемножим полученные результаты:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{64}{27} = \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 27}$

Сократим дробь: 3 и 27 на 3, а 64 и 4 на 4.

$\frac{(3:3) \cdot (64:4)}{(4:4) \cdot (27:3)} = \frac{1 \cdot 16}{1 \cdot 9} = \frac{16}{9}$

Выделим целую часть:

$\frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$

Ответ: $1\frac{7}{9}$

739. Составьте формулу для вычисления площади фигуры, изображённой на рисунке 112.

Рис. 112

$A = bd - 2c^2$

$A = 2ab + bc$

Для решения задачи рассмотрим каждую фигуру отдельно.

Для фигуры слева:

Площадь данной фигуры можно вычислить методом дополнения до прямоугольника. Фигуру можно представить как большой прямоугольник со сторонами $a$ и $d$, из которого вырезан меньший прямоугольник (в данном случае, судя по обозначениям, квадрат) со сторонами $c$ и $c$.

1. Сначала найдем площадь большого прямоугольника, который бы полностью охватывал фигуру. Его стороны равны $a$ и $d$. Площадь этого прямоугольника: $S_{большого} = a \cdot d$.

2. Затем найдем площадь вырезанной части. Это квадрат со стороной $c$. Его площадь: $S_{вырезанного} = c \cdot c = c^2$.

3. Чтобы найти площадь исходной фигуры, нужно из площади большого прямоугольника вычесть площадь вырезанной части: $S = S_{большого} - S_{вырезанного}$.

Таким образом, формула для площади фигуры имеет вид: $S = ad - c^2$.

Ответ: $S = ad - c^2$.

Для фигуры справа:

Площадь этой фигуры удобно вычислить, разбив ее на два прямоугольника и сложив их площади.

1. Фигуру можно разделить на верхний горизонтальный прямоугольник и нижний вертикальный прямоугольник.

2. Верхний прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$. Его площадь: $S_1 = a \cdot b$.

3. Нижний прямоугольник имеет стороны $c$ и $b$. Его площадь: $S_2 = c \cdot b$.

4. Общая площадь фигуры $S$ равна сумме площадей этих двух прямоугольников: $S = S_1 + S_2$.

Таким образом, формула для площади фигуры имеет вид: $S = ab + cb$. Эту формулу можно также записать, вынеся общий множитель $b$ за скобки: $S = b(a+c)$.

Ответ: $S = ab + cb$.