Страница 159 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

813. Трое штукатуров работали с одинаковой производительностью труда и получили за выполненную работу 8000 р. Сколько рублей получил каждый штукатур, если первый из них работал 16 ч, второй – 24 ч, а третий – 40 ч?

Поскольку производительность труда у всех штукатуров одинаковая, их заработок прямо пропорционален отработанному времени. Для решения задачи необходимо сначала найти стоимость одного часа работы, а затем рассчитать заработок каждого работника.

1. Найдём общее время работы

Суммируем время работы всех троих штукатуров, чтобы узнать общее количество отработанных часов:

$16 \text{ ч} + 24 \text{ ч} + 40 \text{ ч} = 80 \text{ ч}$

2. Найдём стоимость одного часа работы

Разделим общую сумму вознаграждения на общее количество отработанных часов:

$8000 \text{ рублей} \div 80 \text{ ч} = 100 \text{ рублей/час}$

3. Рассчитаем заработок каждого штукатура

Умножим стоимость одного часа работы на время, отработанное каждым штукатуром индивидуально:

Заработок первого штукатура (16 ч): $100 \text{ руб./ч} \times 16 \text{ ч} = 1600 \text{ рублей}$

Заработок второго штукатура (24 ч): $100 \text{ руб./ч} \times 24 \text{ ч} = 2400 \text{ рублей}$

Заработок третьего штукатура (40 ч): $100 \text{ руб./ч} \times 40 \text{ ч} = 4000 \text{ рублей}$

Ответ: первый штукатур получил 1600 рублей, второй – 2400 рублей, а третий – 4000 рублей.

814. Для трёх ферм заготовили 540 т сена. Сколько тонн сена требуется доставить на каждую ферму, если на первой ферме 28 коров, на второй – 42 коровы, а на третьей – 65 коров (количество сена для каждой коровы требуется одинаковое)?

Для решения задачи нужно сначала найти общее количество коров на всех фермах. Затем, зная общее количество сена, можно вычислить, сколько тонн приходится на одну корову. После этого мы сможем рассчитать необходимое количество сена для каждой фермы.

1. Найдём общее количество коров на трёх фермах.

Для этого сложим количество коров на каждой из ферм:

$28 + 42 + 65 = 135$ (коров).

2. Определим, сколько тонн сена требуется для одной коровы.

Разделим общее количество заготовленного сена на общее количество коров:

$540 \div 135 = 4$ (тонны).

Таким образом, на одну корову требуется 4 тонны сена.

3. Рассчитаем, сколько тонн сена требуется для каждой фермы.

Умножим количество коров на каждой ферме на норму сена для одной коровы (4 тонны):

• Для первой фермы: $28 \times 4 = 112$ (тонн).
• Для второй фермы: $42 \times 4 = 168$ (тонн).
• Для третьей фермы: $65 \times 4 = 260$ (тонн).

Проверим правильность вычислений, сложив полученные значения: $112 + 168 + 260 = 540$ тонн, что соответствует общему количеству заготовленного сена.

Ответ: на первую ферму требуется доставить 112 тонн сена, на вторую – 168 тонн, а на третью – 260 тонн.

815. Найдите такие значения $x$ и $y$, чтобы числа $x$, $y$ и 24 были соответственно пропорциональны числам:

1) 3, 5 и 6;

2) $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{36}$ и $\frac{1}{9}$.

По условию задачи, числа $x, y, 24$ соответственно пропорциональны заданным числам. Это означает, что отношение каждой пары соответствующих чисел равно одному и тому же значению — коэффициенту пропорциональности $k$.

1) Числа $x, y, 24$ пропорциональны числам $3, 5, 6$.

Это можно записать в виде пропорции:

$\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{24}{6}$

Найдем коэффициент пропорциональности $k$ из последнего отношения:

$k = \frac{24}{6} = 4$

Теперь, зная коэффициент пропорциональности, найдем значения $x$ и $y$:

Из отношения $\frac{x}{3} = 4$ следует, что $x = 3 \cdot 4 = 12$.

Из отношения $\frac{y}{5} = 4$ следует, что $y = 5 \cdot 4 = 20$.

Ответ: $x = 12, y = 20$.

2) Числа $x, y, 24$ пропорциональны числам $\frac{1}{8}, \frac{1}{36}, \frac{1}{9}$.

Запишем соответствующую пропорцию:

$\frac{x}{\frac{1}{8}} = \frac{y}{\frac{1}{36}} = \frac{24}{\frac{1}{9}}$

Найдем коэффициент пропорциональности $k$ из последнего отношения:

$k = \frac{24}{\frac{1}{9}} = 24 \cdot 9 = 216$

Теперь найдем значения $x$ и $y$, используя найденный коэффициент $k$:

Из отношения $\frac{x}{\frac{1}{8}} = 216$ следует, что $x = 216 \cdot \frac{1}{8} = \frac{216}{8} = 27$.

Из отношения $\frac{y}{\frac{1}{36}} = 216$ следует, что $y = 216 \cdot \frac{1}{36} = \frac{216}{36} = 6$.

Ответ: $x = 27, y = 6$.

816. Найдите такие значения $a$ и $b$, чтобы числа $a$, 10 и $b$ были соответственно пропорциональны числам 2, $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{4}$.

По условию задачи, числа $a$, $10$ и $b$ должны быть соответственно пропорциональны числам $2$, $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{4}$. Это означает, что отношение каждого числа из первого набора к соответствующему числу из второго набора есть постоянная величина, называемая коэффициентом пропорциональности. Обозначим этот коэффициент как $k$.

Таким образом, мы можем составить следующую цепочку равенств:

$ \frac{a}{2} = \frac{10}{\frac{1}{6}} = \frac{b}{\frac{3}{4}} = k $

Для начала найдем значение коэффициента пропорциональности $k$, используя среднее отношение, так как в нем известны оба числа:

$ k = \frac{10}{\frac{1}{6}} = 10 \div \frac{1}{6} = 10 \cdot 6 = 60 $

Теперь, зная, что коэффициент пропорциональности $k=60$, мы можем найти неизвестные значения $a$ и $b$.

Для нахождения $a$ воспользуемся равенством $ \frac{a}{2} = k $:
$ \frac{a}{2} = 60 $
$ a = 60 \cdot 2 $
$ a = 120 $

Аналогично, для нахождения $b$ воспользуемся равенством $ \frac{b}{\frac{3}{4}} = k $:
$ \frac{b}{\frac{3}{4}} = 60 $
$ b = 60 \cdot \frac{3}{4} $
$ b = \frac{60 \cdot 3}{4} = 15 \cdot 3 = 45 $

Ответ: $a = 120$, $b = 45$.

817. Представьте число 219 в виде суммы трёх слагаемых $x$, $y$ и $z$ так, чтобы $x : y = 4 : 9$, а $y : z = 15 : 2\frac{2}{3}$.

По условию задачи, число 219 нужно представить в виде суммы трех слагаемых $x, y$ и $z$, то есть $x + y + z = 219$.

Также даны соотношения между этими слагаемыми:

$x : y = 4 : 9$

$y : z = 15 : 2 \frac{2}{3}$

Для начала, приведем второе соотношение к виду с целыми числами. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2 \frac{2}{3} = \frac{2 \times 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

Теперь второе соотношение выглядит так:

$y : z = 15 : \frac{8}{3}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части отношения на 3:

$y : z = (15 \times 3) : (\frac{8}{3} \times 3) = 45 : 8$

Теперь у нас есть два отношения:

$x : y = 4 : 9$

$y : z = 45 : 8$

Чтобы объединить их в одно тройное отношение $x : y : z$, нужно, чтобы член $y$ был одинаковым в обоих отношениях. Найдем наименьшее общее кратное для чисел, соответствующих $y$, то есть для 9 и 45. НОК(9, 45) = 45.

Второе отношение уже содержит 45, поэтому его мы не меняем. В первом отношении нужно привести 9 к 45. Для этого умножим обе части первого отношения на 5:

$x : y = (4 \times 5) : (9 \times 5) = 20 : 45$

Теперь мы можем записать общее отношение:

$x : y : z = 20 : 45 : 8$

Это означает, что слагаемые можно представить через коэффициент пропорциональности $k$:

$x = 20k$

$y = 45k$

$z = 8k$

Подставим эти выражения в исходное уравнение суммы:

$x + y + z = 219$

$20k + 45k + 8k = 219$

Найдем сумму частей:

$73k = 219$

Теперь найдем значение коэффициента $k$:

$k = \frac{219}{73} = 3$

Зная коэффициент $k$, мы можем найти значения $x, y$ и $z$:

$x = 20k = 20 \times 3 = 60$

$y = 45k = 45 \times 3 = 135$

$z = 8k = 8 \times 3 = 24$

Проверим, что сумма равна 219:

$60 + 135 + 24 = 195 + 24 = 219$

Сумма верна. Таким образом, искомые слагаемые - это 60, 135 и 24.

Ответ: $x=60, y=135, z=24$.

818. Сумма четырёх чисел равна 386. Найдите эти числа, если первое относится ко второму как $2:5$, второе к третьему – как $3:4$, а третье к четвёртому – как $6:7$.

Обозначим четыре искомых числа как $n_1$, $n_2$, $n_3$ и $n_4$.

Из условия задачи известно, что их сумма равна 386:

$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 386$

Также даны соотношения между числами:

$n_1 : n_2 = 2 : 5$

$n_2 : n_3 = 3 : 4$

$n_3 : n_4 = 6 : 7$

Для нахождения чисел необходимо найти их общее соотношение $n_1 : n_2 : n_3 : n_4$. Для этого последовательно приведем отношения к общим членам.

1. Объединим первые два отношения: $n_1 : n_2 = 2 : 5$ и $n_2 : n_3 = 3 : 4$. Общий член — $n_2$. Части, ему соответствующие — 5 и 3. Наименьшее общее кратное для 5 и 3 равно 15. Умножим первое отношение на 3, а второе на 5:

$n_1 : n_2 = (2 \cdot 3) : (5 \cdot 3) = 6 : 15$

$n_2 : n_3 = (3 \cdot 5) : (4 \cdot 5) = 15 : 20$

Отсюда, $n_1 : n_2 : n_3 = 6 : 15 : 20$.

2. Теперь к полученному отношению $n_1 : n_2 : n_3 = 6 : 15 : 20$ добавим третье: $n_3 : n_4 = 6 : 7$. Общий член — $n_3$. Части, ему соответствующие — 20 и 6. Наименьшее общее кратное для 20 и 6 равно 60. Умножим первое отношение на 3 (поскольку $60/20=3$), а второе на 10 (поскольку $60/6=10$):

$n_1 : n_2 : n_3 = (6 \cdot 3) : (15 \cdot 3) : (20 \cdot 3) = 18 : 45 : 60$

$n_3 : n_4 = (6 \cdot 10) : (7 \cdot 10) = 60 : 70$

Таким образом, итоговое соотношение всех четырех чисел:

$n_1 : n_2 : n_3 : n_4 = 18 : 45 : 60 : 70$

3. Пусть $x$ — одна часть в данном соотношении. Тогда числа можно выразить так: $n_1 = 18x$, $n_2 = 45x$, $n_3 = 60x$, $n_4 = 70x$.

Составим уравнение, используя их сумму:

$18x + 45x + 60x + 70x = 386$

$(18 + 45 + 60 + 70)x = 386$

$193x = 386$

Найдем $x$:

$x = \frac{386}{193} = 2$

4. Теперь найдем сами числа:

$n_1 = 18 \cdot 2 = 36$

$n_2 = 45 \cdot 2 = 90$

$n_3 = 60 \cdot 2 = 120$

$n_4 = 70 \cdot 2 = 140$

Проверка: $36 + 90 + 120 + 140 = 386$.

Ответ: 36, 90, 120, 140.

819. Одна бригада отремонтировала 18 км дороги, а другая – 14 км. На сколько процентов длины дороги вторая бригада отремонтировала меньше, чем первая?

Для того чтобы найти, на сколько процентов вторая бригада отремонтировала меньше дороги, чем первая, необходимо принять объем работы первой бригады за 100% и вычислить, какую долю от этого объема составляет разница в выполненной работе.

1. Находим разницу в объеме выполненных работ в километрах.

Вычтем из длины дороги, отремонтированной первой бригадой (18 км), длину дороги, отремонтированной второй бригадой (14 км):

$18 \text{ км} - 14 \text{ км} = 4 \text{ км}$

Следовательно, вторая бригада отремонтировала на 4 км меньше.

2. Находим, какой процент составляет эта разница от работы первой бригады.

Теперь нужно определить, сколько процентов составляют 4 км от 18 км. Для этого составим пропорцию, разделив разницу на базовое значение (работа первой бригады) и умножив на 100%:

$\frac{4}{18} \cdot 100\%$

Сократим дробь $\frac{4}{18}$ на 2, чтобы упростить вычисления:

$\frac{2}{9} \cdot 100\% = \frac{200}{9}\%$

Для наглядности преобразуем неправильную дробь в смешанное число, разделив 200 на 9:

$200 \div 9 = 22$ (остаток $2$)

Таким образом, результат равен $22\frac{2}{9}\%$.

Ответ: на $22\frac{2}{9}\%$.

820. Площадь Казанского кремля равна 15 га, что составляет 250 % площади Тульского кремля. Площадь Тульского кремля составляет $ \frac{3}{28} $ площади Вологодского кремля. Какова площадь Вологодского кремля?

Казанский кремль

Тульский кремль

Вологодский кремль

Задача решается в два действия. Сначала необходимо найти площадь Тульского кремля, а затем, используя это значение, вычислить площадь Вологодского кремля.

1. Найдем площадь Тульского кремля

По условию, площадь Казанского кремля равна 15 га, что составляет 250% от площади Тульского кремля. Для начала, переведем проценты в десятичную дробь:

$250\% = \frac{250}{100} = 2.5$

Теперь, чтобы найти площадь Тульского кремля, нужно площадь Казанского кремля разделить на эту долю:

$15 \div 2.5 = 6$ (га)

Следовательно, площадь Тульского кремля составляет 6 га.

2. Найдем площадь Вологодского кремля

Из условия известно, что площадь Тульского кремля (6 га) составляет $\frac{3}{28}$ от площади Вологодского кремля. Чтобы найти целое по его части, необходимо значение этой части разделить на соответствующую ей дробь:

$6 \div \frac{3}{28} = 6 \cdot \frac{28}{3} = \frac{6 \cdot 28}{3} = 2 \cdot 28 = 56$ (га)

Ответ: площадь Вологодского кремля равна 56 га.