Страница 157 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Масса 10 $\text{см}^3$ железа равна 78 г. Найдите массу 5 $\text{см}^3$ железа.

1.

Для решения этой задачи можно использовать несколько подходов, так как масса вещества при постоянной плотности прямо пропорциональна его объему.

Способ 1: Использование пропорции

Обозначим известные и искомые величины:
Масса первого образца железа $m_1 = 78$ г.
Объем первого образца железа $V_1 = 10$ см³.
Объем второго образца железа $V_2 = 5$ см³.
Масса второго образца железа $m_2$ — неизвестна.

Составим пропорцию, исходя из того, что отношение массы к объему (плотность) постоянно:
$\frac{m_1}{V_1} = \frac{m_2}{V_2}$

Подставим известные значения в эту формулу:
$\frac{78}{10} = \frac{m_2}{5}$

Выразим из пропорции искомую массу $m_2$:
$m_2 = \frac{78 \cdot 5}{10}$
$m_2 = \frac{390}{10}$
$m_2 = 39$ г.

Способ 2: Логический

Можно заметить, что объем второго образца железа ($5$ см³) в два раза меньше объема первого образца ($10$ см³):
$10 \text{ см³} \div 5 \text{ см³} = 2$

Поскольку масса прямо пропорциональна объему, масса второго образца также должна быть в два раза меньше массы первого:
$m_2 = 78 \text{ г} \div 2 = 39 \text{ г}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: 39 г.

2. Из 100 кг сахарной свёклы можно получить 7 кг сахара. Сколько надо килограммов свёклы, чтобы получить:
1) 28 кг сахара;
2) 3,5 кг сахара?

Для решения этой задачи можно использовать метод пропорции. Мы знаем, что из 100 кг сахарной свёклы получается 7 кг сахара. Это соотношение является постоянным.

1) Чтобы найти, сколько килограммов свёклы (обозначим это как $x$) нужно для получения 28 кг сахара, составим пропорцию:

$\frac{100 \text{ кг свёклы}}{7 \text{ кг сахара}} = \frac{x \text{ кг свёклы}}{28 \text{ кг сахара}}$

Чтобы найти $x$, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член:

$x = \frac{100 \times 28}{7}$

Сначала можно сократить дробь: $28 \div 7 = 4$.

$x = 100 \times 4 = 400$ кг.

Таким образом, для получения 28 кг сахара потребуется 400 кг сахарной свёклы.

Ответ: 400 кг свёклы.

2) Аналогично найдем, сколько килограммов свёклы (обозначим это как $y$) нужно для получения 3,5 кг сахара. Составим такую же пропорцию:

$\frac{100 \text{ кг свёклы}}{7 \text{ кг сахара}} = \frac{y \text{ кг свёклы}}{3,5 \text{ кг сахара}}$

Выразим $y$ из этой пропорции:

$y = \frac{100 \times 3,5}{7}$

Сначала разделим 3,5 на 7: $3,5 \div 7 = 0,5$.

$y = 100 \times 0,5 = 50$ кг.

Следовательно, для получения 3,5 кг сахара потребуется 50 кг сахарной свёклы.

Ответ: 50 кг свёклы.

3. Замените данное отношение отношением натуральных чисел:

1) $2 : \frac{4}{7}$;

2) $\frac{5}{8} : \frac{3}{4}$;

3) $3\frac{1}{3} : 1\frac{1}{9}$.

4. Смешали 6 кг воды и 4 кг соли. Найдите процентное содержание соли в растворе.

Чтобы найти процентное содержание соли в растворе, нужно вычислить отношение массы соли к общей массе раствора и умножить его на 100%.

1. Сначала найдем общую массу раствора, сложив массу воды и массу соли:

$m_{раствора} = m_{воды} + m_{соли}$

$m_{раствора} = 6 \text{ кг} + 4 \text{ кг} = 10 \text{ кг}$

2. Теперь рассчитаем процентное содержание соли в полученном растворе. Для этого массу соли разделим на общую массу раствора и умножим на 100%.

Процентное содержание соли = $\frac{m_{соли}}{m_{раствора}} \times 100\%$

Процентное содержание соли = $\frac{4}{10} \times 100\% = 0.4 \times 100\% = 40\%$

Ответ: 40%.