Номер 732, страница 139 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Пропорции. Глава 3. Дроби - номер 732, страница 139.

Условие.

732. Нарушится ли пропорция, если:

1) оба члена одного из отношений умножить на 8;

2) оба члена одного отношения разделить на 2, а оба члена другого отношения умножить на 5;

3) оба средних члена разделить на 3,6?

Решение.

Решение 2.

Проанализируем каждый случай, исходя из того, что изначально дана верная пропорция $a:b=c:d$, что равносильно $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Основное свойство пропорции заключается в том, что произведение её крайних членов равно произведению средних членов: $ad=bc$.

1) оба члена одного из отношений умножить на 8;

Воспользуемся основным свойством дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, то значение дроби не изменится. Пусть мы умножаем на 8 оба члена первого отношения $a:b$. Новое отношение будет $(8a):(8b)$. В виде дроби это $\frac{8a}{8b}$. Сократив множитель 8, мы получим исходную дробь $\frac{a}{b}$. Таким образом, левая часть пропорции не изменилась. Пропорция примет вид $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, что является верным по условию.
Проверим через основное свойство пропорции. Новая пропорция: $(8a):(8b)=c:d$. Произведение крайних членов: $(8a) \cdot d = 8ad$. Произведение средних членов: $(8b) \cdot c = 8bc$. Нужно проверить, верно ли равенство $8ad = 8bc$. Так как исходная пропорция верна, то $ad=bc$. Умножив обе части этого равенства на 8, получим $8ad=8bc$. Равенство выполняется.
Ответ: нет, пропорция не нарушится.

2) оба члена одного отношения разделить на 2, а оба члена другого отношения умножить на 5;

Пусть дана пропорция $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Разделим оба члена первого отношения на 2. Получим отношение $\frac{a/2}{b/2}$. Значение этой дроби равно $\frac{a}{b}$. Умножим оба члена второго отношения на 5. Получим отношение $\frac{5c}{5d}$. Значение этой дроби равно $\frac{c}{d}$. Новая пропорция будет выглядеть как $\frac{a/2}{b/2} = \frac{5c}{5d}$. Поскольку значение левой части не изменилось ($\frac{a}{b}$) и значение правой части не изменилось ($\frac{c}{d}$), а по условию они были равны, то и новое равенство будет верным.
Проверим через основное свойство. Новая пропорция: $(a/2):(b/2)=(5c):(5d)$. Произведение крайних членов: $(a/2) \cdot (5d) = \frac{5ad}{2}$. Произведение средних членов: $(b/2) \cdot (5c) = \frac{5bc}{2}$. Так как $ad=bc$, то и $\frac{5ad}{2} = \frac{5bc}{2}$. Равенство выполняется.
Ответ: нет, пропорция не нарушится.

3) оба средних члена разделить на 3,6?

В пропорции $a:b=c:d$ средними членами являются $b$ и $c$. Разделим каждый из них на 3,6. Новая пропорция будет иметь вид $a:\frac{b}{3.6} = \frac{c}{3.6}:d$. Проверим выполнение основного свойства пропорции. Произведение крайних членов: $a \cdot d = ad$. Произведение новых средних членов: $\frac{b}{3.6} \cdot \frac{c}{3.6} = \frac{bc}{3.6^2} = \frac{bc}{12.96}$. Для того чтобы новая пропорция была верной, должно выполняться равенство $ad = \frac{bc}{12.96}$. Но мы знаем, что из исходной верной пропорции следует $ad = bc$. Тогда равенство принимает вид $bc = \frac{bc}{12.96}$. Это равенство, в общем случае (при $b \ne 0$ и $c \ne 0$), неверно, так как $1 \neq \frac{1}{12.96}$.
Рассмотрим пример. Возьмем верную пропорцию $10:5 = 4:2$ (обе части равны 2). Средние члены здесь 5 и 4. Разделим их на 3,6. Новая пропорция: $10 : \frac{5}{3.6} = \frac{4}{3.6} : 2$. Проверим, равны ли отношения. Первое отношение: $10 : \frac{5}{3.6} = 10 \cdot \frac{3.6}{5} = 2 \cdot 3.6 = 7.2$. Второе отношение: $\frac{4}{3.6} : 2 = \frac{4}{3.6 \cdot 2} = \frac{4}{7.2} = \frac{40}{72} = \frac{5}{9}$. Так как $7.2 \neq \frac{5}{9}$, пропорция нарушилась.
Ответ: да, пропорция нарушится.