Страница 164 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

839. Найдите площадь круга, если $ \frac{2}{3} $ длины окружности этого круга равны 24,8 см (число $ \pi $ округлите до десятых).

Для решения задачи необходимо выполнить три шага: найти полную длину окружности, затем вычислить радиус круга и, наконец, найти его площадь.

1. Нахождение длины окружности.

Пусть $C$ — это полная длина окружности. Согласно условию, $ \frac{2}{3} $ этой длины равны 24,8 см. Мы можем составить уравнение:

$ \frac{2}{3} \cdot C = 24,8 $

Чтобы найти $C$, нужно 24,8 разделить на дробь $ \frac{2}{3} $:

$ C = 24,8 : \frac{2}{3} = 24,8 \cdot \frac{3}{2} = 12,4 \cdot 3 = 37,2 $ см.

2. Нахождение радиуса круга.

Длина окружности связана с ее радиусом $r$ формулой $ C = 2 \pi r $. В условии указано, что число $ \pi $ следует округлить до десятых, то есть $ \pi \approx 3,1 $. Подставим известные значения в формулу:

$ 37,2 = 2 \cdot 3,1 \cdot r $

$ 37,2 = 6,2 \cdot r $

Теперь найдем радиус:

$ r = 37,2 : 6,2 = 6 $ см.

3. Нахождение площади круга.

Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $ S = \pi r^2 $. Подставим найденное значение радиуса и приближенное значение $ \pi $:

$ S \approx 3,1 \cdot 6^2 = 3,1 \cdot 36 $

$ S \approx 111,6 $ см².

Ответ: 111,6 см².

840. На сколько квадратных сантиметров площадь квадрата больше площади круга (рис. 123), если сторона квадрата равна 8 см?

Рис. 123

Для того чтобы найти, на сколько площадь квадрата больше площади круга, необходимо вычислить площадь каждой фигуры, а затем найти их разность.

Нахождение площади квадрата
Площадь квадрата ($S_{квадрата}$) находится по формуле $S = a^2$, где $a$ — сторона квадрата.
По условию, сторона квадрата равна 8 см.
$S_{квадрата} = 8^2 = 64$ см².

Нахождение площади круга
Из рисунка видно, что круг вписан в квадрат. Это означает, что диаметр круга $d$ равен стороне квадрата $a$.
$d = a = 8$ см.
Радиус круга $r$ равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2}$.
$r = \frac{8}{2} = 4$ см.
Площадь круга ($S_{круга}$) находится по формуле $S = \pi r^2$.
$S_{круга} = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см².

Нахождение разности площадей
Теперь вычтем из площади квадрата площадь круга, чтобы найти, на сколько она больше:
$S_{квадрата} - S_{круга} = 64 - 16\pi$ см².
Ответ: на $(64 - 16\pi)$ см².

841. Начертите прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Проведите диагонали прямоугольника. Приняв точку пересечения диагоналей за центр окружности, а половину диагонали – за радиус, проведите эту окружность. Измерьте линейкой диаметр полученной окружности (в сантиметрах, с точностью до единиц). На сколько квадратных сантиметров площадь круга, ограниченного этой окружностью, больше площади прямоугольника?

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем длину диагонали прямоугольника.

   Стороны прямоугольника $a = 3$ см и $b = 4$ см образуют с диагональю $d$ прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем длину диагонали:

   $d^2 = a^2 + b^2$

   $d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Найдем радиус и диаметр окружности.

   По условию, центр окружности находится в точке пересечения диагоналей, а радиус $r$ равен половине диагонали. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

   Радиус окружности: $r = \frac{d}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ см.

   Диаметр окружности $D$ равен двум радиусам или целой диагонали:

   $D = 2r = 2 \times 2.5 = 5$ см.

   При измерении линейкой диаметр полученной окружности с точностью до единиц будет равен 5 см.

   Ответ: 5 см.

3. Сравним площади круга и прямоугольника.

   Сначала найдем площадь прямоугольника ($S_{прям}$):

   $S_{прям} = a \times b = 3 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

   Теперь найдем площадь круга ($S_{круга}$), используя найденный радиус $r = 2.5$ см и значение $\pi \approx 3.14$:

   $S_{круга} = \pi r^2 \approx 3.14 \times (2.5 \text{ см})^2 = 3.14 \times 6.25 \text{ см}^2 = 19.625 \text{ см}^2$.

   Чтобы найти, на сколько площадь круга больше площади прямоугольника, вычтем из площади круга площадь прямоугольника:

   $\Delta S = S_{круга} - S_{прям} \approx 19.625 \text{ см}^2 - 12 \text{ см}^2 = 7.625 \text{ см}^2$.

   Ответ: Площадь круга больше площади прямоугольника на 7.625 см².

842. Вычислите площадь закрашенной фигуры, изображённой на рисунке 124.

Рис. 124

а

2 см

2 см

б

2 см

в

16 см

а
Фигура представляет собой квадрат со стороной 2 см. Его общая площадь равна $S_{кв} = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см}^2$.
Закрашенная и незакрашенная части разделены кривой, которая проходит от верхнего конца левой стороны до правого конца нижней стороны. Если повернуть закрашенную область на 180 градусов вокруг центра квадрата, она в точности совпадет с незакрашенной областью. Это означает, что их площади равны.
Следовательно, площадь закрашенной фигуры составляет ровно половину площади квадрата.
$S_{закрашенной} = \frac{1}{2} S_{кв} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \text{ см}^2$.
Ответ: $2 \text{ см}^2$.

б
Фигура представляет собой квадрат со стороной 2 см. Площадь квадрата равна $S_{кв} = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см}^2$.
Закрашенная фигура в центре образована пересечением четырех полукругов, построенных на сторонах квадрата как на диаметрах.
Радиус каждого такого полукруга равен половине стороны квадрата, то есть $r = 2 / 2 = 1$ см.
Площадь одного полукруга: $S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (1)^2 = \frac{\pi}{2} \text{ см}^2$.
Суммарная площадь двух полукругов, построенных на верхней и нижней сторонах, равна $S_1 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi \text{ см}^2$.
Суммарная площадь двух полукругов, построенных на левой и правой сторонах, равна $S_2 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi \text{ см}^2$.
Если сложить площади этих четырех полукругов, то площадь закрашенной фигуры будет посчитана дважды, в то время как остальная часть квадрата будет покрыта один раз (за исключением углов, которые не покрыты). Примем, что сумма площадей этих полукругов равна площади квадрата плюс площадь закрашенной фигуры (поскольку она была посчитана дважды).
$S_1 + S_2 = S_{кв} + S_{закрашенной}$
$\pi + \pi = 4 + S_{закрашенной}$
$2\pi = 4 + S_{закрашенной}$
$S_{закрашенной} = 2\pi - 4 \text{ см}^2$.
Ответ: $(2\pi - 4) \text{ см}^2$.

в
Закрашенная фигура — это большой полукруг, из которого вырезали два одинаковых малых полукруга.
Диаметр большого полукруга равен 16 см, значит, его радиус $R = 16 / 2 = 8$ см.
Площадь большого полукруга: $S_{большого} = \frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi (8)^2 = \frac{64\pi}{2} = 32\pi \text{ см}^2$.
Диаметры двух малых полукругов в сумме дают диаметр большого, значит, диаметр каждого малого полукруга равен $d = 16 / 2 = 8$ см. Радиус малого полукруга $r = 8 / 2 = 4$ см.
Площадь одного малого полукруга: $S_{малого} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (4)^2 = \frac{16\pi}{2} = 8\pi \text{ см}^2$.
Площадь двух малых полукругов: $2 \cdot S_{малого} = 2 \cdot 8\pi = 16\pi \text{ см}^2$.
Чтобы найти площадь закрашенной фигуры, нужно из площади большого полукруга вычесть площади двух малых полукругов:
$S_{закрашенной} = S_{большого} - 2 \cdot S_{малого} = 32\pi - 16\pi = 16\pi \text{ см}^2$.
Ответ: $16\pi \text{ см}^2$.

843. Вычислите площадь закрашенной фигуры (рис. 125), если длина стороны клетки равна 1 см.

Рис. 125

а

б

а

Площадь закрашенной фигуры ($S_a$) можно найти, вычтя из площади большого квадрата ($S_{кв}$) суммарную площадь четырех маленьких кругов ($S_{кр}$). Длина стороны одной клетки равна 1 см.

1. Сторона большого квадрата состоит из 6 клеток, значит, ее длина равна 6 см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина стороны.
$S_{кв} = 6^2 = 36 \text{ см}^2$.

2. Диаметр каждого из четырех кругов равен 2 клеткам, то есть 2 см. Следовательно, радиус ($r$) каждого круга равен $2 / 2 = 1$ см. Площадь одного круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.
$S_{кр} = \pi \cdot 1^2 = \pi \text{ см}^2$.

3. Общая площадь четырех одинаковых кругов равна:
$4 \cdot S_{кр} = 4 \cdot \pi = 4\pi \text{ см}^2$.

4. Теперь найдем площадь закрашенной фигуры:
$S_a = S_{кв} - 4 \cdot S_{кр} = 36 - 4\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $(36 - 4\pi) \text{ см}^2$.

б

Площадь закрашенной фигуры ($S_б$) равна площади большого круга ($S_{КР}$) минус общая площадь вырезанных фигур (двух квадратов, одного треугольника и одного прямоугольника).

1. Радиус большого круга ($R$) равен 3 клеткам, то есть 3 см. Найдем его площадь по формуле $S = \pi R^2$.
$S_{КР} = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \text{ см}^2$.

2. Найдем общую площадь вырезанных фигур.
- Два квадрата ("глаза"): каждый со стороной 1 см. Площадь одного квадрата $1^2 = 1 \text{ см}^2$. Общая площадь двух квадратов: $2 \cdot 1 = 2 \text{ см}^2$.
- Треугольник ("нос"): основание равно 2 см, высота — 1 см. Площадь треугольника ($S_{\triangle}$) равна $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ah$.
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \text{ см}^2$.
- Прямоугольник ("рот"): стороны равны 2 см и 1 см. Площадь прямоугольника равна $2 \cdot 1 = 2 \text{ см}^2$.
Суммарная площадь вырезанных фигур: $2 + 1 + 2 = 5 \text{ см}^2$.

3. Вычислим площадь закрашенной фигуры:
$S_б = S_{КР} - 5 = 9\pi - 5 \text{ см}^2$.

Ответ: $(9\pi - 5) \text{ см}^2$.