Номер 774, страница 145 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Процентное отношение двух чисел. Глава 3. Дроби - номер 774, страница 145.

Условие.

774. Из пункта $A$ в 6 ч утра вышел турист. Вечером он дошёл до пункта $B$ и, переночевав, снова в 6 ч утра отправился в пункт $A$ по тому же маршруту. Докажите, что на маршруте есть такой пункт $C$, в котором турист оказался в одно и то же время как в первый, так и во второй день (скорость туриста на маршруте могла меняться).

Решение.

Решение 2.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся мысленным экспериментом.

Представим себе, что в 6 часов утра второго дня, когда реальный турист выходит из пункта $B$ в сторону пункта $A$, одновременно с ним из пункта $A$ в сторону пункта $B$ выходит его "двойник" или "призрак", который в точности повторяет маршрут и скорость движения реального туриста в первый день.

Итак, у нас есть два объекта:

• Реальный турист, движущийся из $B$ в $A$.
• "Призрак" туриста, движущийся из $A$ в $B$.

Оба начинают свое движение одновременно в 6 утра по одному и тому же маршруту, но с разных концов. Поскольку их движение непрерывно, они неизбежно должны встретиться в какой-то точке на маршруте. Назовем эту точку $C$.

Момент времени, когда они встретятся в точке $C$, будет одинаковым для обоих. Но "призрак" в точности повторяет путешествие реального туриста из первого дня. Это означает, что в первый день реальный турист находился в точке $C$ ровно в то же самое время, в которое он (уже реальный) оказался в этой же точке $C$ на второй день.

Альтернативное объяснение с помощью графика:

Можно рассмотреть задачу графически. Построим систему координат, где по оси абсцисс откладывается время ($t$), начиная с 6 утра, а по оси ординат — расстояние от пункта $A$ ($s$).

1. Движение в первый день (из $A$ в $B$) будет представлять собой непрерывный график $s_1(t)$, который начинается в точке $(t=0, s=0)$ и заканчивается в точке $(t=T_1, s=L)$, где $L$ — расстояние от $A$ до $B$.

2. Движение во второй день (из $B$ в $A$) будет представлять собой непрерывный график $s_2(t)$, который начинается в точке $(t=0, s=L)$ и заканчивается в точке $(t=T_2, s=0)$.

Если наложить эти два графика друг на друга, то мы увидим, что одна непрерывная линия начинается в левом нижнем углу и идет в правый верхний, а вторая — в левом верхнем и идет в правый нижний. Согласно теореме о промежуточном значении (или просто из наглядных соображений), эти две линии обязательно должны пересечься хотя бы в одной точке. Координаты этой точки пересечения $(t_C, s_C)$ и будут означать, что в момент времени $t_C$ турист находился на одном и том же расстоянии $s_C$ от пункта $A$ в оба дня. Это и есть искомая точка $C$.

Ответ: Утверждение доказано. Такая точка $C$ на маршруте обязательно существует.