Страница 152 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие две величины называют прямо пропорциональными?

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Это означает, что отношение таких величин всегда постоянно. Если обозначить две прямо пропорциональные величины как $y$ и $x$, то их зависимость можно выразить формулой:

$y = kx$

где $k$ – это постоянное, не равное нулю число, которое называют коэффициентом пропорциональности. Из этой формулы следует, что отношение величин постоянно:

$\frac{y}{x} = k$

Пример:

Пройденный путь и время движения при постоянной скорости. Если автомобиль едет со скоростью 60 км/ч, то пройденный им путь ($S$) прямо пропорционален времени движения ($t$). Здесь скорость является коэффициентом пропорциональности, $k = 60$.

За 1 час автомобиль проедет 60 км.
За 2 часа он проедет $60 \cdot 2 = 120$ км (время увеличилось в 2 раза, и путь увеличился в 2 раза).
За 3 часа он проедет $60 \cdot 3 = 180$ км (время увеличилось в 3 раза, и путь увеличился в 3 раза).

Ответ: Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Их зависимость выражается формулой $y=kx$, где $k$ - коэффициент пропорциональности.

2. Чем характерно отношение соответствующих значений прямо пропорциональных величин?

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Такую зависимость между величинами $y$ и $x$ можно выразить формулой $y = kx$, где $k$ – постоянное, не равное нулю число, которое называют коэффициентом пропорциональности.

Основная характеристика отношения таких величин вытекает из этой формулы. Если разделить обе части равенства $y = kx$ на $x$ (при условии, что $x \neq 0$), мы получим:

$\frac{y}{x} = k$

Это означает, что отношение любого значения одной величины ($y$) к соответствующему ему значению другой величины ($x$) всегда одно и то же. Это отношение равно постоянному числу — коэффициенту пропорциональности $k$.

Например, если автомобиль движется с постоянной скоростью, то пройденный им путь ($S$) прямо пропорционален времени движения ($t$). Пусть за 2 часа автомобиль проехал 180 км, а за 3 часа — 270 км. Найдем отношение пути ко времени для каждого случая:

• $\frac{180 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 90 \text{ км/ч}$
• $\frac{270 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 90 \text{ км/ч}$

Как мы видим, отношение остается постоянным и равным 90. Это и есть скорость автомобиля (коэффициент пропорциональности).

Ответ: Отношение соответствующих значений прямо пропорциональных величин является постоянным числом (константой). Это число называется коэффициентом пропорциональности.

3. Какие две величины называют обратно пропорциональными?

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая величина уменьшается (или увеличивается) во столько же раз. Иными словами, во сколько раз изменяется одна величина, во столько же раз в обратную сторону изменяется другая.

Если величина $y$ обратно пропорциональна величине $x$, то их зависимость можно выразить математической формулой:

$y = \frac{k}{x}$

где $x > 0$, а $k$ — это постоянное положительное число, которое называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Главное свойство обратно пропорциональных величин заключается в том, что их произведение всегда является постоянной величиной, равной коэффициенту пропорциональности $k$:

$x \cdot y = k$

Приведем несколько примеров из жизни:

• Скорость и время движения. При прохождении одного и того же расстояния, скорость и время находятся в обратной пропорциональности. Чем выше скорость, тем меньше времени потребуется на путь. Например, если расстояние между двумя городами 480 км, то при скорости 60 км/ч поездка займет 8 часов ($480 = 60 \cdot 8$), а при скорости 120 км/ч — всего 4 часа ($480 = 120 \cdot 4$). Произведение скорости и времени постоянно и равно расстоянию.
• Количество рабочих и время выполнения работы. При выполнении фиксированного объема работы, количество рабочих (с одинаковой производительностью) и время работы обратно пропорциональны. Чем больше людей выполняет задачу, тем быстрее они с ней справятся. Например, если 3 рабочих строят стену за 12 дней, то 9 рабочих (в 3 раза больше) построят ту же стену за 4 дня (в 3 раза быстрее).
• Цена товара и его количество. На определенную сумму денег, цена товара и количество единиц этого товара, которое можно купить, являются обратно пропорциональными величинами. Чем дороже товар, тем меньше его можно купить на ту же сумму. Например, на 200 рублей можно купить 4 кг яблок по 50 рублей за кг, или 2 кг яблок, если их цена вырастет до 100 рублей за кг.

Ответ: Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз, и наоборот. Их зависимость описывается формулой $y = \frac{k}{x}$, а их произведение $x \cdot y$ всегда является постоянным числом.

4. Чем характерно произведение соответствующих значений обратно пропорциональных величин?

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз, и наоборот. Математически такая зависимость выражается формулой:

$y = \frac{k}{x}$

где $x$ и $y$ — это соответствующие значения обратно пропорциональных величин, а $k$ — постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности ($k \ne 0$).

Чтобы определить, чем характерно произведение соответствующих значений ($x$ и $y$), выразим $k$ из этой формулы. Для этого умножим обе части равенства на $x$:

$y \cdot x = \frac{k}{x} \cdot x$

$x \cdot y = k$

Это означает, что для любой пары соответствующих значений обратно пропорциональных величин их произведение всегда будет равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности $k$.

Например, если скорость автомобиля ($v$) увеличить в 2 раза, то время ($t$), затраченное на прохождение того же пути ($S$), уменьшится в 2 раза. Здесь скорость и время — обратно пропорциональные величины, а их произведение всегда постоянно и равно пройденному пути: $v \cdot t = S$. Если $S = 120$ км, то возможны следующие пары значений:

• Если $v_1 = 60$ км/ч, то $t_1 = 2$ ч. Произведение: $60 \cdot 2 = 120$.
• Если $v_2 = 40$ км/ч, то $t_2 = 3$ ч. Произведение: $40 \cdot 3 = 120$.
• Если $v_3 = 120$ км/ч, то $t_3 = 1$ ч. Произведение: $120 \cdot 1 = 120$.

Как видно из примера, произведение соответствующих значений ($v$ и $t$) всегда постоянно и равно 120.

Ответ: Произведение соответствующих значений обратно пропорциональных величин является постоянной величиной (константой).

1. Найдите значение выражения $7\frac{1}{2} : a$, если $a = \frac{1}{2}; 3; 2,5.$

Для нахождения значения выражения $7\frac{1}{2} : a$ подставим в него поочередно каждое из заданных значений переменной a.

Для удобства вычислений преобразуем смешанное число $7\frac{1}{2}$ в неправильную дробь:

$7\frac{1}{2} = \frac{7 \times 2 + 1}{2} = \frac{15}{2}$

В виде десятичной дроби это число равно 7,5.

a = $\frac{1}{2}$

Подставим значение $a = \frac{1}{2}$ в выражение:

$7\frac{1}{2} : \frac{1}{2} = \frac{15}{2} : \frac{1}{2}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{15}{2} \cdot \frac{2}{1} = \frac{15 \cdot 2}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$

Ответ: 15

a = 3

Подставим значение $a = 3$ в выражение:

$7\frac{1}{2} : 3 = \frac{15}{2} : 3$

Представим число 3 в виде дроби $\frac{3}{1}$ и выполним деление:

$\frac{15}{2} : \frac{3}{1} = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{15 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{15}{6}$

Сократим полученную дробь на 3:

$\frac{15 : 3}{6 : 3} = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: 2,5

a = 2,5

Подставим значение $a = 2,5$ в выражение.

Проще всего выполнить вычисления, используя десятичные дроби:

$7\frac{1}{2} = 7,5$

$7,5 : 2,5 = 3$

Также можно выполнить вычисления с помощью обыкновенных дробей, представив $2,5$ как $\frac{5}{2}$:

$7\frac{1}{2} : 2,5 = \frac{15}{2} : \frac{5}{2} = \frac{15}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{15 \cdot 2}{2 \cdot 5} = \frac{15}{5} = 3$

Ответ: 3

2. Какую часть числа 8 составляет число 2? Сколько процентов числа 8 составляет число 2?

Какую часть числа 8 составляет число 2?

Чтобы найти, какую часть одно число составляет от другого, нужно разделить число, являющееся частью (в данном случае 2), на число, являющееся целым (в данном случае 8). Результат записывается в виде дроби.

Составим дробь: $\frac{2}{8}$.

Эту дробь можно сократить. Для этого найдем наибольший общий делитель числителя (2) и знаменателя (8). Он равен 2. Разделим числитель и знаменатель на 2:

$\frac{2 \div 2}{8 \div 2} = \frac{1}{4}$

Таким образом, число 2 составляет $\frac{1}{4}$ часть от числа 8.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

Сколько процентов числа 8 составляет число 2?

Чтобы выразить часть в процентах, необходимо полученное отношение (дробь) умножить на 100%.

Мы уже выяснили, что число 2 составляет $\frac{1}{4}$ от числа 8. Теперь переведем эту дробь в проценты.

$\frac{1}{4} \times 100\% = \frac{100}{4}\% = 25\%$

Другой способ — сначала представить дробь в виде десятичного числа, а затем умножить на 100%.

$\frac{2}{8} = 0.25$

$0.25 \times 100\% = 25\%$

Следовательно, число 2 составляет 25% от числа 8.

Ответ: 25%.

3. Сколько процентов число 10 составляет от числа, являющегося его:

1) квадратом;

2) кубом?

1) Чтобы найти, сколько процентов число 10 составляет от числа, являющегося его квадратом, необходимо сначала вычислить это число. Квадрат числа 10 — это $10^2$.
$10^2 = 10 \cdot 10 = 100$.
Теперь нам нужно найти, сколько процентов составляет число 10 от числа 100. Для этого можно составить пропорцию, где 100 — это $100\%$, а 10 — это $x\%$.
$\frac{10}{100} = \frac{x}{100}$
Отсюда $x = \frac{10 \cdot 100}{100} = 10\%$.
Также можно воспользоваться формулой для нахождения процентного соотношения: $(\frac{\text{часть}}{\text{целое}}) \cdot 100\%$.
$(\frac{10}{100}) \cdot 100\% = 0.1 \cdot 100\% = 10\%$.
Ответ: 10%.

2) Чтобы найти, сколько процентов число 10 составляет от числа, являющегося его кубом, необходимо сначала вычислить это число. Куб числа 10 — это $10^3$.
$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.
Теперь найдем, сколько процентов составляет число 10 от числа 1000. Составим пропорцию: 1000 — это $100\%$, а 10 — это $y\%$.
$\frac{10}{1000} = \frac{y}{100}$
Отсюда $y = \frac{10 \cdot 100}{1000} = \frac{1000}{1000} = 1\%$.
Используя формулу:
$(\frac{10}{1000}) \cdot 100\% = 0.01 \cdot 100\% = 1\%$.
Ответ: 1%.

4. Разложение какого числа на простые множители имеет вид:

1) $2^3 \cdot 5$;

2) $2 \cdot 3 \cdot 5^2$?

Чтобы найти число по его разложению на простые множители, необходимо вычислить произведение этих множителей.

1) Найдём число, разложение которого на простые множители имеет вид $2^3 \cdot 5$.

Для этого нужно вычислить значение данного выражения. Сначала возводим в степень, а затем выполняем умножение:

$2^3 \cdot 5 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot 5 = 8 \cdot 5 = 40$

Таким образом, искомое число равно 40.

Ответ: 40

2) Найдём число, разложение которого на простые множители имеет вид $2 \cdot 3 \cdot 5^2$.

Для этого нужно вычислить значение данного выражения. Сначала возводим в степень, а затем перемножаем все множители:

$2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 2 \cdot 3 \cdot (5 \cdot 5) = 6 \cdot 25 = 150$

Таким образом, искомое число равно 150.

Ответ: 150