Номер 849, страница 165 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Длина окружности. Площадь круга. Глава 3. Дроби - номер 849, страница 165.

Условие.

849. Вычислите площадь закрашенной фигуры на рисунке 126.

Рис. 126

10 см

Решение.

Решение 2.

Для вычисления площади закрашенной фигуры воспользуемся методом сложения площадей.

Фигура вписана в квадрат со стороной $a = 10 \text{ см}$. Площадь квадрата равна:

$S_{кв} = a^2 = 10^2 = 100 \text{ см}^2$.

Закрашенная фигура образована пересечением четырех полукругов, диаметры которых являются сторонами квадрата. Радиус каждого полукруга равен половине стороны квадрата:

$r = a/2 = 10/2 = 5 \text{ см}$.

Найдем сумму площадей этих четырех полукругов. Это эквивалентно площади двух полных кругов с радиусом 5 см.

$S_{4пк} = 4 \cdot S_{полукруга} = 4 \cdot (\frac{1}{2} \pi r^2) = 2 \pi r^2$

$S_{4пк} = 2 \cdot \pi \cdot 5^2 = 2 \cdot 25\pi = 50\pi \text{ см}^2$.

Теперь проанализируем, как эта суммарная площадь распределена по квадрату. Когда мы складываем площади четырех полукругов, некоторые части квадрата учитываются несколько раз. Разделим квадрат на два типа областей:

• Закрашенная область ($S_{закр}$), состоящая из четырех "лепестков".
• Незакрашенная область ($S_{незакр}$), состоящая из четырех угловых фигур.

Рассмотрим, сколько раз каждая область покрывается полукругами:

• Каждый "лепесток" (закрашенная область) покрывается ровно одним полукругом. Например, верхний лепесток полностью лежит внутри полукруга, построенного на верхней стороне, и не пересекается с другими.
• Каждая угловая фигура (незакрашенная область) покрывается ровно двумя полукругами. Например, левая верхняя угловая фигура находится в зоне пересечения полукругов, построенных на верхней и левой сторонах.

Таким образом, суммарная площадь четырех полукругов может быть выражена через площади закрашенной и незакрашенной областей:

$S_{4пк} = 1 \cdot S_{закр} + 2 \cdot S_{незакр}$

Мы получили первое уравнение: $50\pi = S_{закр} + 2S_{незакр}$.

Также мы знаем, что площадь квадрата является суммой площадей закрашенной и незакрашенной областей:

$S_{кв} = S_{закр} + S_{незакр}$

Это наше второе уравнение: $100 = S_{закр} + S_{незакр}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $S_{закр} + 2S_{незакр} = 50\pi$

2) $S_{закр} + S_{незакр} = 100$

Выразим $S_{незакр}$ из второго уравнения:

$S_{незакр} = 100 - S_{закр}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$S_{закр} + 2(100 - S_{закр}) = 50\pi$

$S_{закр} + 200 - 2S_{закр} = 50\pi$

$200 - S_{закр} = 50\pi$

Выразим $S_{закр}$:

$S_{закр} = 200 - 50\pi$

Таким образом, площадь закрашенной фигуры равна $200 - 50\pi$ см$^2$.

Приближенное значение, используя $\pi \approx 3.14$:

$S_{закр} \approx 200 - 50 \cdot 3.14 = 200 - 157 = 43 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь закрашенной фигуры равна $200 - 50\pi \text{ см}^2$.