Страница 136 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

707. Объясните, почему равенство $1 : 3 = 6 : 18$ является пропорцией, назовите её крайние и средние члены.

Равенство $1 : 3 = 6 : 18$ является пропорцией, так как пропорция — это равенство двух отношений. Чтобы убедиться в этом, можно воспользоваться основным свойством пропорции.

Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов. В пропорции, записанной в виде $a : b = c : d$, числа $a$ и $d$ являются крайними членами, а числа $b$ и $c$ — средними.

Применим это свойство к данному равенству:

Крайние члены: 1 и 18.
Найдём их произведение: $1 \cdot 18 = 18$.

Средние члены: 3 и 6.
Найдём их произведение: $3 \cdot 6 = 18$.

Поскольку произведение крайних членов (18) равно произведению средних членов (18), данное равенство является верной пропорцией.

Ответ: Равенство $1 : 3 = 6 : 18$ является пропорцией, потому что произведение его крайних членов ($1 \cdot 18 = 18$) равно произведению его средних членов ($3 \cdot 6 = 18$). Крайние члены этой пропорции — 1 и 18; средние члены — 3 и 6.

708. Объясните, почему из отношений $12 : 3$ и $20 : 4$ нельзя составить пропорцию.

Пропорция — это равенство двух отношений. Чтобы из отношений $12:3$ и $20:4$ можно было составить пропорцию, их значения должны быть равны.

Найдем значение первого отношения. Для этого разделим первое число на второе:$12 : 3 = \frac{12}{3} = 4$

Теперь найдем значение второго отношения:$20 : 4 = \frac{20}{4} = 5$

Сравним полученные значения:$4 \neq 5$

Поскольку значения отношений не равны, равенство $12:3 = 20:4$ не является верным. Следовательно, из данных отношений нельзя составить пропорцию.

Ответ: Из отношений $12:3$ и $20:4$ нельзя составить пропорцию, потому что их значения не равны ($4 \neq 5$).

709. Можно ли составить пропорцию из отношений:

1) $10 : 5$ и $36 : 18$;

2) $1 : 7$ и $15 : 105$;

3) $4 : 10$ и $15 : 6$;

4) $28 : 21$ и $49 : 42$?

Для того чтобы определить, можно ли составить пропорцию из двух отношений, необходимо проверить, равны ли значения этих отношений. Пропорция представляет собой равенство двух отношений, вида $a:b = c:d$. Это равенство будет верным только в том случае, если частное от деления $a$ на $b$ равно частному от деления $c$ на $d$, то есть $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

1) 10 : 5 и 36 : 18

Найдем значение первого отношения: $10 : 5 = \frac{10}{5} = 2$.
Найдем значение второго отношения: $36 : 18 = \frac{36}{18} = 2$.
Поскольку значения отношений равны ($2=2$), из них можно составить пропорцию $10 : 5 = 36 : 18$.
Ответ: да, можно.

2) 1 : 7 и 15 : 105

Значение первого отношения равно $1 : 7 = \frac{1}{7}$.
Найдем значение второго отношения: $15 : 105 = \frac{15}{105}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 15: $\frac{15 \div 15}{105 \div 15} = \frac{1}{7}$.
Поскольку значения отношений равны ($\frac{1}{7} = \frac{1}{7}$), из них можно составить пропорцию $1 : 7 = 15 : 105$.
Ответ: да, можно.

3) 4 : 10 и 15 : 6

Найдем значение первого отношения, сократив дробь: $4 : 10 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Найдем значение второго отношения, сократив дробь: $15 : 6 = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$.
Поскольку значения отношений не равны ($\frac{2}{5} \neq \frac{5}{2}$), составить из них пропорцию нельзя.
Ответ: нет, нельзя.

4) 28 : 21 и 49 : 42

Найдем значение первого отношения, сократив дробь на 7: $28 : 21 = \frac{28}{21} = \frac{28 \div 7}{21 \div 7} = \frac{4}{3}$.
Найдем значение второго отношения, сократив дробь на 7: $49 : 42 = \frac{49}{42} = \frac{49 \div 7}{42 \div 7} = \frac{7}{6}$.
Поскольку значения отношений не равны ($\frac{4}{3} \neq \frac{7}{6}$), составить из них пропорцию нельзя.
Ответ: нет, нельзя.

710. Запишите в виде пропорции утверждение:

1) 2 относится к 7, как 6 относится к 21; $2:7 = 6:21$

2) отношение 7,2 к 0,8 равно отношению 0,09 к 0,01; $7.2:0.8 = 0.09:0.01$

3) $\frac{2}{3}$ относится к $1\frac{1}{9}$, как $\frac{4}{21}$ относится к $\frac{20}{63}$. $\frac{2}{3} : 1\frac{1}{9} = \frac{4}{21} : \frac{20}{63}$

1) Утверждение «2 относится к 7, как 6 относится к 21» означает, что отношение числа 2 к числу 7 равно отношению числа 6 к числу 21. Пропорция — это равенство двух отношений. Отношение можно записать с помощью знака деления (:) или в виде дроби.
Первое отношение: $2:7$ или $\frac{2}{7}$.
Второе отношение: $6:21$ или $\frac{6}{21}$.
Приравнивая их, получаем искомую пропорцию.
Ответ: $2:7 = 6:21$ или $\frac{2}{7} = \frac{6}{21}$.

2) Утверждение «отношение 7,2 к 0,8 равно отношению 0,09 к 0,01» прямо указывает на равенство двух отношений.
Первое отношение: $7,2:0,8$ или $\frac{7,2}{0,8}$.
Второе отношение: $0,09:0,01$ или $\frac{0,09}{0,01}$.
Записываем равенство этих отношений в виде пропорции.
Ответ: $7,2:0,8 = 0,09:0,01$ или $\frac{7,2}{0,8} = \frac{0,09}{0,01}$.

3) Утверждение «$\frac{2}{3}$ относится к $1\frac{1}{9}$, как $\frac{4}{21}$ относится к $\frac{20}{63}$» также является словесным описанием пропорции. Слово «как» указывает на равенство отношений.
Первое отношение: $\frac{2}{3}$ к $1\frac{1}{9}$, что записывается как $\frac{2}{3} : 1\frac{1}{9}$.
Второе отношение: $\frac{4}{21}$ к $\frac{20}{63}$, что записывается как $\frac{4}{21} : \frac{20}{63}$.
Приравнивая их, получаем пропорцию. Перед записью ответа преобразуем смешанное число $1\frac{1}{9}$ в неправильную дробь для полноты решения: $1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$.
Ответ: $\frac{2}{3} : 1\frac{1}{9} = \frac{4}{21} : \frac{20}{63}$ или $\frac{\frac{2}{3}}{1\frac{1}{9}} = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{20}{63}}$.

711. Вычислив данные отношения, установите, можно ли из них составить пропорцию:

1) $2.8 : 0.7$ и $152 : 38$;

2) $\frac{6}{11} : \frac{3}{22}$ и $\frac{12}{17} : \frac{5}{34}$

В случае утвердительного ответа запишите эту пропорцию.

1) Чтобы определить, можно ли составить пропорцию из отношений $2,8 : 0,7$ и $152 : 38$, необходимо вычислить значение каждого отношения и сравнить их.

Вычислим первое отношение:
$2,8 : 0,7 = \frac{2,8}{0,7} = \frac{28}{7} = 4$

Вычислим второе отношение:
$152 : 38 = \frac{152}{38} = 4$

Поскольку значения отношений равны ($4 = 4$), из них можно составить пропорцию.
Ответ: Да, можно. Пропорция: $2,8 : 0,7 = 152 : 38$.

2) Чтобы определить, можно ли составить пропорцию из отношений $\frac{6}{11} : \frac{3}{22}$ и $\frac{12}{17} : \frac{5}{34}$, необходимо вычислить значение каждого отношения и сравнить их.

Вычислим первое отношение (деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь):
$\frac{6}{11} : \frac{3}{22} = \frac{6}{11} \cdot \frac{22}{3} = \frac{6 \cdot 22}{11 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 4$

Вычислим второе отношение:
$\frac{12}{17} : \frac{5}{34} = \frac{12}{17} \cdot \frac{34}{5} = \frac{12 \cdot 34}{17 \cdot 5} = \frac{12 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{24}{5} = 4,8$

Поскольку значения отношений не равны ($4 \neq 4,8$), из них нельзя составить пропорцию.
Ответ: Нет, нельзя.

712. Вычислив данные отношения, установите, можно ли из них составить пропорцию:

1) $15 : 1,8$ и $\frac{15}{16} : \frac{3}{20}$;

2) $5\frac{1}{4} : 3\frac{1}{16}$ и $1\frac{11}{19} : \frac{35}{38}$

В случае утвердительного ответа запишите эту пропорцию.

Чтобы установить, можно ли из данных отношений составить пропорцию, необходимо вычислить значение каждого отношения и сравнить их. Если значения равны, то пропорцию составить можно.

1)

Вычислим первое отношение: $15 : 1,8$.
Представим десятичную дробь $1,8$ в виде обыкновенной: $1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$.
Тогда $15 : 1,8 = 15 : \frac{9}{5} = 15 \cdot \frac{5}{9} = \frac{15 \cdot 5}{9} = \frac{5 \cdot 5}{3} = \frac{25}{3}$.

Вычислим второе отношение: $\frac{15}{16} : \frac{3}{20}$.
$\frac{15}{16} : \frac{3}{20} = \frac{15}{16} \cdot \frac{20}{3} = \frac{15 \cdot 20}{16 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 1} = \frac{25}{4}$.

Сравним полученные значения:
$\frac{25}{3}$ и $\frac{25}{4}$.
Так как $\frac{25}{3} \neq \frac{25}{4}$, из данных отношений нельзя составить пропорцию.

Ответ: из данных отношений нельзя составить пропорцию.

2)

Вычислим первое отношение: $5\frac{1}{4} : 3\frac{1}{16}$.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$5\frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$
$3\frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{49}{16}$
Теперь выполним деление: $\frac{21}{4} : \frac{49}{16} = \frac{21}{4} \cdot \frac{16}{49} = \frac{21 \cdot 16}{4 \cdot 49} = \frac{3 \cdot 4}{1 \cdot 7} = \frac{12}{7}$.

Вычислим второе отношение: $1\frac{11}{19} : \frac{35}{38}$.
Переведем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{11}{19} = \frac{1 \cdot 19 + 11}{19} = \frac{30}{19}$
Теперь выполним деление: $\frac{30}{19} : \frac{35}{38} = \frac{30}{19} \cdot \frac{38}{35} = \frac{30 \cdot 38}{19 \cdot 35} = \frac{6 \cdot 2}{1 \cdot 7} = \frac{12}{7}$.

Сравним полученные значения:
$\frac{12}{7} = \frac{12}{7}$.
Так как значения отношений равны, из них можно составить пропорцию.

Ответ: из данных отношений можно составить пропорцию: $5\frac{1}{4} : 3\frac{1}{16} = 1\frac{11}{19} : \frac{35}{38}$.

713. Не вычисляя данные отношения, установите, можно ли из них составить пропорцию:

1) $1.6 : 3.6$ и $0.5 : 1.125$;

2) $2\frac{7}{16} : \frac{5}{13}$ и $1\frac{41}{50} : \frac{24}{65}$.

В случае утвердительного ответа запишите эту пропорцию.

1) 1,6 : 3,6 и 0,5 : 1,125

Чтобы установить, можно ли из двух отношений составить пропорцию, воспользуемся основным свойством пропорции: равенство $a:b = c:d$ является верной пропорцией тогда и только тогда, когда произведение ее крайних членов равно произведению средних членов, то есть $a \cdot d = b \cdot c$.

В данном случае $a = 1.6$, $b = 3.6$, $c = 0.5$ и $d = 1.125$.

Проверим равенство $a \cdot d = b \cdot c$:

Произведение крайних членов: $1.6 \cdot 1.125 = 1.8$.

Произведение средних членов: $3.6 \cdot 0.5 = 1.8$.

Так как $1.8 = 1.8$, то произведения равны. Следовательно, из данных отношений можно составить пропорцию.

Ответ: Да, можно. $1.6 : 3.6 = 0.5 : 1.125$.

2) $2\frac{7}{16} : \frac{5}{13}$ и $1\frac{41}{50} : \frac{24}{65}$

Применим основное свойство пропорции, как и в предыдущем пункте. Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$a = 2\frac{7}{16} = \frac{2 \cdot 16 + 7}{16} = \frac{39}{16}$

$b = \frac{5}{13}$

$c = 1\frac{41}{50} = \frac{1 \cdot 50 + 41}{50} = \frac{91}{50}$

$d = \frac{24}{65}$

Проверим равенство произведений крайних и средних членов:

Произведение крайних членов: $a \cdot d = \frac{39}{16} \cdot \frac{24}{65} = \frac{39 \cdot 24}{16 \cdot 65} = \frac{(3 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 8)}{(2 \cdot 8) \cdot (5 \cdot 13)} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{9}{10}$.

Произведение средних членов: $b \cdot c = \frac{5}{13} \cdot \frac{91}{50} = \frac{5 \cdot 91}{13 \cdot 50} = \frac{5 \cdot (7 \cdot 13)}{13 \cdot (5 \cdot 10)} = \frac{7}{10}$.

Так как $\frac{9}{10} \neq \frac{7}{10}$, то произведения не равны. Следовательно, из данных отношений нельзя составить пропорцию.

Ответ: Нет, нельзя.

714. Не вычисляя данные отношения, установите, можно ли из них составить пропорцию:

1) 3,8 : 2,7 и 5,7 : 4,6;

2) $3 : 1\frac{7}{8}$ и $\frac{2}{3} : \frac{5}{12}$.

В случае утвердительного ответа запишите эту пропорцию.

1)

Чтобы определить, можно ли из отношений $3,8 : 2,7$ и $5,7 : 4,6$ составить пропорцию, воспользуемся основным свойством пропорции. Пропорция $a : b = c : d$ верна, если произведение её крайних членов равно произведению средних членов, то есть $a \cdot d = b \cdot c$.
Предположим, что мы можем составить пропорцию $3,8 : 2,7 = 5,7 : 4,6$.
Здесь крайние члены — это $3,8$ и $4,6$, а средние члены — $2,7$ и $5,7$.
Найдём произведение крайних членов: $3,8 \cdot 4,6 = 17,48$.
Найдём произведение средних членов: $2,7 \cdot 5,7 = 15,39$.
Сравним полученные произведения: $17,48 \neq 15,39$.
Поскольку произведение крайних членов не равно произведению средних, из данных отношений нельзя составить пропорцию.

Ответ: нельзя.

2)

Проверим, можно ли составить пропорцию из отношений $3 : 1\frac{7}{8}$ и $\frac{2}{3} : \frac{5}{12}$.
Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$1\frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{15}{8}$.
Теперь проверим, верна ли пропорция $3 : \frac{15}{8} = \frac{2}{3} : \frac{5}{12}$.
Для этого снова воспользуемся основным свойством пропорции: проверим равенство произведений крайних и средних членов.
Крайние члены: $3$ и $\frac{5}{12}$. Их произведение равно: $3 \cdot \frac{5}{12} = \frac{3 \cdot 5}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
Средние члены: $\frac{15}{8}$ и $\frac{2}{3}$. Их произведение равно: $\frac{15}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{15 \cdot 2}{8 \cdot 3} = \frac{30}{24} = \frac{5}{4}$.
Сравним полученные произведения: $\frac{5}{4} = \frac{5}{4}$.
Так как произведение крайних членов равно произведению средних, из данных отношений можно составить пропорцию.

Ответ: можно, $3 : 1\frac{7}{8} = \frac{2}{3} : \frac{5}{12}$.

715. Поменяйте местами крайние члены пропорции:

1) 6 : 5 = 66 : 55;

2) $\frac{25}{45} = \frac{40}{72}$.

Являются ли полученные равенства пропорциями? Сделайте вывод.

1) Дана пропорция $6 : 5 = 66 : 55$.

Крайними членами этой пропорции являются 6 и 55. Поменяем их местами и получим новое равенство: $55 : 5 = 66 : 6$.

Чтобы проверить, является ли полученное равенство пропорцией, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов должно быть равно произведению средних.

Произведение крайних членов нового равенства: $55 \cdot 6 = 330$.

Произведение средних членов нового равенства: $5 \cdot 66 = 330$.

Поскольку $330 = 330$, полученное равенство является верной пропорцией.

Ответ: да, полученное равенство является пропорцией.

2) Дана пропорция $\frac{25}{45} = \frac{40}{72}$.

В данной пропорции крайними членами являются числитель первой дроби (25) и знаменатель второй дроби (72). Поменяем их местами и получим новое равенство: $\frac{72}{45} = \frac{40}{25}$.

Проверим, является ли новое равенство пропорцией, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение).

Произведение крайних членов нового равенства: $72 \cdot 25 = 1800$.

Произведение средних членов нового равенства: $45 \cdot 40 = 1800$.

Так как $1800 = 1800$, полученное равенство является верной пропорцией.

Ответ: да, полученное равенство является пропорцией.

Вывод: Если в верной пропорции поменять местами её крайние члены, то полученное равенство также будет являться верной пропорцией. Это является одним из свойств пропорции. Если верна пропорция $a : b = c : d$ (то есть $a \cdot d = b \cdot c$), то после перестановки крайних членов получим пропорцию $d : b = c : a$, которая тоже будет верной, так как $d \cdot a = b \cdot c$.

716. Поменяйте местами средние члены пропорции:

1) $ \frac{13}{78} = \frac{14}{84} $;

2) $ 24 : 16 = 27 : 18 $.

Являются ли полученные равенства пропорциями? Сделайте вывод.

Пропорция – это равенство двух отношений. В общем виде пропорцию можно записать как $a : b = c : d$ или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Числа $a$ и $d$ называются крайними членами пропорции, а числа $b$ и $c$ – средними членами. Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов, то есть $a \cdot d = b \cdot c$.

В задании требуется поменять местами средние члены в каждой пропорции и проверить, останутся ли полученные равенства верными пропорциями.

1) $\frac{13}{78} = \frac{14}{84}$

В данной пропорции крайние члены – это 13 и 84, а средние – 78 и 14.Поменяем местами средние члены (78 и 14) и получим новое равенство:$\frac{13}{14} = \frac{78}{84}$.

Чтобы проверить, является ли это равенство пропорцией, воспользуемся основным свойством пропорции. Произведение крайних членов (13 и 84) должно быть равно произведению средних членов (14 и 78).Вычислим произведения:
Произведение крайних членов: $13 \cdot 84 = 1092$.
Произведение средних членов: $14 \cdot 78 = 1092$.
Так как $1092 = 1092$, равенство является верной пропорцией.
Другой способ проверки – сократить дроби:$\frac{78}{84} = \frac{78 \div 6}{84 \div 6} = \frac{13}{14}$.
Получаем верное равенство $\frac{13}{14} = \frac{13}{14}$.

Ответ: Полученное равенство $\frac{13}{14} = \frac{78}{84}$ является пропорцией.

2) $24 : 16 = 27 : 18$

В этой пропорции крайние члены – это 24 и 18, а средние – 16 и 27.Поменяем местами средние члены (16 и 27), получим новое равенство:$24 : 27 = 16 : 18$.

Проверим, является ли полученное равенство пропорцией, используя основное свойство.
Произведение крайних членов: $24 \cdot 18 = 432$.
Произведение средних членов: $27 \cdot 16 = 432$.
Так как $432 = 432$, равенство является верной пропорцией.
Также можно проверить, равны ли отношения, представив их в виде дробей:
$24 : 27 = \frac{24}{27} = \frac{24 \div 3}{27 \div 3} = \frac{8}{9}$.
$16 : 18 = \frac{16}{18} = \frac{16 \div 2}{18 \div 2} = \frac{8}{9}$.
Отношения равны, значит, это верная пропорция.

Ответ: Полученное равенство $24 : 27 = 16 : 18$ является пропорцией.

Вывод

В обоих случаях после перестановки средних членов исходной пропорции мы снова получили верную пропорцию. Это свойство выполняется для любой верной пропорции. Если в пропорции $a : b = c : d$ поменять местами средние члены, то получится пропорция $a : c = b : d$. Это следует из основного свойства пропорции: если $a \cdot d = b \cdot c$, то, поменяв множители $b$ и $c$ местами, получим $a \cdot d = c \cdot b$, что соответствует новой пропорции.