Номер 842, страница 164 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Длина окружности. Площадь круга. Глава 3. Дроби - номер 842, страница 164.

Условие.

842. Вычислите площадь закрашенной фигуры, изображённой на рисунке 124.

Рис. 124

а

2 см

2 см

б

2 см

в

16 см

Решение.

Решение 2.

а
Фигура представляет собой квадрат со стороной 2 см. Его общая площадь равна $S_{кв} = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см}^2$.
Закрашенная и незакрашенная части разделены кривой, которая проходит от верхнего конца левой стороны до правого конца нижней стороны. Если повернуть закрашенную область на 180 градусов вокруг центра квадрата, она в точности совпадет с незакрашенной областью. Это означает, что их площади равны.
Следовательно, площадь закрашенной фигуры составляет ровно половину площади квадрата.
$S_{закрашенной} = \frac{1}{2} S_{кв} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \text{ см}^2$.
Ответ: $2 \text{ см}^2$.

б
Фигура представляет собой квадрат со стороной 2 см. Площадь квадрата равна $S_{кв} = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см}^2$.
Закрашенная фигура в центре образована пересечением четырех полукругов, построенных на сторонах квадрата как на диаметрах.
Радиус каждого такого полукруга равен половине стороны квадрата, то есть $r = 2 / 2 = 1$ см.
Площадь одного полукруга: $S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (1)^2 = \frac{\pi}{2} \text{ см}^2$.
Суммарная площадь двух полукругов, построенных на верхней и нижней сторонах, равна $S_1 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi \text{ см}^2$.
Суммарная площадь двух полукругов, построенных на левой и правой сторонах, равна $S_2 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi \text{ см}^2$.
Если сложить площади этих четырех полукругов, то площадь закрашенной фигуры будет посчитана дважды, в то время как остальная часть квадрата будет покрыта один раз (за исключением углов, которые не покрыты). Примем, что сумма площадей этих полукругов равна площади квадрата плюс площадь закрашенной фигуры (поскольку она была посчитана дважды).
$S_1 + S_2 = S_{кв} + S_{закрашенной}$
$\pi + \pi = 4 + S_{закрашенной}$
$2\pi = 4 + S_{закрашенной}$
$S_{закрашенной} = 2\pi - 4 \text{ см}^2$.
Ответ: $(2\pi - 4) \text{ см}^2$.

в
Закрашенная фигура — это большой полукруг, из которого вырезали два одинаковых малых полукруга.
Диаметр большого полукруга равен 16 см, значит, его радиус $R = 16 / 2 = 8$ см.
Площадь большого полукруга: $S_{большого} = \frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi (8)^2 = \frac{64\pi}{2} = 32\pi \text{ см}^2$.
Диаметры двух малых полукругов в сумме дают диаметр большого, значит, диаметр каждого малого полукруга равен $d = 16 / 2 = 8$ см. Радиус малого полукруга $r = 8 / 2 = 4$ см.
Площадь одного малого полукруга: $S_{малого} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (4)^2 = \frac{16\pi}{2} = 8\pi \text{ см}^2$.
Площадь двух малых полукругов: $2 \cdot S_{малого} = 2 \cdot 8\pi = 16\pi \text{ см}^2$.
Чтобы найти площадь закрашенной фигуры, нужно из площади большого полукруга вычесть площади двух малых полукругов:
$S_{закрашенной} = S_{большого} - 2 \cdot S_{малого} = 32\pi - 16\pi = 16\pi \text{ см}^2$.
Ответ: $16\pi \text{ см}^2$.