Номер 733, страница 139 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Пропорции. Глава 3. Дроби - номер 733, страница 139.

Условие.

733. Нарушится ли пропорция, если:

1) оба члена одного из отношений разделить на 4;

2) оба крайних члена умножить на 10;

3) один из её крайних членов и один из средних членов умножить на 6?

Решение.

Решение 2.

Пусть дана пропорция $a : b = c : d$, что эквивалентно записи в виде равенства дробей $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Основное свойство пропорции заключается в том, что произведение её крайних членов равно произведению её средних членов: $ad = bc$. В данной пропорции $a$ и $d$ являются крайними членами, а $b$ и $c$ — средними. Проверим, нарушится ли это равенство в каждом из предложенных случаев.

1) оба члена одного из отношений разделить на 4;

Возьмем одно из отношений, например, $a : b$ или дробь $\frac{a}{b}$. Если разделить оба члена этого отношения (числитель и знаменатель дроби) на 4, то получится новое отношение $(\frac{a}{4}) : (\frac{b}{4})$ или новая дробь $\frac{a/4}{b/4}$. Согласно основному свойству дроби, ее значение не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число. Таким образом, $\frac{a/4}{b/4} = \frac{a}{4} \cdot \frac{4}{b} = \frac{a}{b}$. Значение отношения не изменилось, поэтому пропорция примет вид $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то есть останется прежней. Равенство сохраняется. Аналогичный результат будет, если разделить на 4 члены отношения $c:d$.
Ответ: пропорция не нарушится.

2) оба крайних члена умножить на 10;

Крайние члены пропорции — это $a$ и $d$. Умножим каждый из них на 10. Новые крайние члены будут $10a$ и $10d$. Средние члены $b$ и $c$ остаются без изменений. Новая пропорция будет иметь вид $(10a) : b = c : (10d)$, или в виде дробей: $\frac{10a}{b} = \frac{c}{10d}$. Для проверки верности новой пропорции воспользуемся основным свойством: произведение крайних членов должно быть равно произведению средних. Произведение новых крайних членов: $(10a) \cdot (10d) = 100ad$. Произведение средних членов: $b \cdot c = bc$. Новое равенство должно выглядеть как $100ad = bc$. Из исходной верной пропорции мы знаем, что $ad = bc$. Подставим $bc$ вместо $ad$ в новое равенство: $100(bc) = bc$. Это равенство верно только в том случае, если $bc = 0$. В общем случае это не так, следовательно, равенство нарушается.
Ответ: пропорция нарушится.

3) один из её крайних членов и один из средних членов умножить на 6?

Рассмотрим все четыре возможных варианта такого преобразования.
Вариант 1: Умножим крайний член $a$ и средний член $b$ на 6. Новая пропорция: $(6a) : (6b) = c : d$. В виде дробей это $\frac{6a}{6b} = \frac{c}{d}$. Левую часть можно сократить на 6, в результате чего мы получим исходную пропорцию $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Пропорция не нарушилась.
Вариант 2: Умножим крайний член $a$ и средний член $c$ на 6. Новая пропорция: $(6a) : b = (6c) : d$. В виде дробей это $\frac{6a}{b} = \frac{6c}{d}$. Проверим основное свойство: $(6a)d = b(6c)$, что равносильно $6ad = 6bc$. Так как изначальная пропорция была верной ($ad=bc$), то и это равенство верно (его можно разделить на 6). Пропорция не нарушилась.
Вариант 3: Умножим крайний член $d$ и средний член $b$ на 6. Новая пропорция: $a : (6b) = c : (6d)$. В виде дробей это $\frac{a}{6b} = \frac{c}{6d}$. Проверим основное свойство: $a(6d) = (6b)c$, что равносильно $6ad = 6bc$. Равенство верно по той же причине, что и в варианте 2. Пропорция не нарушилась.
Вариант 4: Умножим крайний член $d$ и средний член $c$ на 6. Новая пропорция: $a : b = (6c) : (6d)$. В виде дробей это $\frac{a}{b} = \frac{6c}{6d}$. Правую часть можно сократить на 6, и мы получим исходную пропорцию $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Пропорция не нарушилась.
Во всех возможных случаях пропорция остается верной.
Ответ: пропорция не нарушится.