Страница 145 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

770. Из городов Солнечный и Счастливый одновременно навстречу друг другу отправились пешеход и велосипедист, которые встретились через 2 ч после начала движения. Через 4 ч после встречи пешеход прибыл в город Счастливый. Сколько времени затратил велосипедист на путь из Счастливого в Солнечный?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_п$ – скорость пешехода (км/ч)
• $v_в$ – скорость велосипедиста (км/ч)
• $S$ – расстояние между городами Солнечный и Счастливый (км)
• $t_{встречи}$ = 2 ч – время до встречи

Когда пешеход и велосипедист движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей $v_п + v_в$. За время $t_{встречи}$ они вместе преодолевают все расстояние $S$ между городами. Таким образом, можно составить первое уравнение:

$S = (v_п + v_в) \cdot t_{встречи} = (v_п + v_в) \cdot 2$

До момента встречи велосипедист проехал расстояние $S_в = v_в \cdot t_{встречи} = 2v_в$. После встречи пешеходу осталось пройти именно это расстояние, чтобы прибыть в город Счастливый. По условию, он затратил на это 4 часа. Значит, можно составить второе уравнение:

$S_в = v_п \cdot 4$

Теперь мы можем приравнять два выражения для расстояния $S_в$:

$2v_в = 4v_п$

Из этого уравнения находим соотношение между скоростями пешехода и велосипедиста:

$v_в = \frac{4v_п}{2} = 2v_п$

Это означает, что скорость велосипедиста в два раза больше скорости пешехода.

Теперь найдем общее время, которое велосипедист затратил на весь путь из города Счастливый в Солнечный. Это время $T_в$ вычисляется по формуле:

$T_в = \frac{S}{v_в}$

Подставим в эту формулу ранее найденные выражения для $S$ и $v_в$ (выраженное через $v_п$):

$T_в = \frac{(v_п + v_в) \cdot 2}{v_в} = \frac{(v_п + 2v_п) \cdot 2}{2v_п}$

Упростим выражение:

$T_в = \frac{3v_п \cdot 2}{2v_п} = \frac{6v_п}{2v_п}$

Сократив $v_п$, получаем итоговое время:

$T_в = 3$ часа.

Ответ: 3 часа.

771. Для перевозки 30 т груза на расстояние 80 км можно воспользоваться услугами одной из трёх фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъёмность автомобилей каждой фирмы указаны в таблице.

Сколько рублей будет стоить самая дешёвая перевозка груза?

Чтобы найти самую дешёвую перевозку, необходимо рассчитать общую стоимость для каждой из трёх фирм и выбрать наименьшую. Общая стоимость рассчитывается как произведение количества необходимых автомобилей на стоимость перевозки одним автомобилем на всё расстояние.

А

1. Определим количество автомобилей. Грузоподъёмность одного автомобиля — 4 тонны. Для перевозки 30 тонн груза потребуется:
$30 \text{ т} / 4 \text{ т/автомобиль} = 7,5$ автомобилей.
Поскольку количество автомобилей должно быть целым, округляем его в большую сторону. Таким образом, потребуется 8 автомобилей.

2. Рассчитаем стоимость перевозки одним автомобилем на расстояние 80 км. Стоимость за 10 км составляет 2100 рублей, значит, за 80 км стоимость будет в $80/10 = 8$ раз больше:
$2100 \text{ руб.} \times 8 = 16800$ рублей.

3. Рассчитаем общую стоимость перевозки для фирмы А:
$8 \text{ автомобилей} \times 16800 \text{ руб./автомобиль} = 134400$ рублей.

Б

1. Определим количество автомобилей. Грузоподъёмность одного автомобиля — 5,5 тонны.
$30 \text{ т} / 5,5 \text{ т/автомобиль} \approx 5,45$ автомобилей.
Округляем до ближайшего целого в большую сторону, получаем 6 автомобилей.

2. Рассчитаем стоимость перевозки одним автомобилем на 80 км. Стоимость за 10 км — 2400 рублей:
$2400 \text{ руб.} \times 8 = 19200$ рублей.

3. Рассчитаем общую стоимость перевозки для фирмы Б:
$6 \text{ автомобилей} \times 19200 \text{ руб./автомобиль} = 115200$ рублей.

В

1. Определим количество автомобилей. Грузоподъёмность одного автомобиля — 10 тонн.
$30 \text{ т} / 10 \text{ т/автомобиль} = 3$ автомобиля.

2. Рассчитаем стоимость перевозки одним автомобилем на 80 км. Стоимость за 10 км — 3600 рублей:
$3600 \text{ руб.} \times 8 = 28800$ рублей.

3. Рассчитаем общую стоимость перевозки для фирмы В:
$3 \text{ автомобиля} \times 28800 \text{ руб./автомобиль} = 86400$ рублей.

Сравнив общую стоимость перевозки для трёх фирм (134400 рублей, 115200 рублей и 86400 рублей), мы видим, что самый дешёвый вариант предлагает фирма В.

Ответ: 86400

772. Сторона первого квадрата равна 3 см, а второго – 6 см. Во сколько раз:

1) сторона второго квадрата больше стороны первого;

2) периметр второго квадрата больше периметра первого;

3) площадь второго квадрата больше площади первого?

Дано: сторона первого квадрата $a_1 = 3$ см, сторона второго квадрата $a_2 = 6$ см.

1) сторона второго квадрата больше стороны первого

Чтобы определить, во сколько раз сторона второго квадрата больше стороны первого, необходимо найти их отношение (разделить большую сторону на меньшую).

Выполним деление: $a_2 / a_1 = 6 \text{ см} / 3 \text{ см} = 2$.

Таким образом, сторона второго квадрата больше стороны первого в 2 раза.

Ответ: в 2 раза.

2) периметр второго квадрата больше периметра первого

Периметр квадрата ($P$) вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина его стороны.

Найдем периметр первого квадрата ($P_1$):

$P_1 = 4 \cdot a_1 = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Найдем периметр второго квадрата ($P_2$):

$P_2 = 4 \cdot a_2 = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Чтобы определить, во сколько раз периметр второго квадрата больше периметра первого, найдем их отношение:

$P_2 / P_1 = 24 \text{ см} / 12 \text{ см} = 2$.

Таким образом, периметр второго квадрата больше периметра первого в 2 раза.

Ответ: в 2 раза.

3) площадь второго квадрата больше площади первого

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны.

Найдем площадь первого квадрата ($S_1$):

$S_1 = a_1^2 = 3^2 = 9$ см$^2$.

Найдем площадь второго квадрата ($S_2$):

$S_2 = a_2^2 = 6^2 = 36$ см$^2$.

Чтобы определить, во сколько раз площадь второго квадрата больше площади первого, найдем их отношение:

$S_2 / S_1 = 36 \text{ см}^2 / 9 \text{ см}^2 = 4$.

Таким образом, площадь второго квадрата больше площади первого в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.

773. Вычислите значение $y$ по формуле $y=0,2x$, если:

1) $x=5$;

2) $x=1,2$.

Найдите, используя данную формулу, значение $x$, если $y=4$.

1) Чтобы вычислить значение $y$ при $x = 5$, подставим это значение в формулу $y = 0,2x$:
$y = 0,2 \cdot 5 = 1$
Ответ: 1.

2) Чтобы вычислить значение $y$ при $x = 1,2$, подставим это значение в формулу $y = 0,2x$:
$y = 0,2 \cdot 1,2 = 0,24$
Ответ: 0,24.

Чтобы найти значение $x$, если $y=4$, подставим значение $y$ в формулу $y = 0,2x$ и решим полученное уравнение:
$4 = 0,2x$
Для нахождения $x$ разделим обе части уравнения на 0,2:
$x = \frac{4}{0,2}$
$x = \frac{40}{2}$
$x = 20$
Ответ: 20.

774. Из пункта $A$ в 6 ч утра вышел турист. Вечером он дошёл до пункта $B$ и, переночевав, снова в 6 ч утра отправился в пункт $A$ по тому же маршруту. Докажите, что на маршруте есть такой пункт $C$, в котором турист оказался в одно и то же время как в первый, так и во второй день (скорость туриста на маршруте могла меняться).

Для доказательства этого утверждения воспользуемся мысленным экспериментом.

Представим себе, что в 6 часов утра второго дня, когда реальный турист выходит из пункта $B$ в сторону пункта $A$, одновременно с ним из пункта $A$ в сторону пункта $B$ выходит его "двойник" или "призрак", который в точности повторяет маршрут и скорость движения реального туриста в первый день.

Итак, у нас есть два объекта:

• Реальный турист, движущийся из $B$ в $A$.
• "Призрак" туриста, движущийся из $A$ в $B$.

Оба начинают свое движение одновременно в 6 утра по одному и тому же маршруту, но с разных концов. Поскольку их движение непрерывно, они неизбежно должны встретиться в какой-то точке на маршруте. Назовем эту точку $C$.

Момент времени, когда они встретятся в точке $C$, будет одинаковым для обоих. Но "призрак" в точности повторяет путешествие реального туриста из первого дня. Это означает, что в первый день реальный турист находился в точке $C$ ровно в то же самое время, в которое он (уже реальный) оказался в этой же точке $C$ на второй день.

Альтернативное объяснение с помощью графика:

Можно рассмотреть задачу графически. Построим систему координат, где по оси абсцисс откладывается время ($t$), начиная с 6 утра, а по оси ординат — расстояние от пункта $A$ ($s$).

1. Движение в первый день (из $A$ в $B$) будет представлять собой непрерывный график $s_1(t)$, который начинается в точке $(t=0, s=0)$ и заканчивается в точке $(t=T_1, s=L)$, где $L$ — расстояние от $A$ до $B$.

2. Движение во второй день (из $B$ в $A$) будет представлять собой непрерывный график $s_2(t)$, который начинается в точке $(t=0, s=L)$ и заканчивается в точке $(t=T_2, s=0)$.

Если наложить эти два графика друг на друга, то мы увидим, что одна непрерывная линия начинается в левом нижнем углу и идет в правый верхний, а вторая — в левом верхнем и идет в правый нижний. Согласно теореме о промежуточном значении (или просто из наглядных соображений), эти две линии обязательно должны пересечься хотя бы в одной точке. Координаты этой точки пересечения $(t_C, s_C)$ и будут означать, что в момент времени $t_C$ турист находился на одном и том же расстоянии $s_C$ от пункта $A$ в оба дня. Это и есть искомая точка $C$.

Ответ: Утверждение доказано. Такая точка $C$ на маршруте обязательно существует.