Страница 135 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют пропорцией?

Пропорцией называют равенство двух отношений. Если два отношения $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ равны, то равенство $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ называют пропорцией. Это равенство также можно записать в виде $a : b = c : d$.

Читается это так: «$a$ относится к $b$ так же, как $c$ относится к $d$».

В пропорции $a : b = c : d$ (или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$) числа $a$ и $d$ называют крайними членами, а числа $b$ и $c$ — средними членами.

Основное свойство пропорции заключается в том, что произведение её крайних членов равно произведению её средних членов. Для пропорции $a : b = c : d$ это свойство записывается в виде формулы:

$a \cdot d = b \cdot c$

Например, рассмотрим равенство $2 : 5 = 4 : 10$. Это пропорция, так как отношения равны ($2:5=0.4$ и $4:10=0.4$). Проверим основное свойство: произведение крайних членов $2 \cdot 10 = 20$, произведение средних членов $5 \cdot 4 = 20$. Равенство $20 = 20$ верно, значит, это пропорция.

Ответ: Пропорция — это равенство двух отношений.

2. Как в равенстве $m : n = k : p$ называют числа $m$ и $p$; $n$ и $k$?

Равенство $m : n = k : p$ является пропорцией. Пропорция — это равенство двух отношений. Члены пропорции имеют специальные названия в зависимости от их расположения.

m и p
Числа $m$ и $p$ в пропорции $m : n = k : p$ называют крайними членами, так как они находятся по краям записи.
Ответ: крайние члены пропорции.

n и k
Числа $n$ и $k$ в пропорции $m : n = k : p$ называют средними членами, так как они находятся в середине записи, между крайними членами.
Ответ: средние члены пропорции.

3. В чём состоит основное свойство пропорции?

Пропорция представляет собой равенство двух отношений. Её можно записать двумя способами:

1. С помощью знака деления: $a : b = c : d$

2. В виде дробей: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

В обоих случаях пропорция читается как "a относится к b так же, как c относится к d".

Члены пропорции имеют свои названия:

• $a$ и $d$ — крайние члены пропорции.
• $b$ и $c$ — средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции формулируется следующим образом: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Для пропорции, записанной в виде $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ или $a : b = c : d$, основное свойство выражается формулой:

$a \cdot d = b \cdot c$

Это свойство является главным инструментом для решения уравнений, составленных в виде пропорции, и для проверки, является ли данное равенство отношений верной пропорцией.

Пример:

Проверим, является ли равенство $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$ верной пропорцией.

Крайние члены: 3 и 15.
Средние члены: 5 и 9.

Найдём их произведения:

Произведение крайних членов: $3 \cdot 15 = 45$.
Произведение средних членов: $5 \cdot 9 = 45$.

Поскольку произведения равны ($45 = 45$), равенство является верной пропорцией.

Ответ: Основное свойство пропорции состоит в том, что произведение её крайних членов равно произведению её средних членов. Для пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ это записывается как $a \cdot d = b \cdot c$.

1. Найдите отношение:

1) $14 : 7;$

2) $7 : 14;$

3) $0,6 : 0,5;$

4) $0,5 : 0,6;$

5) $4 \text{ м} : 80 \text{ см};$

6) $1,5 \text{ ч} : 40 \text{ мин}.$

1) 14 : 7

Отношение двух чисел — это их частное. Чтобы найти отношение числа 14 к числу 7, необходимо разделить 14 на 7.

$14 : 7 = \frac{14}{7} = 2$

Ответ: 2

2) 7 : 14

Чтобы найти отношение 7 к 14, разделим 7 на 14. Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 7.

$7 : 14 = \frac{7}{14} = \frac{7 \div 7}{14 \div 7} = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: 0,5

3) 0,6 : 0,5

Чтобы найти отношение 0,6 к 0,5, разделим 0,6 на 0,5. Для удобства вычислений можно умножить делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от десятичных знаков.

$0,6 : 0,5 = \frac{0,6}{0,5} = \frac{0,6 \times 10}{0,5 \times 10} = \frac{6}{5} = 1,2$

Ответ: 1,2

4) 0,5 : 0,6

Чтобы найти отношение 0,5 к 0,6, разделим 0,5 на 0,6. Умножим делимое и делитель на 10, чтобы работать с целыми числами.

$0,5 : 0,6 = \frac{0,5}{0,6} = \frac{0,5 \times 10}{0,6 \times 10} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

5) 4 м : 80 см

Для нахождения отношения величин их необходимо выразить в одинаковых единицах измерения. Переведем метры в сантиметры. Поскольку в одном метре 100 сантиметров, то:

$4 \text{ м} = 4 \times 100 \text{ см} = 400 \text{ см}$

Теперь найдем отношение 400 см к 80 см.

$400 : 80 = \frac{400}{80} = \frac{40}{8} = 5$

Ответ: 5

6) 1,5 ч : 40 мин

Для нахождения отношения необходимо выразить обе величины в одинаковых единицах. Переведем часы в минуты. В одном часе 60 минут.

$1,5 \text{ ч} = 1,5 \times 60 \text{ мин} = 90 \text{ мин}$

Теперь найдем отношение 90 минут к 40 минутам.

$90 : 40 = \frac{90}{40} = \frac{9}{4} = 2,25$

Ответ: 2,25

2. Равны ли отношения:

1) $9 : 4.5$ и $21 : 10.5$;

2) $6 : 18$ и $8 : 24$?

1)

Чтобы определить, равны ли отношения $9 : 4,5$ и $21 : 10,5$, необходимо вычислить значение каждого отношения и сравнить результаты. Отношение двух чисел — это их частное.

Найдем значение первого отношения:

$9 : 4,5 = \frac{9}{4,5}$

Для удобства вычисления избавимся от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:

$\frac{9 \cdot 10}{4,5 \cdot 10} = \frac{90}{45} = 2$

Теперь найдем значение второго отношения:

$21 : 10,5 = \frac{21}{10,5}$

Аналогично умножим числитель и знаменатель на 10:

$\frac{21 \cdot 10}{10,5 \cdot 10} = \frac{210}{105} = 2$

Поскольку значения обоих отношений равны ($2 = 2$), то данные отношения равны.

Ответ: да, равны.

2)

Чтобы определить, равны ли отношения $6 : 18$ и $8 : 24$, мы также найдем значение каждого отношения, представив их в виде обыкновенной дроби и сократив ее.

Найдем значение первого отношения:

$6 : 18 = \frac{6}{18}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 6:

$\frac{6 \div 6}{18 \div 6} = \frac{1}{3}$

Теперь найдем значение второго отношения:

$8 : 24 = \frac{8}{24}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 8:

$\frac{8 \div 8}{24 \div 8} = \frac{1}{3}$

Поскольку значения обоих отношений равны ($\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$), то данные отношения равны.

Ответ: да, равны.

3. Сколько получилось пачек творога, если $8\frac{1}{2}$ кг творога расфасовали в пачки по $\frac{1}{4}$ кг?

Чтобы найти количество пачек творога, необходимо общую массу творога разделить на массу творога в одной пачке.
1. Сначала представим общую массу творога, заданную смешанным числом $8 \frac{1}{2}$ кг, в виде неправильной дроби.
$8 \frac{1}{2} = \frac{8 \times 2 + 1}{2} = \frac{16 + 1}{2} = \frac{17}{2}$ кг.
2. Теперь разделим общую массу творога на массу одной пачки, которая равна $\frac{1}{4}$ кг.
$\frac{17}{2} \div \frac{1}{4}$
3. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть перевернуть вторую дробь).
$\frac{17}{2} \times \frac{4}{1} = \frac{17 \times 4}{2 \times 1} = \frac{68}{2}$
4. Вычислим окончательный результат.
$\frac{68}{2} = 34$
Таким образом, получилось 34 пачки творога.
Ответ: 34.

4. Назовите три дроби, каждая из которых равна:

1) $ \frac{1}{3} $;

2) $ \frac{4}{7} $.

1) Чтобы найти три дроби, равные дроби $\frac{1}{3}$, мы можем использовать основное свойство дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же натуральное число. Выберем любые три натуральных числа (кроме 1), например, 2, 3 и 5, и последовательно умножим на них числитель и знаменатель исходной дроби.
1. Умножим на 2: $\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$
2. Умножим на 3: $\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{3}{9}$
3. Умножим на 5: $\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}$
Таким образом, мы нашли три дроби, равные $\frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{6}, \frac{3}{9}, \frac{5}{15}$.

2) Аналогично поступим с дробью $\frac{4}{7}$. Умножим ее числитель и знаменатель на три разных натуральных числа, например, 2, 3 и 10.
1. Умножим на 2: $\frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{8}{14}$
2. Умножим на 3: $\frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{12}{21}$
3. Умножим на 10: $\frac{4 \cdot 10}{7 \cdot 10} = \frac{40}{70}$
Таким образом, мы нашли три дроби, равные $\frac{4}{7}$.
Ответ: $\frac{8}{14}, \frac{12}{21}, \frac{40}{70}$.

5. Турист прошёл половину всего пути и ещё 3 км. После этого ему осталось пройти 2 км. Сколько всего километров должен был пройти турист?

Эту задачу можно решить двумя способами: логическим (рассуждая "с конца") и алгебраическим (составив уравнение).

Способ 1: Логическое решение

1. Начнем рассуждение с конца. Из условия мы знаем, что туристу осталось пройти 2 км.

2. Это произошло после того, как он прошёл 3 км. Значит, до того, как он прошёл эти 3 км, оставшаяся часть пути составляла:
$2 \text{ км} + 3 \text{ км} = 5 \text{ км}$.

3. Эти 5 км являются второй половиной всего пути, так как в самом начале турист прошёл ровно первую половину.

4. Если одна половина пути равна 5 км, то весь путь в два раза длиннее:
$5 \text{ км} \times 2 = 10 \text{ км}$.

Ответ: 10 км.

Способ 2: Алгебраическое решение

1. Пусть $x$ — это общая длина всего пути в километрах.

2. Турист прошёл половину пути ($\frac{x}{2}$) и еще 3 км. Таким образом, пройденное им расстояние равно $(\frac{x}{2} + 3)$ км.

3. После этого ему осталось пройти 2 км.

4. Весь путь ($x$) состоит из пройденной части и оставшейся части. Составим уравнение, сложив пройденное и оставшееся расстояние:
$(\frac{x}{2} + 3) + 2 = x$

5. Теперь решим это уравнение:
$\frac{x}{2} + 5 = x$
Перенесём $\frac{x}{2}$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$5 = x - \frac{x}{2}$
$5 = \frac{x}{2}$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на 2:
$x = 5 \times 2$
$x = 10$

Следовательно, общая длина пути составляет 10 км.

Ответ: 10 км.

706. Прочитайте пропорцию, назовите её крайние и средние члены:

1) $5 : 3 = 20 : 12$;

2) $13 : 4 = 39 : 12$;

3) $\frac{18}{63} = \frac{16}{56}$;

4) $\frac{16}{12} = \frac{68}{51}$;

5) $x : 9 = 2 : 23$;

6) $\frac{8}{y} = \frac{64}{15}$.

Пропорция – это равенство двух отношений. В общем виде пропорцию $a : b = c : d$ или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ читают так: «отношение a к b равно отношению c к d» или «a так относится к b, как c относится к d».
Члены пропорции, стоящие по краям (в записи $a : b = c : d$ это a и d), называются крайними членами.
Члены пропорции, находящиеся в середине (в записи $a : b = c : d$ это b и c), называются средними членами.

1) $5 : 3 = 20 : 12$

Пропорция читается: «пять так относится к трём, как двадцать относится к двенадцати».
Крайние члены пропорции — это первое и последнее числа: 5 и 12.
Средние члены пропорции — это числа между ними: 3 и 20.
Ответ: крайние члены — 5 и 12; средние члены — 3 и 20.

2) $13 : 4 = 39 : 12$

Пропорция читается: «тринадцать так относится к четырём, как тридцать девять относится к двенадцати».
Крайние члены пропорции — это 13 и 12.
Средние члены пропорции — это 4 и 39.
Ответ: крайние члены — 13 и 12; средние члены — 4 и 39.

3) $\frac{18}{63} = \frac{16}{56}$

Эту пропорцию можно записать в виде $18 : 63 = 16 : 56$.
Пропорция читается: «отношение восемнадцати к шестидесяти трём равно отношению шестнадцати к пятидесяти шести».
Крайние члены пропорции (числитель первой дроби и знаменатель второй) — это 18 и 56.
Средние члены пропорции (знаменатель первой дроби и числитель второй) — это 63 и 16.
Ответ: крайние члены — 18 и 56; средние члены — 63 и 16.

4) $\frac{16}{12} = \frac{68}{51}$

Эту пропорцию можно записать в виде $16 : 12 = 68 : 51$.
Пропорция читается: «отношение шестнадцати к двенадцати равно отношению шестидесяти восьми к пятидесяти одному».
Крайние члены пропорции — это 16 и 51.
Средние члены пропорции — это 12 и 68.
Ответ: крайние члены — 16 и 51; средние члены — 12 и 68.

5) $x : 9 = 2 : 23$

Пропорция читается: «икс так относится к девяти, как два относится к двадцати трём».
Крайние члены пропорции — это $x$ и 23.
Средние члены пропорции — это 9 и 2.
Ответ: крайние члены — $x$ и 23; средние члены — 9 и 2.

6) $\frac{8}{y} = \frac{64}{15}$

Эту пропорцию можно записать в виде $8 : y = 64 : 15$.
Пропорция читается: «отношение восьми к игрек равно отношению шестидесяти четырёх к пятнадцати».
Крайние члены пропорции — это 8 и 15.
Средние члены пропорции — это $y$ и 64.
Ответ: крайние члены — 8 и 15; средние члены — $y$ и 64.