Страница 142 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что такое процентное отношение двух чисел?

Процентное отношение двух чисел — это их отношение (результат деления одного числа на другое), выраженное в процентах. Оно показывает, какую долю в процентах составляет одно число от другого.

Чтобы найти процентное отношение числа a к числу b, необходимо разделить число a на число b и полученный результат умножить на 100.
Формула для расчета выглядит следующим образом:
$P (\%) = \frac{a}{b} \cdot 100\%$

Пример:
Найдем, сколько процентов составляет число 30 от числа 150.
В данном случае $a = 30$, а $b = 150$.
Выполним расчет по формуле:
$\frac{30}{150} \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$
Таким образом, число 30 составляет 20% от числа 150.

Ответ: Процентное отношение двух чисел — это их отношение, выраженное в процентах. Чтобы найти, сколько процентов число a составляет от числа b, нужно разделить a на b и умножить на 100.

2. Что показывает процентное отношение двух чисел?

Процентное отношение двух чисел показывает, какую долю (часть) составляет первое число от второго, выраженную в процентах. Иными словами, оно отвечает на вопрос: «сколько процентов составляет число a от числа b?». Это удобный способ для сравнения двух величин.

Чтобы найти процентное отношение, необходимо первое число разделить на второе, а полученное частное умножить на 100. Формула для вычисления процентного отношения числа $a$ к числу $b$ выглядит следующим образом:

$P = (\frac{a}{b}) \cdot 100\%$

Здесь $a$ — это число, которое сравнивают, а $b$ — число, с которым сравнивают (база, принимаемая за 100%).

Пример 1:

Найдем, сколько процентов составляет число 10 от числа 40.

$(\frac{10}{40}) \cdot 100\% = 0.25 \cdot 100\% = 25\%$

Это означает, что число 10 составляет 25% от числа 40.

Пример 2:

Если первое число больше второго, процентное отношение будет больше 100%. Найдем, сколько процентов составляет число 90 от числа 60.

$(\frac{90}{60}) \cdot 100\% = 1.5 \cdot 100\% = 150\%$

Это означает, что число 90 составляет 150% от числа 60.

Ответ: Процентное отношение двух чисел показывает, какую часть составляет первое число от второго, выраженную в сотых долях (процентах).

3. Сформулируйте правило нахождения процентного отношения двух чисел.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, то есть выразить их отношение в процентах, нужно одно число разделить на другое и полученный результат умножить на 100.

Это правило можно описать следующей последовательностью действий:
1. Найти частное от деления числа a на число b. Число b является базой, с которой производится сравнение (100%).
2. Полученное частное умножить на 100 и добавить знак процента (%).

Математически это выражается формулой:

$P = \frac{a}{b} \times 100\%$

Пример:

Допустим, нам нужно узнать, сколько процентов составляет число 40 от числа 200.

Следуя правилу, сначала разделим 40 на 200:
$40 \div 200 = 0.2$

Затем умножим результат на 100, чтобы перевести его в проценты:
$0.2 \times 100 = 20\%$

Таким образом, число 40 составляет 20% от числа 200.

Ответ: Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно первое число разделить на второе и результат умножить на 100.

1. Выразите в процентах:

1) $0,02$;

2) $0,2$;

3) $2$;

4) $0,002$.

Чтобы выразить десятичную дробь или целое число в процентах, необходимо это число умножить на 100 и добавить знак процента (%).

1)
Для того чтобы выразить 0,02 в процентах, умножаем это число на 100:
$0,02 \cdot 100\% = 2\%$.
Ответ: 2%.

2)
Для того чтобы выразить 0,2 в процентах, умножаем это число на 100:
$0,2 \cdot 100\% = 20\%$.
Ответ: 20%.

3)
Для того чтобы выразить 2 в процентах, умножаем это число на 100:
$2 \cdot 100\% = 200\%$.
Ответ: 200%.

4)
Для того чтобы выразить 0,002 в процентах, умножаем это число на 100:
$0,002 \cdot 100\% = 0,2\%$.
Ответ: 0,2%.

2. В магазине было 600 кг капусты. Продали $40 \%$ капусты.

1) Сколько килограммов капусты продали?

2) Сколько процентов всей капусты осталось в магазине?

1) Сколько килограммов капусты продали?

Чтобы найти, сколько килограммов капусты продали, необходимо вычислить 40% от общего количества в 600 кг.

Для этого можно общее количество умножить на долю, соответствующую процентам. Сначала переведем проценты в десятичную дробь:

$40\% = \frac{40}{100} = 0.4$

Теперь умножим общее количество капусты на полученную дробь:

$600 \text{ кг} \times 0.4 = 240 \text{ кг}$

Также можно составить пропорцию, где 600 кг — это 100%, а $x$ кг — это 40%:

$\frac{600}{100\%} = \frac{x}{40\%}$

$x = \frac{600 \times 40}{100} = \frac{24000}{100} = 240 \text{ кг}$

Ответ: 240 кг

2) Сколько процентов всей капусты осталось в магазине?

Изначально в магазине было 100% капусты. После того как продали 40%, оставшуюся часть можно найти, вычтя процент проданной капусты из общего процента.

$100\% - 40\% = 60\%$

Таким образом, в магазине осталось 60% всей капусты.

Ответ: 60%

3. В коробке лежат 20 шаров, из них 8 шаров белые, а остальные – синие. Какую часть всех шаров составляют:

1) белые шары;

2) синие шары?

Какую часть количество белых шаров составляет от количества синих?

Какую часть количество синих шаров составляет от количества белых?

Для начала определим количество синих шаров в коробке. Всего шаров 20, из них 8 белых. Следовательно, количество синих шаров составляет:

$20 - 8 = 12$ (синих шаров).

Теперь поочередно ответим на все вопросы задачи.

1) Какую часть всех шаров составляют белые шары?

Чтобы найти, какую часть белые шары составляют от общего количества, нужно разделить количество белых шаров на общее количество шаров. Полученную дробь сократим:

$ \frac{8}{20} = \frac{8 \div 4}{20 \div 4} = \frac{2}{5} $

Ответ: $ \frac{2}{5} $.

2) Какую часть всех шаров составляют синие шары?

Чтобы найти, какую часть синие шары составляют от общего количества, нужно разделить количество синих шаров на общее количество шаров:

$ \frac{12}{20} = \frac{12 \div 4}{20 \div 4} = \frac{3}{5} $

Ответ: $ \frac{3}{5} $.

Какую часть количество белых шаров составляет от количества синих?

Для ответа на этот вопрос нужно найти отношение количества белых шаров к количеству синих шаров:

$ \frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $.

Какую часть количество синих шаров составляет от количества белых?

Для ответа на этот вопрос необходимо найти отношение количества синих шаров к количеству белых шаров:

$ \frac{12}{8} = \frac{12 \div 4}{8 \div 4} = \frac{3}{2} $

Ответ: $ \frac{3}{2} $.

4. У Саши и Димы было по 12 яблок. Сначала Саша отдал Диме $50\%$ своих яблок, а потом Дима отдал Саше $50\%$ яблок, которые у него оказались. У кого из мальчиков яблок стало больше и на сколько?

Чтобы решить задачу, необходимо последовательно выполнить все действия и отследить изменение количества яблок у каждого мальчика.

1. Начальные условия.
И у Саши, и у Димы было по 12 яблок.

2. Саша отдает 50% своих яблок Диме.
Сначала вычислим, сколько яблок отдал Саша. 50% — это половина, поэтому:
$12 \times \frac{50}{100} = 12 \times 0.5 = 6$ яблок.
Теперь посчитаем, сколько яблок стало у каждого мальчика после этого обмена:
У Саши осталось: $12 - 6 = 6$ яблок.
У Димы стало: $12 + 6 = 18$ яблок.

3. Дима отдает 50% своих яблок Саше.
На данный момент у Димы 18 яблок. Вычислим, сколько яблок он отдал Саше:
$18 \times \frac{50}{100} = 18 \times 0.5 = 9$ яблок.
Теперь посчитаем окончательное количество яблок у каждого:
У Димы осталось: $18 - 9 = 9$ яблок.
Саша получил 9 яблок к своим 6, и у него стало: $6 + 9 = 15$ яблок.

4. Сравнение и вывод.
В итоге у Саши оказалось 15 яблок, а у Димы — 9 яблок.
Сравниваем количество яблок: $15 > 9$, значит, у Саши яблок стало больше.
Найдем разницу, чтобы узнать, на сколько больше:
$15 - 9 = 6$ яблок.

Ответ: У Саши стало на 6 яблок больше, чем у Димы.

743. Сколько процентов числа составляет его:

1) половина;

2) четверть;

3) десятая часть;

4) пятая часть?

Чтобы найти, сколько процентов составляет одна величина от другой, нужно выразить их отношение в виде дроби и умножить эту дробь на 100%.

1) половина

Половина числа — это его часть, равная дроби $\frac{1}{2}$. Чтобы выразить эту часть в процентах, умножим дробь на 100%.

$\frac{1}{2} \cdot 100\% = \frac{100}{2}\% = 50\%$

Ответ: 50%

2) четверть

Четверть числа — это его часть, равная дроби $\frac{1}{4}$. Выразим эту часть в процентах:

$\frac{1}{4} \cdot 100\% = \frac{100}{4}\% = 25\%$

Ответ: 25%

3) десятая часть

Десятая часть числа — это дробь $\frac{1}{10}$. Переведем в проценты:

$\frac{1}{10} \cdot 100\% = \frac{100}{10}\% = 10\%$

Ответ: 10%

4) пятая часть

Пятая часть числа — это дробь $\frac{1}{5}$. Переведем в проценты:

$\frac{1}{5} \cdot 100\% = \frac{100}{5}\% = 20\%$

Ответ: 20%

744. Сколько процентов составляет:

1) число 4 от числа 8;

2) число 2 от числа 10;

3) число 12 от числа 48;

4) число 45 от числа 300;

5) число 64 от числа 400;

6) число 138 от числа 120?

Чтобы найти, какой процент одно число составляет от другого, нужно первое число разделить на второе и результат умножить на 100.

1) число 4 от числа 8

Для нахождения процентного соотношения разделим 4 на 8 и умножим на 100%.

$(\frac{4}{8}) \cdot 100\% = 0,5 \cdot 100\% = 50\%$.

Ответ: 50%.

2) число 2 от числа 10

Разделим 2 на 10 и умножим на 100%.

$(\frac{2}{10}) \cdot 100\% = 0,2 \cdot 100\% = 20\%$.

Ответ: 20%.

3) число 12 от числа 48

Разделим 12 на 48 и умножим на 100%.

$(\frac{12}{48}) \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 0,25 \cdot 100\% = 25\%$.

Ответ: 25%.

4) число 45 от числа 300

Разделим 45 на 300 и умножим на 100%.

$(\frac{45}{300}) \cdot 100\% = 0,15 \cdot 100\% = 15\%$.

Ответ: 15%.

5) число 64 от числа 400

Разделим 64 на 400 и умножим на 100%.

$(\frac{64}{400}) \cdot 100\% = 0,16 \cdot 100\% = 16\%$.

Ответ: 16%.

6) число 138 от числа 120

Разделим 138 на 120 и умножим на 100%.

$(\frac{138}{120}) \cdot 100\% = 1,15 \cdot 100\% = 115\%$.

Ответ: 115%.

745. Сколько процентов число 40 составляет от числа:

1) 100;

2) 80;

3) 160;

4) 10?

Для того чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно первое число разделить на второе и результат умножить на 100%.

Общая формула: $ (\frac{A}{B}) \cdot 100\% $, где A - число, для которого мы ищем процентное соотношение, а B - число, от которого мы ищем процент.

В нашем случае, A = 40.

1) 100;
Найдем, сколько процентов число 40 составляет от числа 100.
$ \frac{40}{100} \cdot 100\% = 0.4 \cdot 100\% = 40\% $
Ответ: 40%.

2) 80;
Найдем, сколько процентов число 40 составляет от числа 80.
$ \frac{40}{80} \cdot 100\% = \frac{1}{2} \cdot 100\% = 0.5 \cdot 100\% = 50\% $
Ответ: 50%.

3) 160;
Найдем, сколько процентов число 40 составляет от числа 160.
$ \frac{40}{160} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 0.25 \cdot 100\% = 25\% $
Ответ: 25%.

4) 10?
Найдем, сколько процентов число 40 составляет от числа 10.
$ \frac{40}{10} \cdot 100\% = 4 \cdot 100\% = 400\% $
Ответ: 400%.

746. 1) Вика прочитала 169 страниц книги, в которой 260 страниц. Сколько процентов страниц книги прочитала Вика?

2) У Маши было 340 р. За 238 р. она купила подарок маме. Какой процент денег истратила Маша на подарок?

3) Найдите процент содержания олова в руде, если 80 т этой руды содержит 6,4 т олова.

4) За каникулы Витя планировал решить 60 задач по математике, а решил 102 задачи. На сколько процентов Витя перевыполнил план по решению задач?

5) Определите процент содержания сахара в растворе, если 250 г раствора содержит 115 г сахара.

1) Чтобы найти, какой процент страниц книги прочитала Вика, нужно разделить количество прочитанных страниц на общее количество страниц в книге и умножить результат на 100%.
$\frac{169}{260} \cdot 100\% = 0,65 \cdot 100\% = 65\%$.
Ответ: 65%.

2) Чтобы найти, какой процент денег Маша истратила, нужно разделить сумму, потраченную на подарок, на общую сумму денег, которая у неё была, и умножить результат на 100%.
$\frac{238}{340} \cdot 100\% = 0,7 \cdot 100\% = 70\%$.
Ответ: 70%.

3) Процент содержания олова в руде — это отношение массы олова к общей массе руды, выраженное в процентах. Для этого разделим массу олова на массу руды и умножим на 100%.
$\frac{6,4}{80} \cdot 100\% = 0,08 \cdot 100\% = 8\%$.
Ответ: 8%.

4) Сначала найдем, на сколько задач Витя решил больше, чем планировал: $102 - 60 = 42$ задачи. Теперь найдем, какой процент эти 42 задачи составляют от первоначального плана (60 задач). Для этого разделим 42 на 60 и умножим на 100%.
$\frac{42}{60} \cdot 100\% = 0,7 \cdot 100\% = 70\%$.
Ответ: 70%.

5) Чтобы определить процент содержания сахара в растворе, нужно разделить массу сахара на общую массу раствора и умножить полученное значение на 100%.
$\frac{115}{250} \cdot 100\% = 0,46 \cdot 100\% = 46\%$.
Ответ: 46%.