Страница 144 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

757. С 1995 по 2019 г. количество профессиональных театров в России возросло на 191, и в 2019 г. их было уже 671. На сколько процентов увеличилось количество профессиональных театров за указанный период? Ответ округлите до десятых.

Для того чтобы найти, на сколько процентов увеличилось количество профессиональных театров, необходимо сначала определить их первоначальное количество в 1995 году.

1. Найдем количество театров в 1995 году.

Известно, что в 2019 году был 671 театр, и это число на 191 больше, чем в 1995 году. Следовательно, чтобы найти количество театров в 1995 году, нужно из числа театров в 2019 году вычесть прирост:

$671 - 191 = 480$ театров.

Таким образом, в 1995 году в России было 480 профессиональных театров. Это значение мы принимаем за 100%.

2. Рассчитаем процентное увеличение.

Чтобы найти, какой процент составляет прирост (191 театр) от первоначального количества (480 театров), составим пропорцию или воспользуемся формулой процентного изменения:

$Процентное\:увеличение = (\frac{Изменение}{Начальное\:значение}) \times 100\%$

$(\frac{191}{480}) \times 100\% \approx 0.3979166... \times 100\% \approx 39.79166...\%$

3. Округлим результат до десятых.

Согласно правилам округления, смотрим на цифру в разряде сотых. Так как это 9 (а 9 ≥ 5), то цифру в разряде десятых (7) увеличиваем на единицу:

$39.79166...\% \approx 39.8\%$

Ответ: 39.8%.

758. К сплаву массой 600 г, содержавшему 20% меди, добавили 40 г меди. Каким стало процентное содержание меди в новом сплаве?

1. Вычислим начальную массу меди в сплаве.
Масса всего сплава равна 600 г, а доля меди в нем составляет 20%. Масса меди в исходном сплаве равна:
$600 \text{ г} \times \frac{20}{100} = 600 \times 0.2 = 120 \text{ г}$.

2. Определим массу нового сплава и новую массу меди в нем.
К исходному сплаву добавили 40 г меди. Это значит, что и масса меди, и общая масса сплава увеличились на 40 г.
Новая масса меди: $120 \text{ г} + 40 \text{ г} = 160 \text{ г}$.
Новая масса всего сплава: $600 \text{ г} + 40 \text{ г} = 640 \text{ г}$.

3. Найдем процентное содержание меди в новом сплаве.
Для этого разделим новую массу меди на новую массу всего сплава и умножим результат на 100%:
$\frac{160 \text{ г}}{640 \text{ г}} \times 100\% = \frac{16}{64} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\%$.

Ответ: 25%.

759. Было 300 г 6%-го раствора соли. Через некоторое время 60 г воды испарилось. Каким стало процентное содержание соли в растворе?

Для того чтобы найти новое процентное содержание соли в растворе, необходимо сначала определить, сколько граммов соли было в исходном растворе. Затем нужно найти новую массу раствора после испарения воды и, наконец, рассчитать новую концентрацию.

1. Находим массу соли в исходном растворе.

Изначально было 300 г 6%-го раствора соли. Масса соли рассчитывается по формуле:

$m_{соли} = m_{раствора} \times \frac{\text{процентное содержание}}{100\%}$

$m_{соли} = 300 \text{ г} \times \frac{6\%}{100\%} = 300 \times 0.06 = 18$ г.

Таким образом, в исходном растворе содержалось 18 г соли.

2. Находим новую массу раствора.

Из раствора испарилось 60 г воды. Это означает, что общая масса раствора уменьшилась, а масса соли осталась неизменной. Новая масса раствора равна:

$m_{нового\_раствора} = m_{исходного\_раствора} - m_{испарившейся\_воды}$

$m_{нового\_раствора} = 300 \text{ г} - 60 \text{ г} = 240$ г.

3. Находим новое процентное содержание соли.

Теперь, зная массу соли (18 г) и новую массу раствора (240 г), можно найти новое процентное содержание соли:

$\text{Новое процентное содержание} = \frac{m_{соли}}{m_{нового\_раствора}} \times 100\%$

$\text{Новое процентное содержание} = \frac{18 \text{ г}}{240 \text{ г}} \times 100\% = 0.075 \times 100\% = 7.5\%$

Ответ: 7,5%.

760. К 620 г 40%-го раствора соли долили 180 г воды. Найдите процентное содержание соли в новом растворе.

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить следующие действия:

1. Найти массу соли в исходном растворе.

Масса исходного раствора составляет 620 г, а процентное содержание соли в нём — 40%. Чтобы найти массу соли, нужно массу раствора умножить на процентное содержание, выраженное в долях (разделить проценты на 100).

Масса соли = $620 \text{ г} \times \frac{40}{100} = 620 \times 0.4 = 248 \text{ г}$.

При добавлении чистой воды масса растворённой соли не изменяется.

2. Найти массу нового раствора.

К исходному раствору массой 620 г добавили 180 г воды. Масса нового раствора будет равна сумме массы исходного раствора и массы добавленной воды.

Масса нового раствора = $620 \text{ г} + 180 \text{ г} = 800 \text{ г}$.

3. Найти процентное содержание соли в новом растворе.

Процентное содержание вещества в растворе вычисляется по формуле:

$C = \frac{m_{\text{вещества}}}{m_{\text{раствора}}} \times 100\%$

Подставим известные значения: массу соли (248 г) и массу нового раствора (800 г).

Процентное содержание соли = $\frac{248 \text{ г}}{800 \text{ г}} \times 100\% = \frac{248}{8}\% = 31\%$.

Ответ: 31%.

761. Количество клёнов составляет 40 % от количества дубов, растущих в парке. Сколько процентов составляет количество дубов от количества клёнов?

Для решения задачи введём переменные. Пусть $К$ — это количество клёнов, а $Д$ — количество дубов в парке.

Согласно условию, количество клёнов составляет 40% от количества дубов. Чтобы записать это в виде формулы, переведём проценты в десятичную дробь: $40\% = \frac{40}{100} = 0.4$.

Таким образом, можно составить следующее равенство:

$К = 0.4 \times Д$

Теперь нам нужно найти, сколько процентов составляет количество дубов от количества клёнов. Для этого необходимо найти отношение $\frac{Д}{К}$ и выразить его в процентах.

Выразим $Д$ из нашего равенства. Для этого разделим обе части уравнения на 0.4:

$Д = \frac{К}{0.4}$

Теперь найдём отношение количества дубов к количеству клёнов, разделив обе части нового равенства на $К$:

$\frac{Д}{К} = \frac{1}{0.4}$

Вычислим значение дроби:

$\frac{1}{0.4} = \frac{10}{4} = 2.5$

Чтобы перевести полученное число в проценты, нужно умножить его на 100:

$2.5 \times 100\% = 250\%$

Следовательно, количество дубов составляет 250% от количества клёнов.

Ответ: 250%.

762. На сколько процентов увеличится число при увеличении его в 2,4 раза?

Пусть исходное число составляет 100%. При увеличении этого числа в 2,4 раза, его новое значение составит $100\% \times 2,4 = 240\%$ от первоначального.

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилось число, необходимо найти разницу между новым процентным значением и исходным: $240\% - 100\% = 140\%$.

Ответ: на 140%.

763. На сколько процентов уменьшится число при уменьшении его в 2,5 раза?

Пусть исходное число равно $x$. Примем его значение за 100%.

Уменьшить число в 2,5 раза — это то же самое, что разделить его на 2,5. Новое число будет равно:
$x_{новое} = \frac{x}{2.5}$

Чтобы понять, какую часть от исходного числа составляет новое, можно представить деление на 2,5 как умножение на обратную величину:
$\frac{1}{2.5} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0.4$

Таким образом, новое число составляет 0,4 от исходного:
$x_{новое} = 0.4 \cdot x$

Чтобы выразить эту долю в процентах, умножим её на 100%:
$0.4 \times 100\% = 40\%$

Это значит, что после уменьшения число стало составлять 40% от своего первоначального значения.

Чтобы найти, на сколько процентов уменьшилось число, вычтем из первоначальных 100% процентное значение нового числа:
$100\% - 40\% = 60\%$

Ответ: на 60%.

764. Мальчик купил две книги. Одна книга была на 50 % дороже другой. На сколько процентов вторая книга дешевле первой?

Пусть цена второй (более дешевой) книги равна $x$.

По условию, первая (более дорогая) книга на 50% дороже второй. Значит, ее цена составляет: $x + 0.5 \cdot x = 1.5x$

Теперь найдем, на сколько процентов вторая книга дешевле первой. Для этого необходимо вычислить разницу в цене и отнести ее к цене первой (более дорогой) книги, которую мы принимаем за 100%.

Разница в цене между книгами составляет: $1.5x - x = 0.5x$

Теперь выразим эту разницу в процентах от цены первой книги: $\frac{\text{Разница в цене}}{\text{Цена первой книги}} \cdot 100\% = \frac{0.5x}{1.5x} \cdot 100\%$

Сократив $x$, получим: $\frac{0.5}{1.5} \cdot 100\% = \frac{1}{3} \cdot 100\% = 33 \frac{1}{3}\%$

Ответ: вторая книга дешевле первой на $33 \frac{1}{3}\%$.

765. Число $x$ составляет $1\%$ от числа $y$. Как надо изменить число $y$, чтобы число $x$ составило от него $2\%$?

Решение

По условию задачи, число $x$ составляет 1% от числа $y$. Это можно записать в виде формулы:
$x = \frac{1}{100} \cdot y$ или $x = 0.01y$

Мы хотим, чтобы число $x$ составляло 2% от нового, измененного числа, которое мы обозначим как $y_{новое}$. Запишем это новое условие в виде формулы:
$x = \frac{2}{100} \cdot y_{новое}$ или $x = 0.02y_{новое}$

Поскольку значение $x$ в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять правые части двух выражений:
$0.01y = 0.02y_{новое}$

Теперь выразим $y_{новое}$ через $y$, чтобы понять, как нужно изменить исходное число:
$y_{новое} = \frac{0.01y}{0.02}$
$y_{новое} = \frac{1}{2}y$

Таким образом, новое значение числа $y$ должно быть в два раза меньше первоначального.
Ответ: число $y$ нужно уменьшить в 2 раза.

766. К числам 100 и 1000 дописали справа цифру 1. Какое из чисел увеличилось на большее количество процентов?

Чтобы определить, какое из чисел увеличилось на большее количество процентов, необходимо рассчитать процентное увеличение для каждого случая. Процентное увеличение вычисляется по формуле:

$\frac{Новое \, значение - Исходное \, значение}{Исходное \, значение} \times 100\%$

Для числа 100

Исходное число: $100$.

После того как справа дописали цифру 1, получилось новое число: $1001$.

Абсолютное увеличение составляет: $1001 - 100 = 901$.

Теперь рассчитаем процентное увеличение:

$\frac{901}{100} \times 100\% = 901\%$

Таким образом, число 100 увеличилось на 901%.

Для числа 1000

Исходное число: $1000$.

После того как справа дописали цифру 1, получилось новое число: $10001$.

Абсолютное увеличение составляет: $10001 - 1000 = 9001$.

Рассчитаем процентное увеличение:

$\frac{9001}{1000} \times 100\% = 9.001 \times 100\% = 900.1\%$

Таким образом, число 1000 увеличилось на 900.1%.

Сравнение результатов

Сравним процентные увеличения для обоих чисел:

$901\% > 900.1\%$

Следовательно, число 100 увеличилось на большее количество процентов.

Ответ: число 100 увеличилось на большее количество процентов.

767. К некоторому числу прибавили $10\%$ этого числа, а затем вычли $10\%$ суммы и получили 990. Найдите это число.

Пусть искомое число — это $x$.

1. Увеличение числа на 10%.
К числу прибавили 10% от него. Это эквивалентно умножению числа на 1.1 (поскольку $100\% + 10\% = 110\%$ или 1.1).
Получаем новое число (сумму):
$x + 0.1x = 1.1x$

2. Уменьшение полученной суммы на 10%.
Затем из полученной суммы ($1.1x$) вычли 10%. Важно, что 10% вычисляются от нового значения. Уменьшение числа на 10% эквивалентно умножению его на 0.9 (поскольку $100\% - 10\% = 90\%$ или 0.9).
Применяем это ко второй сумме:
$(1.1x) - 0.1 \times (1.1x) = (1.1x) \times 0.9 = 0.99x$

3. Составление и решение уравнения.
По условию, конечный результат равен 990. Составим уравнение:
$0.99x = 990$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0.99:
$x = \frac{990}{0.99}$
Для упрощения вычислений можно умножить числитель и знаменатель дроби на 100:
$x = \frac{990 \times 100}{0.99 \times 100} = \frac{99000}{99}$
$x = 1000$

Таким образом, исходное число равно 1000.

Ответ: 1000

768. В магазине висит рекламное объявление: «Теперь на 50 % дешевле – 0,75 л лимонада продаётся по цене 0,5 л». Найдите ошибку в этом объявлении. На сколько процентов дешевле в действительности стал продаваться лимонад? Ответ округлите до десятых.

Найдите ошибку в этом объявлении.

Ошибка рекламного объявления заключается в неверной трактовке понятия «скидка». В рекламе утверждается, что лимонад стал на 50% дешевле, что не соответствует действительности. По условиям акции, покупатель платит цену как за 0,5 л, а получает 0,75 л. Это означает, что он получает дополнительно $0,75 - 0,5 = 0,25$ л лимонада. Этот дополнительный объём составляет 50% от того объёма, за который платит покупатель: $ \frac{0,25 \text{ л}}{0,5 \text{ л}} \times 100\% = 50\% $. Таким образом, акция предлагает на 50% больше товара за те же деньги. Однако это не эквивалентно скидке в 50% на стоимость товара. Скидка в 50% означала бы, что цена на товар уменьшилась вдвое.

Ответ: Ошибка в том, что увеличение объёма товара на 50% при той же цене не равнозначно скидке в 50% от его стоимости.

На сколько процентов дешевле в действительности стал продаваться лимонад?

Для расчёта реальной процентной скидки необходимо сравнить старую и новую цену за один и тот же объём товара. Возьмём за основу объём 0,75 л. Пусть $x$ – это условная цена за 1 литр лимонада до акции. Тогда старая цена за 0,75 л лимонада составляла $0,75x$. По условиям акции, новая цена за 0,75 л лимонада равна цене 0,5 л, то есть $0,5x$. Теперь вычислим, на сколько процентов новая цена ниже старой, используя формулу для нахождения процентного изменения: $ \text{Процентная скидка} = \frac{\text{старая цена} - \text{новая цена}}{\text{старая цена}} \times 100\% $ Подставим наши значения в формулу: $ \text{Процентная скидка} = \frac{0,75x - 0,5x}{0,75x} \times 100\% = \frac{0,25x}{0,75x} \times 100\% $ Сокращаем $x$ в числителе и знаменателе: $ \frac{0,25}{0,75} \times 100\% = \frac{1}{3} \times 100\% \approx 33,333...\% $ Согласно условию задачи, ответ необходимо округлить до десятых. $ 33,333...\% \approx 33,3\% $

Ответ: В действительности лимонад стал продаваться дешевле на 33,3%.

769. Найдите числа, которых недостаёт в цепочке вычислений:

$\boxed{\quad} \xrightarrow{+\frac{1}{4}} \left(\frac{5}{8}\right) \xrightarrow{\cdot 1\frac{23}{25}} \bigcirc \xrightarrow{-?} (11) \xrightarrow{-?} \boxed{1\frac{7}{18}}$

Для нахождения недостающих чисел в цепочке вычислений, выполним действия последовательно, шаг за шагом.

1. Нахождение первого недостающего числа (в квадрате)

Первое действие в цепочке — это сложение. Неизвестное число (обозначим его $x$) складывается с $\frac{1}{4}$ и получается $\frac{5}{8}$.

Составим уравнение: $x + \frac{1}{4} = \frac{5}{8}$.

Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$x = \frac{5}{8} - \frac{1}{4}$

Приведем дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 8:

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8}$

Теперь выполним вычитание:

$x = \frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{3}{8}$

Ответ: Первое недостающее число равно $\frac{3}{8}$.

2. Нахождение второго недостающего числа (в круге)

Второе действие — умножение результата первого шага, то есть $\frac{5}{8}$, на смешанное число $1\frac{23}{25}$.

Сначала представим $1\frac{23}{25}$ в виде неправильной дроби:

$1\frac{23}{25} = \frac{1 \cdot 25 + 23}{25} = \frac{48}{25}$

Теперь выполним умножение. Для удобства можно сократить дроби до вычисления:

$\frac{5}{8} \cdot \frac{48}{25} = \frac{5 \cdot 48}{8 \cdot 25} = \frac{1 \cdot 6}{1 \cdot 5} = \frac{6}{5}$

Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа:

$\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$

Ответ: Второе недостающее число равно $\frac{6}{5}$ (или $1\frac{1}{5}$).

3. Нахождение третьего недостающего числа (вычитаемое)

Третье действие — вычитание. Из числа, полученного на предыдущем шаге ($\frac{6}{5}$), вычитается неизвестное число (обозначим его $y$), и в результате получается 11.

Составим уравнение: $\frac{6}{5} - y = 11$.

Чтобы найти вычитаемое $y$, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

$y = \frac{6}{5} - 11$

Представим 11 в виде дроби со знаменателем 5: $11 = \frac{55}{5}$.

$y = \frac{6}{5} - \frac{55}{5} = \frac{6 - 55}{5} = -\frac{49}{5}$

Представим результат в виде смешанного числа:

$-\frac{49}{5} = -9\frac{4}{5}$

Ответ: Третье недостающее число равно $-\frac{49}{5}$ (или $-9\frac{4}{5}$).

4. Нахождение четвертого недостающего числа (вычитаемое)

Последнее действие — вычитание. Из числа 11 вычитается неизвестное число (обозначим его $z$), и в результате получается $1\frac{7}{18}$.

Составим уравнение: $11 - z = 1\frac{7}{18}$.

Чтобы найти вычитаемое $z$, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

$z = 11 - 1\frac{7}{18}$

Для удобства вычислений, представим 11 как $10\frac{18}{18}$:

$z = 10\frac{18}{18} - 1\frac{7}{18} = (10 - 1) + (\frac{18}{18} - \frac{7}{18}) = 9 + \frac{11}{18} = 9\frac{11}{18}$

Ответ: Четвертое недостающее число равно $9\frac{11}{18}$.