Страница 128 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют отношением двух чисел?

1.

Отношением двух чисел называют их частное. Это результат деления первого числа на второе. Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого.

Если есть два числа, $a$ и $b$, то их отношение можно записать несколькими способами:

• С помощью знака деления (двоеточия): $a : b$
• В виде дроби: $\frac{a}{b}$

В обоих случаях это читается как "отношение $a$ к $b$".

Числа, составляющие отношение, имеют свои названия:

• $a$ – предыдущий член отношения (делимое).
• $b$ – последующий член отношения (делитель).

Важным условием является то, что последующий член отношения не может быть равен нулю, то есть $b \neq 0$, так как на ноль делить нельзя.

Пример 1:

Найти отношение числа 15 к числу 3.

Записываем отношение: $15 : 3$ или $\frac{15}{3}$.

Вычисляем частное: $15 : 3 = 5$.

Это означает, что число 15 в 5 раз больше числа 3.

Пример 2:

Найти отношение числа 4 к числу 20.

Записываем отношение: $4 : 20$ или $\frac{4}{20}$.

Вычисляем частное, сократив дробь: $\frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0,2$.

Это означает, что число 4 составляет $\frac{1}{5}$ (или 0,2) от числа 20.

Ответ: Отношением двух чисел называют частное от деления первого числа на второе.

2. Как можно записать отношение чисел $a$ и $b$?

Отношение двух чисел a и b — это частное от деления числа a на число b. Оно показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго. Существует несколько способов записи этого отношения:

1. С помощью двоеточия
Это самый распространенный способ записи отношения в математике. Отношение числа a к числу b записывается как $a : b$. Например, отношение числа 15 к 5 будет записано как $15 : 5$.

2. В виде дроби
Отношение можно представить в виде обыкновенной дроби, где делимое a является числителем, а делитель b — знаменателем. Эта форма записи особенно удобна для вычислений.
Запись выглядит так: $\frac{a}{b}$.
Важно помнить, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, то есть $b \neq 0$.
Например, отношение 15 к 5 можно записать как дробь $\frac{15}{5}$.

3. С помощью знака деления
Поскольку отношение по определению является частным, его можно записать и с помощью обычного знака деления (÷).
Запись: $a \div b$.
Например, $15 \div 5$.

Все три формы записи — $a : b$, $\frac{a}{b}$ и $a \div b$ — эквивалентны и выражают одну и ту же математическую операцию.

Ответ: Отношение чисел a и b можно записать с помощью знака двоеточия ($a : b$), в виде дроби ($\frac{a}{b}$), или с помощью знака деления ($a \div b$).

3. Назовите в отношении $m : n$ последующий и предыдущий члены.

В математическом отношении, записанном в виде $m : n$, различают два члена, названия которых зависят от их позиции:

Предыдущий член

Первый член отношения, который стоит перед знаком деления (двоеточием), называется предыдущим членом. В отношении $m : n$ предыдущим членом является $m$.

Ответ: предыдущий член — $m$.

Последующий член

Второй член отношения, который стоит после знака деления, называется последующим членом. В отношении $m : n$ последующим членом является $n$.

Ответ: последующий член — $n$.

4. В чём состоит основное свойство отношения?

Основное свойство отношения заключается в том, что его значение не изменится, если оба его члена (делимое и делитель) умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Это свойство аналогично основному свойству дроби, поскольку отношение двух чисел по своей сути является частным от их деления.

В математической форме это свойство можно выразить следующим образом. Для любого отношения $a:b$ и любого числа $k$, где $b \neq 0$ и $k \neq 0$, справедливы следующие равенства:

$a : b = (a \cdot k) : (b \cdot k)$

$a : b = (a \div k) : (b \div k)$

Если представить отношение в виде дроби, то свойство будет выглядеть так: $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}$.

Например, рассмотрим отношение $12:18$. Мы можем упростить это отношение, разделив оба его члена на их наибольший общий делитель, который равен 6:

$(12 \div 6) : (18 \div 6) = 2:3$

Таким образом, отношение $12:18$ равно отношению $2:3$. С другой стороны, если мы умножим оба члена отношения $2:3$ на какое-либо число, например на 4, мы получим равное ему отношение:

$(2 \cdot 4) : (3 \cdot 4) = 8:12$

Все эти отношения — $12:18$, $2:3$ и $8:12$ — равны между собой, так как их значение одно и то же (приблизительно $0.667$).

Ответ: Основное свойство отношения состоит в том, что его значение не меняется, если оба его члена умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

5. Что показывает отношение двух чисел?

Отношение двух чисел — это частное от деления одного числа на другое. Отношение числа $a$ к числу $b$ записывают как $a : b$ или в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $b \ne 0$.

Отношение показывает два основных аспекта сравнения чисел:

1. Во сколько раз одно число больше другого.
Это происходит, когда первое число (делимое) больше второго (делителя), и их отношение, соответственно, больше единицы.
Например, отношение 20 к 4 равно $20 : 4 = 5$. Это означает, что число 20 в 5 раз больше числа 4.

2. Какую часть одно число составляет от другого.
Это происходит, когда первое число меньше второго, и их отношение меньше единицы.
Например, отношение 3 к 12 равно $3 : 12 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25$. Это означает, что число 3 составляет одну четвертую часть (или 0.25) от числа 12.

Таким образом, отношение — это инструмент для количественного сравнения двух величин, который позволяет понять их взаимосвязь через деление.

Ответ: Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого.

6. Какие вы знаете величины, являющиеся отношением двух других величин?

Многие физические, экономические и математические величины представляют собой отношение двух других величин. Это означает, что для их нахождения необходимо одну величину разделить на другую. Вот несколько примеров:

• Скорость

  Это величина, которая показывает, какое расстояние (путь) проходит объект за единицу времени. Она является отношением пройденного пути ко времени движения.
  Формула: $v = \frac{S}{t}$, где $v$ — скорость, $S$ — пройденный путь, $t$ — время.

• Плотность

  Это физическая величина, равная отношению массы тела к его объему. Она показывает, какая масса вещества содержится в единице объема.
  Формула: $\rho = \frac{m}{V}$, где $\rho$ — плотность, $m$ — масса, $V$ — объем.

• Давление

  Это величина, равная отношению силы, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности. Она показывает, какая сила приходится на единицу площади.
  Формула: $p = \frac{F}{A}$, где $p$ — давление, $F$ — сила, $A$ — площадь поверхности.

• Цена

  Это отношение стоимости товара к его количеству (массе, объему, числу штук). Цена показывает, сколько стоит одна единица товара.
  Формула: $Цена = \frac{Стоимость}{Количество}$.

• Производительность

  Это величина, показывающая, какой объем работы выполняется за единицу времени. Она является отношением всей выполненной работы ко времени, за которое она была сделана.
  Формула: $Производительность = \frac{Работа}{Время}$.

• Масштаб

  Это отношение длины отрезка на карте, плане или чертеже к длине соответствующего отрезка в реальности. Масштаб показывает, во сколько раз изображение меньше реального объекта.
  Формула: $Масштаб = \frac{Длина\ на\ карте}{Длина\ на\ местности}$.

Ответ: Примерами величин, являющихся отношением двух других, являются скорость (путь/время), плотность (масса/объем), давление (сила/площадь), цена (стоимость/количество), производительность (работа/время), масштаб и другие.

7. Объясните, что такое масштаб.

Определение масштаба

Масштаб — это отношение длины отрезка на карте, плане, чертеже или модели к его действительной длине на местности или в реальности. Он показывает, во сколько раз изображение объекта уменьшено или увеличено по сравнению с его реальными размерами. Масштаб является ключевым элементом для правильного чтения и использования карт, чертежей и планов.

Виды представления масштаба

Масштаб может быть представлен в нескольких формах:

• Численный масштаб: Записывается в виде дроби, чаще всего с числителем, равным единице. Например, $1:100\,000$. Это означает, что 1 единица длины на карте (например, 1 см) соответствует $100\,000$ таким же единицам на местности. То есть, 1 см на карте равен $100\,000$ см (или 1 км) в реальности.
• Именованный (или словесный) масштаб: Выражает соотношение словами. Например, "в 1 сантиметре 100 метров". Этот вид масштаба удобен для быстрых расчетов и является словесным выражением численного масштаба (например, масштаб $1:10000$ соответствует именованному "в 1 см - 100 м").
• Графический масштаб: Представляет собой линейку или отрезок, разделенный на равные части (деления). У каждого деления подписано соответствующее ему расстояние на местности. Этот вид масштаба удобен тем, что сохраняет свою точность при изменении размеров карты (например, при копировании с увеличением или уменьшением).

Типы масштабов по назначению

В зависимости от цели, масштабы делятся на три основных типа:

• Масштаб уменьшения: Используется, когда реальный объект слишком велик для изображения в натуральную величину (например, при создании географических карт, планов зданий). В этом случае знаменатель в численной записи масштаба больше единицы (например, $1:50$, $1:1\,000\,000$).
• Натуральный масштаб (масштаб 1 к 1): Используется, когда размеры объекта позволяют изобразить его в реальную величину. Записывается как $1:1$.
• Масштаб увеличения: Используется для изображения очень маленьких объектов, которые трудно рассмотреть невооруженным глазом (например, детали часового механизма, клетки микроорганизмов). В этом случае числитель в численной записи масштаба больше единицы (например, $2:1$, $100:1$). Это означает, что 2 см на чертеже соответствуют 1 см в реальности.

Пример использования

Допустим, на карте с масштабом $1:50\,000$ расстояние между двумя городами составляет 4 см. Чтобы найти реальное расстояние, нужно умножить расстояние на карте на знаменатель масштаба:
$4 \text{ см} \times 50\,000 = 200\,000 \text{ см}$
Переведем сантиметры в более крупные единицы:
$200\,000 \text{ см} = 2\,000 \text{ м} = 2 \text{ км}$.
Таким образом, реальное расстояние между городами составляет 2 км.

Ответ: Масштаб — это число, показывающее, во сколько раз линейные размеры объекта на изображении (карте, чертеже) отличаются от его реальных размеров. Он выражается как отношение длины отрезка на изображении к его фактической длине и может быть представлен численно (например, 1:1000), именованно (в 1 см - 10 м) или графически.

1. Чему равно частное чисел:

1) 54 и 6;

2) 0,4 и 5;

3) $ \frac{3}{14} $ и $ \frac{2}{7} $;

4) 6 и 9;

5) 8 и 11;

6) 3 и $ \frac{1}{3} $?

1) Частное чисел 54 и 6 находится путем деления 54 на 6.

$54 \div 6 = 9$

Ответ: 9

2) Частное чисел 0,4 и 5 находится путем деления 0,4 на 5.

$0,4 \div 5 = 0,08$

Ответ: 0,08

3) Частное чисел $\frac{3}{14}$ и $\frac{2}{7}$ находится путем деления первой дроби на вторую. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$\frac{3}{14} \div \frac{2}{7} = \frac{3}{14} \cdot \frac{7}{2} = \frac{3 \cdot 7}{14 \cdot 2} = \frac{21}{28}$

Сократим полученную дробь на 7:

$\frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

4) Частное чисел 6 и 9 находится путем деления 6 на 9. Результат можно записать в виде дроби.

$6 \div 9 = \frac{6}{9}$

Сократим дробь на 3:

$\frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

5) Частное чисел 8 и 11 находится путем деления 8 на 11. Результат записывается в виде несократимой дроби.

$8 \div 11 = \frac{8}{11}$

Ответ: $\frac{8}{11}$

6) Частное чисел 3 и $\frac{1}{3}$ находится путем деления 3 на $\frac{1}{3}$. Чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную данной.

$3 \div \frac{1}{3} = 3 \cdot \frac{3}{1} = 9$

Ответ: 9

2. Во сколько раз:

1) 24 больше, чем 3;

2) 0,2 меньше, чем 1,8?

1) Чтобы определить, во сколько раз число 24 больше, чем 3, необходимо разделить большее число на меньшее. Выполним деление:

$24 \div 3 = 8$

Таким образом, число 24 больше числа 3 в 8 раз.

Ответ: 8.

2) Чтобы выяснить, во сколько раз число 0,2 меньше, чем 1,8, нужно разделить большее число (1,8) на меньшее (0,2). Выполним деление десятичных дробей:

$1,8 \div 0,2$

Для удобства вычисления можно умножить делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от запятой в делителе:

$1,8 \div 0,2 = (1,8 \times 10) \div (0,2 \times 10) = 18 \div 2 = 9$

Следовательно, число 0,2 меньше числа 1,8 в 9 раз.

Ответ: 9.

3. Какую часть:

1) число 7 составляет от числа 21;

2) число 0,3 составляет от числа 6?

1) Чтобы определить, какую часть одно число составляет от другого, необходимо первое число разделить на второе. В данном случае нужно разделить 7 на 21.
Запишем это в виде дроби:
$ \frac{7}{21} $
Теперь сократим полученную дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на их общий делитель, равный 7:
$ \frac{7 \div 7}{21 \div 7} = \frac{1}{3} $
Следовательно, число 7 составляет $ \frac{1}{3} $ от числа 21.
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

2) Аналогично первому пункту, разделим 0,3 на 6:
$ \frac{0,3}{6} $
Чтобы упростить вычисления, избавимся от десятичной дроби в числителе. Для этого умножим и числитель, и знаменатель на 10:
$ \frac{0,3 \cdot 10}{6 \cdot 10} = \frac{3}{60} $
Теперь сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на их общий делитель, равный 3:
$ \frac{3 \div 3}{60 \div 3} = \frac{1}{20} $
Таким образом, число 0,3 составляет $ \frac{1}{20} $ от числа 6.
Ответ: $ \frac{1}{20} $.

4. Замените дробь $\frac{3}{5}$ равной ей дробью:

1) со знаменателем 10, 15, 45;

2) с числителем 12, 15, 36.

Чтобы найти дробь, равную данной, нужно умножить ее числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число (основное свойство дроби). Исходная дробь: $ \frac{3}{5} $.

1) со знаменателем 10, 15, 45

Чтобы привести дробь $ \frac{3}{5} $ к знаменателю 10, найдем дополнительный множитель. Для этого новый знаменатель разделим на исходный: $ 10 \div 5 = 2 $. Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель:

$ \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} $

Чтобы привести дробь к знаменателю 15, найдем дополнительный множитель: $ 15 \div 5 = 3 $. Умножим числитель и знаменатель на 3:

$ \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15} $

Чтобы привести дробь к знаменателю 45, найдем дополнительный множитель: $ 45 \div 5 = 9 $. Умножим числитель и знаменатель на 9:

$ \frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{27}{45} $

Ответ: $ \frac{6}{10}, \frac{9}{15}, \frac{27}{45} $.

2) с числителем 12, 15, 36

Чтобы получить дробь с числителем 12, найдем дополнительный множитель. Для этого новый числитель разделим на исходный: $ 12 \div 3 = 4 $. Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель:

$ \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20} $

Чтобы получить дробь с числителем 15, найдем дополнительный множитель: $ 15 \div 3 = 5 $. Умножим числитель и знаменатель на 5:

$ \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{15}{25} $

Чтобы получить дробь с числителем 36, найдем дополнительный множитель: $ 36 \div 3 = 12 $. Умножим числитель и знаменатель на 12:

$ \frac{3 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{36}{60} $

Ответ: $ \frac{12}{20}, \frac{15}{25}, \frac{36}{60} $.

669. Используя слово «отношение», прочитайте выражение:

1) $9 : 4$;

2) $\frac{3}{7}$;

3) $1 : 10$;

4) $\frac{1}{5}$.

1) Выражение $9 : 4$ представляет собой запись отношения двух чисел: 9 и 4. В математике такая запись читается с использованием слова «отношение». Первое число (делимое) ставится в родительный падеж, а второе (делитель) — в дательный падеж. Таким образом, выражение читается как «отношение девяти к четырём».

Ответ: Отношение девяти к четырём.

2) Выражение в виде дроби $\frac{3}{7}$ также является формой записи отношения. Числитель дроби (3) — это первый член отношения, а знаменатель (7) — второй. Читается такое выражение аналогично предыдущему: «отношение трёх к семи».

Ответ: Отношение трёх к семи.

3) Выражение $1 : 10$ — это запись отношения числа 1 к числу 10. Оно читается как «отношение одного к десяти». Такие отношения часто используются для обозначения масштаба на картах и чертежах, где они показывают соотношение размера на изображении к реальному размеру.

Ответ: Отношение одного к десяти.

4) Дробь $\frac{1}{5}$ является записью отношения числа 1 к числу 5. Она показывает, какую часть составляет первое число от второго. Используя требуемое слово, это выражение читается как «отношение одного к пяти».

Ответ: Отношение одного к пяти.