Страница 140 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

740. В саду растёт 56 деревьев, из них 14 деревьев составляют яблони. Какую часть деревьев сада составляют яблони?

Для того чтобы определить, какую часть от общего количества деревьев составляют яблони, нужно найти отношение количества яблонь к общему количеству деревьев в саду. Это отношение выражается в виде дроби.

Общее количество деревьев в саду — 56.

Количество яблонь — 14.

Составим дробь, где числитель — это количество яблонь, а знаменатель — общее количество деревьев:

$$ \frac{14}{56} $$

Чтобы упростить эту дробь, нужно разделить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. Заметим, что 56 делится на 14 без остатка:

$$ 56 \div 14 = 4 $$

Следовательно, мы можем сократить дробь на 14:

$$ \frac{14}{56} = \frac{14 \div 14}{56 \div 14} = \frac{1}{4} $$

Таким образом, яблони составляют $ \frac{1}{4} $ часть всех деревьев в саду.

Ответ: $ \frac{1}{4} $

741. В саду растёт 56 деревьев, из них 14 деревьев составляют яблони, а остальные деревья – груши. Какую часть от количества груш составляют яблони?

Для решения задачи сначала необходимо найти количество груш в саду. Всего растёт 56 деревьев, из которых 14 — яблони. Чтобы найти количество груш, вычтем количество яблонь из общего количества деревьев:

$56 - 14 = 42$ (груши).

Теперь, чтобы найти, какую часть от количества груш составляют яблони, нужно составить дробь, где в числителе будет количество яблонь, а в знаменателе — количество груш:

$\frac{14}{42}$

Полученную дробь необходимо сократить. Для этого найдём наибольший общий делитель (НОД) для чисел 14 и 42. НОД(14, 42) = 14. Разделим числитель и знаменатель дроби на 14:

$\frac{14}{42} = \frac{14 \div 14}{42 \div 14} = \frac{1}{3}$

Таким образом, яблони составляют $\frac{1}{3}$ часть от количества груш.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

742. На столе лежат четыре чёрные палочки разной длины, причём сумма их длин равна 40 см, и пять белых палочек, сумма длин которых так-же равна 40 см. Можно ли разрезать те и другие палочки так, чтобы потом расположить их парами, в каждой из которых длины палочек будут одинаковыми, а цвета – разными?

Да, это возможно. Для того чтобы доказать это, представим себе следующий способ разрезания палочек.

Возьмём все четыре чёрные палочки и выложим их в одну линию, друг за другом, без промежутков. В результате получится одна длинная составная палочка чёрного цвета. Обозначим длины исходных чёрных палочек как $b_1, b_2, b_3, b_4$. Сумма их длин по условию равна 40 см: $b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 40$ см. На получившейся 40-сантиметровой чёрной линии отметим точки, где соединяются исходные палочки. Таких точек будет три.

Аналогично поступим с белыми палочками. Выложим все пять белых палочек в одну линию. Обозначим их длины как $w_1, w_2, w_3, w_4, w_5$. Сумма их длин также равна 40 см: $w_1 + w_2 + w_3 + w_4 + w_5 = 40$ см. На этой 40-сантиметровой белой линии будет четыре точки, где соединяются исходные палочки.

Теперь мысленно наложим одну 40-сантиметровую линию на другую. Мы получим одну общую 40-сантиметровую линию, на которой будут отмечены все точки соединений как от чёрных, так и от белых палочек. Общее число таких отметок будет не более $3 + 4 = 7$ (некоторые отметки могут совпасть, если сумма длин нескольких чёрных палочек окажется равна сумме длин нескольких белых).

Теперь произведём разрезы. Разрежем и чёрную, и белую составные палочки во всех отмеченных точках. Поскольку мы используем один и тот же набор точек для разрезания обеих линий, обе они распадутся на совершенно одинаковые наборы кусочков. То есть, для каждого получившегося кусочка чёрного цвета найдётся равный ему по длине кусочек белого цвета.

Таким образом, все получившиеся после разрезания кусочки можно будет расположить парами, в каждой из которых будет одна чёрная и одна белая палочка одинаковой длины. Это доказывает, что требуемое разрезание возможно при любых исходных длинах палочек.

Ответ: да, можно.