Страница 138 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

721. Расстояние между селениями Приречное и Приозёрное на местности составляет 288 км, а на карте – 9,6 см. Какое расстояние между селениями Кленовое и Калиновое на этой же карте, если расстояние на местности между ними равно 324 км?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством масштаба карты. Масштаб показывает отношение расстояния на карте к соответствующему расстоянию на местности, и для одной и той же карты это отношение постоянно. Это означает, что расстояния на карте прямо пропорциональны расстояниям на местности.

Пусть $x$ см – искомое расстояние между селениями Кленовое и Калиновое на карте.

Мы можем составить пропорцию, приравняв отношение расстояния на карте к расстоянию на местности для обеих пар селений:

Подставим известные значения в пропорцию:

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Чтобы найти $x$, нужно умножить крайние члены пропорции и разделить на известный средний член:

Для удобства вычислений сначала сократим дробь $\frac{324}{288}$. Оба числа делятся на 36: $324 = 36 \cdot 9$ $288 = 36 \cdot 8$ Таким образом, $\frac{324}{288} = \frac{9}{8}$.

Теперь подставим сокращенную дробь в наше выражение для $x$:

Выполним вычисления:

Следовательно, расстояние между селениями Кленовое и Калиновое на этой карте составляет 10,8 см.

Ответ: 10,8 см.

722. Расстояние между сёлами Рябиновка и Ольшанка на местности равно 98 км, а на карте – 4,9 см. Расстояние между сёлами Крапивня и Камышовое на этой же карте равно 7,6 см. Какое расстояние между сёлами Крапивня и Камышовое на местности?

Для решения этой задачи можно использовать метод пропорции, так как отношение расстояния на карте к расстоянию на местности является постоянной величиной (масштабом) для одной и той же карты.

Пусть $x$ — искомое расстояние на местности между сёлами Крапивня и Камышовое в километрах.

Из условия задачи мы имеем два соотношения:

• 4,9 см на карте соответствуют 98 км на местности.
• 7,6 см на карте соответствуют $x$ км на местности.

Составим пропорцию, приравнивая отношения расстояний на карте к расстояниям на местности:

$\frac{4,9 \text{ см}}{98 \text{ км}} = \frac{7,6 \text{ см}}{x \text{ км}}$

Чтобы найти $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних членов):

$4,9 \cdot x = 98 \cdot 7,6$

Теперь выразим $x$:

$x = \frac{98 \cdot 7,6}{4,9}$

Выполним вычисления. Удобнее сначала разделить 98 на 4,9:

$\frac{98}{4,9} = \frac{980}{49} = 20$

Теперь умножим полученный результат на 7,6:

$x = 20 \cdot 7,6 = 152$

Следовательно, расстояние между сёлами Крапивня и Камышовое на местности составляет 152 км.

Ответ: 152 км.

723. Используя данные числа, составьте пропорцию:

1) 12; 7; 42; 2;

2) 0,2; 1,6; 0,72; 0,09.

1)Чтобы составить пропорцию из чисел 12, 7, 42, 2, нужно найти две пары чисел, произведения которых равны. Это следует из основного свойства пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов ($a \cdot d = b \cdot c$ для пропорции $a:b=c:d$).Найдем произведения пар чисел:$12 \cdot 7 = 84$$42 \cdot 2 = 84$Так как $12 \cdot 7 = 42 \cdot 2$, мы можем составить пропорцию. Например, если числа 12 и 7 являются крайними членами, а 42 и 2 — средними, то пропорция будет выглядеть так:$12 : 42 = 2 : 7$Проверим это, сравнив отношения:$12 \div 42 = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$$2 \div 7 = \frac{2}{7}$Отношения равны, следовательно, пропорция верна.Другим возможным вариантом является пропорция, где 12 и 2 — средние члены, а 42 и 7 — крайние: $42:12=7:2$.Ответ: $12 : 42 = 2 : 7$.

2)Аналогично поступим с числами 0,2; 1,6; 0,72; 0,09. Найдем пары чисел с равными произведениями.$0,2 \cdot 0,72 = 0,144$$1,6 \cdot 0,09 = 0,144$Мы видим, что $0,2 \cdot 0,72 = 1,6 \cdot 0,09$.На основе этого равенства составим пропорцию. Пусть 0,2 и 0,72 будут крайними членами, а 1,6 и 0,09 — средними.Получим пропорцию: $0,2 : 1,6 = 0,09 : 0,72$.Проверим равенство отношений:$0,2 \div 1,6 = \frac{0,2}{1,6} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} = 0,125$$0,09 \div 0,72 = \frac{0,09}{0,72} = \frac{9}{72} = \frac{1}{8} = 0,125$Так как отношения равны, пропорция составлена верно.Ответ: $0,2 : 1,6 = 0,09 : 0,72$.

724. Составьте все возможные пропорции, которые следуют из равенства $4 \cdot 9 = 18 \cdot 2$.

Пропорция — это равенство двух отношений, например, $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. Основное свойство пропорции заключается в том, что произведение её крайних членов ($a$ и $d$) равно произведению средних членов ($b$ и $c$), то есть $ a \cdot d = b \cdot c $.

Заданное равенство $ 4 \cdot 9 = 18 \cdot 2 $ уже представляет собой равенство произведений двух пар чисел. Чтобы составить все возможные пропорции, мы можем по-разному назначать эти числа крайними и средними членами.

Существует два основных варианта группировки членов:

1. Пусть числа $4$ и $9$ будут крайними членами пропорции, а числа $18$ и $2$ — средними. В этом случае можно составить следующие четыре пропорции:

   • $ \frac{4}{18} = \frac{2}{9} $
   • $ \frac{4}{2} = \frac{18}{9} $
   • $ \frac{9}{18} = \frac{2}{4} $
   • $ \frac{9}{2} = \frac{18}{4} $

2. Пусть числа $18$ и $2$ будут крайними членами, а числа $4$ и $9$ — средними. В этом случае получаем еще четыре пропорции:

   • $ \frac{18}{4} = \frac{9}{2} $
   • $ \frac{18}{9} = \frac{4}{2} $
   • $ \frac{2}{4} = \frac{9}{18} $
   • $ \frac{2}{9} = \frac{4}{18} $

Ответ: $ \frac{4}{18} = \frac{2}{9} $; $ \frac{4}{2} = \frac{18}{9} $; $ \frac{9}{18} = \frac{2}{4} $; $ \frac{9}{2} = \frac{18}{4} $; $ \frac{18}{4} = \frac{9}{2} $; $ \frac{18}{9} = \frac{4}{2} $; $ \frac{2}{4} = \frac{9}{18} $; $ \frac{2}{9} = \frac{4}{18} $.

725. Используя пропорцию $2 : 14 = 5 : 35$, запишите ещё три пропорции.

Данная пропорция $2 : 14 = 5 : 35$ является верной. Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов. В данном случае крайние члены — это $2$ и $35$, а средние — $14$ и $5$.

Проверим равенство:
$2 \cdot 35 = 14 \cdot 5$
$70 = 70$

Используя это равенство и свойства пропорций, мы можем составить три другие верные пропорции.

1. Поменять местами средние члены
Если в верной пропорции $a : b = c : d$ поменять местами средние члены $b$ и $c$, то получится новая верная пропорция $a : c = b : d$.
Применив это правило к исходной пропорции, получим:
$2 : 5 = 14 : 35$
Проверка: $2 \cdot 35 = 70$ и $5 \cdot 14 = 70$.

2. Поменять местами крайние члены
Если в верной пропорции $a : b = c : d$ поменять местами крайние члены $a$ и $d$, то получится новая верная пропорция $d : b = c : a$.
Применив это правило, получим:
$35 : 14 = 5 : 2$
Проверка: $35 \cdot 2 = 70$ и $14 \cdot 5 = 70$.

3. Заменить оба отношения обратными
Если в верной пропорции $a : b = c : d$ заменить каждое отношение на обратное, то получится новая верная пропорция $b : a = d : c$.
Применив это правило, получим:
$14 : 2 = 35 : 5$
Проверка: $14 \cdot 5 = 70$ и $2 \cdot 35 = 70$.

Ответ: $2 : 5 = 14 : 35$; $35 : 14 = 5 : 2$; $14 : 2 = 35 : 5$.

726. Найдите отношение a к b, если:

1) $ \frac{b}{a} = \frac{3}{7} $;

2) $ \frac{16}{b} = \frac{9}{a} $.

1) Нам дано отношение $ \frac{b}{a} = \frac{3}{7} $. Чтобы найти отношение $a$ к $b$, то есть $ \frac{a}{b} $, нужно найти величину, обратную данной. Если две дроби равны, то равны и обратные им дроби. Поэтому мы можем "перевернуть" обе части равенства, чтобы получить искомое отношение: $ \frac{a}{b} = \frac{7}{3} $.
Ответ: $ \frac{7}{3} $

2) Нам дано равенство $ \frac{16}{b} = \frac{9}{a} $. Это пропорция. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов (или, проще говоря, можно использовать перекрестное умножение): $ 16 \cdot a = 9 \cdot b $.
Чтобы найти отношение $ \frac{a}{b} $, нам нужно выразить его из этого равенства. Для этого разделим обе части уравнения на $b$ (при условии, что $ b \neq 0 $): $ 16 \cdot \frac{a}{b} = 9 $.
Теперь разделим обе части на 16, чтобы найти значение $ \frac{a}{b} $: $ \frac{a}{b} = \frac{9}{16} $.
Ответ: $ \frac{9}{16} $

727. Найдите отношение a к b, если:

1) $\frac{a}{39} = \frac{b}{8}$

2) $\frac{7}{a} = \frac{6}{b}$

1) Исходное равенство: $\frac{a}{39} = \frac{b}{8}$.

Чтобы найти отношение $a$ к $b$, то есть $\frac{a}{b}$, нам нужно преобразовать данную пропорцию. Воспользуемся свойством пропорции, которое позволяет менять местами её средние члены ($39$ и $b$).

Поменяв местами $39$ и $b$, мы получаем:

$\frac{a}{b} = \frac{39}{8}$

Другой способ — использовать перекрестное умножение:

$a \cdot 8 = b \cdot 39$

$8a = 39b$

Теперь, чтобы получить отношение $\frac{a}{b}$, разделим обе части равенства на $8b$ (при условии, что $b \neq 0$):

$\frac{8a}{8b} = \frac{39b}{8b}$

$\frac{a}{b} = \frac{39}{8}$

Ответ: $\frac{39}{8}$.

2) Исходное равенство: $\frac{7}{a} = \frac{6}{b}$.

Для нахождения отношения $\frac{a}{b}$ воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестное умножение):

$7 \cdot b = a \cdot 6$

$7b = 6a$

Чтобы получить отношение $\frac{a}{b}$, разделим обе части равенства на $6b$ (при условии, что $b \neq 0$):

$\frac{7b}{6b} = \frac{6a}{6b}$

$\frac{7}{6} = \frac{a}{b}$

Таким образом, отношение $\frac{a}{b}$ равно $\frac{7}{6}$.

Ответ: $\frac{7}{6}$.

728. Решите уравнение:

1) $\frac{3}{4} : x = 1\frac{1}{5} : 1\frac{1}{3}$;

2) $\frac{2}{x-0,4} = \frac{1}{0,4}$;

3) $\frac{2x+1}{3} = \frac{1}{2}$;

4) $\frac{3}{4} = \frac{x-1}{3,2}$;

5) $2,5x : 14 = \frac{1}{7} : 30$;

6) $36 : 35 = \frac{1}{5}x : \frac{1}{12}$.

1) $\frac{3}{4} : x = 1\frac{1}{5} : 1\frac{1}{3}$

Данное уравнение является пропорцией. Для его решения сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь подставим полученные дроби в исходное уравнение:

$\frac{3}{4} : x = \frac{6}{5} : \frac{4}{3}$

Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = x \cdot \frac{6}{5}$

Вычислим левую часть уравнения:

$\frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 3} = 1$

Получаем:

$1 = x \cdot \frac{6}{5}$

Чтобы найти $x$, нужно 1 разделить на $\frac{6}{5}$:

$x = 1 : \frac{6}{5} = 1 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$.

2) $\frac{2}{x-0,4} = \frac{1}{0,4}$

Это пропорция. Применим правило перекрестного умножения:

$2 \cdot 0,4 = 1 \cdot (x - 0,4)$

$0,8 = x - 0,4$

Чтобы найти $x$, перенесем $-0,4$ в левую часть, изменив знак на противоположный:

$x = 0,8 + 0,4$

$x = 1,2$

Проверим область допустимых значений: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x-0,4 \neq 0$, $x \neq 0,4$. Корень $x=1,2$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $1,2$.

3) $\frac{2x+1}{3} = \frac{1}{2}$

Используем основное свойство пропорции:

$(2x+1) \cdot 2 = 3 \cdot 1$

Раскроем скобки:

$4x + 2 = 3$

Перенесем 2 в правую часть с противоположным знаком:

$4x = 3 - 2$

$4x = 1$

Найдем $x$:

$x = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

4) $\frac{3}{4} = \frac{x-1}{3,2}$

Применим правило перекрестного умножения для пропорции:

$3 \cdot 3,2 = 4 \cdot (x-1)$

$9,6 = 4(x-1)$

Разделим обе части уравнения на 4:

$2,4 = x-1$

Найдем $x$:

$x = 2,4 + 1$

$x = 3,4$

Ответ: $3,4$.

5) $2,5x : 14 = \frac{1}{7} : 30$

Это пропорция. Произведение крайних членов равно произведению средних.

$2,5x \cdot 30 = 14 \cdot \frac{1}{7}$

Упростим обе части уравнения:

$75x = \frac{14}{7}$

$75x = 2$

Найдем $x$:

$x = \frac{2}{75}$

Ответ: $\frac{2}{75}$.

6) $36 : 35 = \frac{1}{5}x : \frac{1}{12}$

Используем основное свойство пропорции:

$36 \cdot \frac{1}{12} = 35 \cdot \frac{1}{5}x$

Выполним вычисления в обеих частях:

$\frac{36}{12} = \frac{35}{5}x$

$3 = 7x$

Найдем $x$:

$x = \frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{3}{7}$.

729. Решите уравнение:

1) $7\frac{1}{2} : 4\frac{1}{2} = x : \frac{3}{25};$

2) $\frac{24}{x+2} = \frac{1}{5};$

3) $\frac{y-5}{6} = \frac{4}{3};$

4) $\frac{2}{5} = \frac{6}{x+3};$

5) $\frac{5}{6} = \frac{15}{2x-3};$

6) $12 : \frac{4x}{5} = 20 : \frac{1}{4}.$

1) $7\frac{1}{2} : 4\frac{1}{2} = x : \frac{3}{25}$

Это пропорция. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$7\frac{1}{2} = \frac{7 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{15}{2}$

$4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$

Теперь запишем свойство пропорции для нашего уравнения:

$7\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{25} = 4\frac{1}{2} \cdot x$

$\frac{15}{2} \cdot \frac{3}{25} = \frac{9}{2} \cdot x$

Вычислим левую часть:

$\frac{15 \cdot 3}{2 \cdot 25} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 3}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{9}{10}$

Получаем уравнение:

$\frac{9}{10} = \frac{9}{2}x$

Чтобы найти $x$, нужно произведение разделить на известный множитель:

$x = \frac{9}{10} : \frac{9}{2} = \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}$

Ответ: $x = \frac{1}{5}$.

2) $\frac{24}{x+2} = \frac{1}{5}$

Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$24 \cdot 5 = 1 \cdot (x+2)$

$120 = x + 2$

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$x = 120 - 2$

$x = 118$

Ответ: $x = 118$.

3) $\frac{y-5}{6} = \frac{4}{3}$

Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$3 \cdot (y-5) = 6 \cdot 4$

$3y - 15 = 24$

Перенесем $-15$ в правую часть с противоположным знаком:

$3y = 24 + 15$

$3y = 39$

Разделим обе части на 3:

$y = \frac{39}{3}$

$y = 13$

Ответ: $y = 13$.

4) $\frac{2}{5} = \frac{6}{x+3}$

Используем перекрестное умножение:

$2 \cdot (x+3) = 5 \cdot 6$

$2x + 6 = 30$

Перенесем 6 в правую часть с противоположным знаком:

$2x = 30 - 6$

$2x = 24$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{24}{2}$

$x = 12$

Ответ: $x = 12$.

5) $\frac{5}{6} = \frac{15}{2x-3}$

Используем перекрестное умножение:

$5 \cdot (2x-3) = 6 \cdot 15$

$10x - 15 = 90$

Перенесем $-15$ в правую часть с противоположным знаком:

$10x = 90 + 15$

$10x = 105$

Разделим обе части на 10:

$x = \frac{105}{10}$

$x = 10,5$

Ответ: $x = 10,5$.

6) $12 : \frac{4x}{5} = 20 : \frac{1}{4}$

Запишем пропорцию в виде дробей:

$\frac{12}{\frac{4x}{5}} = \frac{20}{\frac{1}{4}}$

Используем основное свойство пропорции:

$12 \cdot \frac{1}{4} = 20 \cdot \frac{4x}{5}$

Вычислим левую и правую части:

$\frac{12}{4} = \frac{20 \cdot 4x}{5}$

$3 = 4 \cdot 4x$

$3 = 16x$

Чтобы найти $x$, разделим 3 на 16:

$x = \frac{3}{16}$

Ответ: $x = \frac{3}{16}$.

730. Чтобы сварить четыре порции манной каши, нужно 120 г манной крупы, 960 г молока и 50 г сахара. Сколько необходимо взять продуктов каждого вида, чтобы сварить 18 порций каши?

Для решения этой задачи необходимо найти, сколько каждого ингредиента требуется для приготовления одной порции каши, а затем умножить полученные значения на 18.

Манная крупа
Сначала вычислим, сколько манной крупы нужно на одну порцию, разделив общее количество на 4:
$120 \text{ г} \div 4 = 30 \text{ г}$
Теперь умножим это количество на 18, чтобы узнать, сколько крупы потребуется на 18 порций:
$30 \text{ г} \times 18 = 540 \text{ г}$
Ответ: 540 г манной крупы.

Молоко
Вычислим, сколько молока нужно на одну порцию:
$960 \text{ г} \div 4 = 240 \text{ г}$
Теперь умножим это количество на 18, чтобы узнать, сколько молока потребуется на 18 порций:
$240 \text{ г} \times 18 = 4320 \text{ г}$
Ответ: 4320 г молока.

Сахар
Вычислим, сколько сахара нужно на одну порцию:
$50 \text{ г} \div 4 = 12,5 \text{ г}$
Теперь умножим это количество на 18, чтобы узнать, сколько сахара потребуется на 18 порций:
$12,5 \text{ г} \times 18 = 225 \text{ г}$
Ответ: 225 г сахара.

731. Чтобы получить 120 кг нейзильбера1, необходимо сплавить 18 кг никеля, 24 кг цинка, а остальное – медь. Сколько килограммов каждого металла необходимо взять, чтобы получить 164 кг нейзильбера?

Для решения задачи сначала определим состав и пропорции металлов в исходном сплаве, а затем используем эти пропорции для расчета масс металлов в новом сплаве.

1. Находим массу меди в 120 кг нейзильбера.

Общая масса сплава составляет 120 кг. Из них 18 кг – никель и 24 кг – цинк. Масса меди равна разности между общей массой и массой известных компонентов:

$120 - 18 - 24 = 120 - 42 = 78$ кг меди.

2. Определяем соотношение масс металлов в сплаве.

Массы никеля, цинка и меди в сплаве соотносятся как $18:24:78$. Чтобы упростить это соотношение, разделим каждое число на их наибольший общий делитель, который равен 6:

$(18 \div 6) : (24 \div 6) : (78 \div 6) = 3 : 4 : 13$.

Это означает, что сплав состоит из частей этих металлов в указанной пропорции. Общее количество частей в сплаве равно:

$3 + 4 + 13 = 20$ частей.

3. Рассчитываем массу каждого металла для 164 кг нейзильбера.

Соотношение частей металлов в сплаве постоянно. Мы можем использовать его, чтобы найти необходимое количество каждого металла для производства 164 кг нейзильбера.

Никель

На долю никеля приходится 3 части из 20. Чтобы найти массу никеля в 164 кг сплава, нужно общую массу умножить на долю никеля ($3/20$):

$164 \times \frac{3}{20} = \frac{492}{20} = 24,6$ кг.

Ответ: для получения 164 кг нейзильбера необходимо взять 24,6 кг никеля.

Цинк

На долю цинка приходится 4 части из 20. Масса цинка составит:

$164 \times \frac{4}{20} = 164 \times \frac{1}{5} = 32,8$ кг.

Ответ: для получения 164 кг нейзильбера необходимо взять 32,8 кг цинка.

Медь

На долю меди приходится 13 частей из 20. Масса меди составит:

$164 \times \frac{13}{20} = \frac{2132}{20} = 106,6$ кг.

Проверить это можно, вычтя массы никеля и цинка из общей массы нового сплава:

$164 - 24,6 - 32,8 = 164 - 57,4 = 106,6$ кг.

Ответ: для получения 164 кг нейзильбера необходимо взять 106,6 кг меди.