Страница 132 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

699. Земельный участок на плане имеет форму прямоугольника, площадь которого равна $12 \text{ см}^2$. Сколько аров составляет площадь этого участка на местности, если план выполнен в масштабе 1 : 1000?

Масштаб плана 1:1000 означает, что 1 см на плане соответствует 1000 см на местности.
Поскольку площадь является двумерной величиной, соотношение площадей на плане и на местности будет равно квадрату линейного масштаба.
Вычислим, какой реальной площади соответствует 1 см² на плане. Прямоугольник с площадью 1 см² на плане (например, со сторонами 1 см и 1 см) будет иметь на местности стороны $1 \text{ см} \times 1000 = 1000 \text{ см}$ и $1 \text{ см} \times 1000 = 1000 \text{ см}$.
Переведем эти размеры в метры: $1000 \text{ см} = 10 \text{ м}$.
Таким образом, 1 см² на плане соответствует площади $10 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 100 \text{ м}^2$ на местности.

Теперь найдем реальную площадь участка, если на плане она составляет 12 см². Для этого умножим площадь на плане на найденное соотношение:
$S_{местность} = 12 \times 100 \text{ м}^2 = 1200 \text{ м}^2$.

В заключение, переведем полученную площадь из квадратных метров в ары. Известно, что 1 ар (также называемый "сотка") равен 100 м².
$S_{ары} = \frac{1200 \text{ м}^2}{100 \text{ м}^2/\text{ар}} = 12 \text{ аров}$.

Ответ: 12 аров.

700. Земельный участок площадью $5600 \text{ м}^2$ изображён на плане в виде прямоугольника. Найдите площадь этого прямоугольника, если масштаб плана равен $1 : 2000$.

Масштаб плана $1 : 2000$ показывает отношение линейных размеров на плане к соответствующим линейным размерам на местности. Это означает, что 1 единица длины на плане соответствует 2000 таким же единицам на местности.

Когда мы переходим от линейных размеров к площади, отношение площадей будет равно квадрату коэффициента подобия (т.е. квадрату линейного масштаба).

Масштаб для площадей будет равен $(\frac{1}{2000})^2 = \frac{1}{4\;000\;000}$.

Это означает, что площадь фигуры на плане в $4\;000\;000$ раз меньше её реальной площади.

Для решения задачи сначала переведем реальную площадь земельного участка из квадратных метров в квадратные сантиметры, чтобы результат был в удобных для плана единицах.

В одном метре 100 сантиметров, следовательно, в одном квадратном метре:
$1 \text{ м}^2 = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10\;000 \text{ см}^2$.

Теперь переведем площадь участка:
$S_{реальная} = 5600 \text{ м}^2 = 5600 \times 10\;000 \text{ см}^2 = 56\;000\;000 \text{ см}^2$.

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольника на плане ($S_{плана}$), нужно реальную площадь разделить на масштабный коэффициент для площадей:
$S_{плана} = \frac{S_{реальная}}{4\;000\;000} = \frac{56\;000\;000 \text{ см}^2}{4\;000\;000} = 14 \text{ см}^2$.

Ответ: 14 см².

701. Число 414 кратно числу 18. Найдите:

1) три числа, следующих за 414 и кратных 18;

2) два числа, предыдущих 414 и кратных 18.

1) три числа, следующих за 414 и кратных 18;

Если число кратно 18, то следующее за ним число, также кратное 18, можно найти, прибавив к нему 18. Мы должны выполнить это действие три раза, чтобы найти три последовательных числа.

Первое число:
$414 + 18 = 432$

Второе число:
$432 + 18 = 450$

Третье число:
$450 + 18 = 468$

Ответ: 432, 450, 468.

2) два числа, предыдущих 414 и кратных 18.

Чтобы найти предыдущее число, кратное 18, необходимо вычесть 18 из данного числа. Для нахождения двух предыдущих чисел мы выполним это действие дважды.

Первое число:
$414 - 18 = 396$

Второе число:
$396 - 18 = 378$

Ответ: 396, 378.

702. Школьные спортивные соревнования состояли из четырёх эстафет.

В таблице приведены результаты выступлений трёх лучших команд.

Время прохождения эстафеты, мин

Команда: Эстафета 1, Эстафета 2, Эстафета 3, Эстафета 4

«Молния»: 3,8; 4,0; 3,2; 6,4

«Буря»: 3,4; 4,4; 2,8; 5,7

«Тайфун»: 4,2; 5,2; 3,6; 5,4

За каждую эстафету команде начислили количество очков, равное занятому месту. Затем сложили очки каждой команды за все эстафеты. Победителем стала команда, набравшая наименьшее количество очков. Определите, какое место заняла каждая из данных команд.

Для определения итогового места каждой команды необходимо сначала определить, какое место (и, соответственно, сколько очков) получила каждая команда в каждой из четырёх эстафет. Согласно правилам, команда, показавшая лучшее (наименьшее) время, занимает первое место и получает 1 очко. Команда со вторым результатом получает 2 очка, а с третьим — 3 очка.

1. Распределение очков по эстафетам

• Эстафета 1:
  Время команд: «Буря» – 3,4 мин; «Молния» – 3,8 мин; «Тайфун» – 4,2 мин.
  Места и очки:
  • 1 место: «Буря» (1 очко)
  • 2 место: «Молния» (2 очка)
  • 3 место: «Тайфун» (3 очка)
• Эстафета 2:
  Время команд: «Молния» – 4,0 мин; «Буря» – 4,4 мин; «Тайфун» – 5,2 мин.
  Места и очки:
  • 1 место: «Молния» (1 очко)
  • 2 место: «Буря» (2 очка)
  • 3 место: «Тайфун» (3 очка)
• Эстафета 3:
  Время команд: «Буря» – 2,8 мин; «Молния» – 3,2 мин; «Тайфун» – 3,6 мин.
  Места и очки:
  • 1 место: «Буря» (1 очко)
  • 2 место: «Молния» (2 очка)
  • 3 место: «Тайфун» (3 очка)
• Эстафета 4:
  Время команд: «Тайфун» – 5,4 мин; «Буря» – 5,7 мин; «Молния» – 6,4 мин.
  Места и очки:
  • 1 место: «Тайфун» (1 очко)
  • 2 место: «Буря» (2 очка)
  • 3 место: «Молния» (3 очка)

2. Подсчет итоговой суммы очков

Теперь сложим очки, набранные каждой командой во всех эстафетах:

• «Молния»: $2 + 1 + 2 + 3 = 8$ очков
• «Буря»: $1 + 2 + 1 + 2 = 6$ очков
• «Тайфун»: $3 + 3 + 3 + 1 = 10$ очков

3. Определение итоговых мест

Победителем становится команда с наименьшей суммой очков. Сравнив итоговые очки, распределим места:

• 1 место: «Буря» (6 очков)
• 2 место: «Молния» (8 очков)
• 3 место: «Тайфун» (10 очков)

Ответ: Команда «Буря» заняла 1 место, команда «Молния» — 2 место, команда «Тайфун» — 3 место.

703. Петя и Дима, работая вместе, могут прополоть огород за 2,4 ч. Петя может сделать это самостоятельно за 4 ч. Сколько времени требуется Диме, чтобы самостоятельно прополоть огород?

Примем всю работу по прополке огорода за 1.

Производительность (скорость работы) — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Если вся работа (1) выполняется за время $t$, то производительность $P$ равна $P = 1/t$.

1. Найдем производительность Пети.

Петя выполняет всю работу за 4 часа. Значит, его производительность $P_П$ равна:

$P_П = \frac{1}{4}$ (часть огорода в час)

2. Найдем совместную производительность Пети и Димы.

Вместе они выполняют работу за 2,4 часа. Их совместная производительность $P_{П+Д}$ равна:

$P_{П+Д} = \frac{1}{2.4}$ (часть огорода в час)

3. Найдем производительность Димы.

Совместная производительность равна сумме индивидуальных производительностей: $P_{П+Д} = P_П + P_Д$.

Отсюда производительность Димы $P_Д$ равна разности совместной производительности и производительности Пети:

$P_Д = P_{П+Д} - P_П$

$P_Д = \frac{1}{2.4} - \frac{1}{4}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь 2,4 в виде обыкновенной: $2.4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$. Тогда $\frac{1}{2.4} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$.

Подставим это значение в формулу:

$P_Д = \frac{5}{12} - \frac{1}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$P_Д = \frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Таким образом, производительность Димы — $\frac{1}{6}$ часть огорода в час.

4. Найдем время, которое требуется Диме.

Время $t_Д$, необходимое Диме для выполнения всей работы в одиночку, находится по формуле $t_Д = 1 / P_Д$.

$t_Д = \frac{1}{1/6} = 6$ часов.

Ответ: Диме требуется 6 часов, чтобы самостоятельно прополоть огород.

704. Найдите значение выражения:

$\left(2.04 : \frac{1}{25} - 36.1 : \frac{19}{20}\right) \cdot \frac{5}{13} - 0.6 : 0.9.$

Для решения данного выражения необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий. Сначала выполняются операции в скобках (деление, а затем вычитание), после чего — умножение и деление за скобками, и в последнюю очередь — вычитание.

1) Выполним первое действие в скобках — деление $2,04 : \frac{1}{25}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь 2,04 в виде обыкновенной:

$2,04 = 2\frac{4}{100} = 2\frac{1}{25} = \frac{51}{25}$

Теперь выполним деление:

$2,04 : \frac{1}{25} = \frac{51}{25} : \frac{1}{25} = \frac{51}{25} \cdot \frac{25}{1} = 51$

2) Выполним второе действие в скобках — деление $36,1 : \frac{19}{20}$

Представим десятичную дробь 36,1 в виде обыкновенной:

$36,1 = 36\frac{1}{10} = \frac{361}{10}$

Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$36,1 : \frac{19}{20} = \frac{361}{10} \cdot \frac{20}{19}$

Зная, что $19 \cdot 19 = 361$, мы можем сократить выражение:

$\frac{361}{10} \cdot \frac{20}{19} = \frac{19 \cdot 19}{10} \cdot \frac{20}{19} = \frac{19 \cdot 20}{10} = 19 \cdot 2 = 38$

3) Выполним вычитание в скобках

Теперь найдем разность результатов первых двух действий:

$51 - 38 = 13$

4) Выполним умножение

Результат, полученный в скобках, умножим на $\frac{5}{13}$:

$13 \cdot \frac{5}{13} = \frac{13 \cdot 5}{13} = 5$

5) Выполним деление за скобками

Вычислим частное $0,6 : 0,9$:

$0,6 : 0,9 = \frac{6}{10} : \frac{9}{10} = \frac{6}{10} \cdot \frac{10}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

6) Выполним последнее вычитание

Вычтем из результата четвертого действия результат пятого:

$5 - \frac{2}{3} = 4\frac{3}{3} - \frac{2}{3} = 4\frac{1}{3}$

Ответ: $4\frac{1}{3}$.

705. Витя купил тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все страницы по порядку от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 35 листов и сложил все 70 чисел, которые на них были написаны. Могла ли полученная сумма быть равной 3500?

В тетради 96 листов, страницы которой пронумерованы от 1 до 192. Каждый лист содержит две страницы. Рассмотрим произвольный k-й лист тетради (где $k$ — целое число от 1 до 96). На этом листе будут страницы с номерами $2k-1$ и $2k$.

Сумма номеров страниц на одном k-м листе составляет:
$S_k = (2k-1) + 2k = 4k-1$.

Для любого целого числа $k$, произведение $4k$ является четным числом. Если из четного числа вычесть 1, результат всегда будет нечетным. Таким образом, сумма номеров страниц на любом отдельно взятом листе — это нечетное число.

Вася вырвал 35 листов. Общая сумма всех 70 чисел, написанных на этих листах, будет равна сумме 35 отдельных сумм, по одной для каждого листа. Поскольку каждая из этих 35 сумм является нечетным числом, нам нужно найти сумму 35 нечетных чисел.

Согласно правилам арифметики, сумма нечетного количества (в данном случае 35) нечетных чисел всегда является нечетным числом.

В задаче спрашивается, могла ли полученная сумма быть равной 3500. Число 3500 является четным. Так как результат сложения номеров страниц с 35 листов обязательно должен быть нечетным числом, он не может быть равен четному числу 3500.

Ответ: Нет, не могла.