Номер 850, страница 165 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Длина окружности. Площадь круга. Глава 3. Дроби - номер 850, страница 165.

Условие.

850. Докажите, что сумма длин красных дуг равна сумме длин зелёных дуг (рис. 127).

Рис. 127

$ \frac{88}{90} = x \cdot \frac{1}{8} + x \cdot \frac{1}{3} + x \cdot \frac{1}{4} (\text{S}) $

Решение.

Решение 2.

Пусть красные дуги являются полуокружностями с диаметрами $d_{к1}, d_{к2}, \dots, d_{kn}$, а зеленые дуги — полуокружностями с диаметрами $d_{з1}, d_{з2}, \dots, d_{зм}$.

Из рисунка видно, что все диаметры лежат на одном отрезке. Сумма диаметров как красных, так и зеленых дуг равна длине всего отрезка. Обозначим длину этого общего отрезка буквой $L$.

Таким образом, мы можем записать:
$d_{к1} + d_{к2} + \dots + d_{kn} = L$
$d_{з1} + d_{з2} + \dots + d_{зм} = L$

Длина дуги полуокружности вычисляется по формуле $l = \frac{1}{2}\pi d$, где $d$ — её диаметр.

Найдём сумму длин всех красных дуг, обозначив её $S_к$:
$S_к = \frac{1}{2}\pi d_{к1} + \frac{1}{2}\pi d_{к2} + \dots + \frac{1}{2}\pi d_{kn}$
Вынесем за скобки общий множитель $\frac{1}{2}\pi$:
$S_к = \frac{1}{2}\pi (d_{к1} + d_{к2} + \dots + d_{kn})$
Поскольку сумма диаметров красных дуг равна $L$, мы получаем:
$S_к = \frac{1}{2}\pi L$

Аналогично найдём сумму длин всех зелёных дуг, обозначив её $S_з$:
$S_з = \frac{1}{2}\pi d_{з1} + \frac{1}{2}\pi d_{з2} + \dots + \frac{1}{2}\pi d_{зм}$
Вынесем за скобки общий множитель $\frac{1}{2}\pi$:
$S_з = \frac{1}{2}\pi (d_{з1} + d_{з2} + \dots + d_{зм})$
Поскольку сумма диаметров зелёных дуг также равна $L$, мы получаем:
$S_з = \frac{1}{2}\pi L$

Сравнивая выражения для $S_к$ и $S_з$, мы видим, что они равны:
$S_к = S_з = \frac{1}{2}\pi L$

Следовательно, сумма длин красных дуг равна сумме длин зелёных дуг.

Ответ: Равенство доказано. Сумма длин красных дуг и сумма длин зеленых дуг равны, так как каждая из этих сумм равна половине длины окружности, диаметр которой равен длине всего отрезка, на котором построены дуги.