Номер 734, страница 139 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Пропорции. Глава 3. Дроби - номер 734, страница 139.

Условие.

734. Докажите, что если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то:

1) $ \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $;

2) $ \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d} $.

Решение.

Решение 2.

1)

Нам дано, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Чтобы доказать равенство $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$, вычтем единицу из обеих частей исходного равенства:

$\frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1$

Теперь приведем каждую часть к общему знаменателю:

$\frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{c}{d} - \frac{d}{d}$

$\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$ доказано.

2)

Нам дано, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Нужно доказать, что $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$.

Сначала рассмотрим случай, когда $a \neq 0$ (и, следовательно, $c \neq 0$, так как дроби равны, а знаменатели $b, d$ не могут быть равны нулю). Мы можем взять обратные величины от обеих частей исходного равенства (перевернуть дроби):

$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$

Прибавим единицу к обеим частям нового равенства:

$\frac{b}{a} + 1 = \frac{d}{c} + 1$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{b+a}{a} = \frac{d+c}{c}$

Теперь снова возьмем обратные величины (перевернем дроби), чтобы получить искомое равенство:

$\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$

Теперь рассмотрим случай, когда $a=0$. Из исходной пропорции $\frac{0}{b} = \frac{c}{d}$ следует, что $c=0$. Подставляя эти значения в доказываемое равенство, получаем $\frac{0}{0+b} = \frac{0}{0+d}$, что упрощается до $0=0$. Это верное равенство.

Таким образом, тождество доказано для всех возможных случаев.

Ответ: Равенство $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ доказано.