Номер 853, страница 166 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Длина окружности. Площадь круга. Глава 3. Дроби - номер 853, страница 166.

Условие.

853. На рисунке 130 проиллюстрирован старинный способ вычисления площади круга. Объясните, почему произведение $rl$ приближённо равно площади круга.

Рис. 130

Решение.

Решение 2.

Данный старинный способ вычисления площади круга заключается в мысленном разрезании круга на большое количество равных секторов и их перекладывании в новую фигуру. Эта новая фигура по своей форме приближается к прямоугольнику, и чем на большее количество секторов мы делим круг, тем точнее это приближение.

Рассмотрим получившуюся фигуру. Ее высота практически равна радиусу исходного круга, так как она образована боковыми сторонами секторов, которые и являются радиусами. Обозначим радиус как $r$.

Длина основания фигуры, обозначенная как $l$, складывается из дуг ровно половины всех секторов. Поскольку дуги всех секторов вместе составляют полную длину окружности $C = 2\pi r$, то длина основания $l$ равна половине длины окружности: $l = \frac{1}{2}C = \frac{1}{2}(2\pi r) = \pi r$.

Площадь получившейся фигуры, которая очень близка к прямоугольнику, можно приближенно вычислить как произведение ее высоты на длину основания. То есть, площадь $S$ приближенно равна $r \cdot l$.

Так как эта фигура была составлена из всех частей исходного круга без каких-либо потерь или добавлений, ее площадь в точности равна площади круга. Поэтому можно утверждать, что площадь круга приближенно равна произведению $r \cdot l$. Это приближение становится абсолютно точным, когда число секторов, на которые делится круг, стремится к бесконечности.

Ответ: Круг мысленно разрезается на большое число равных секторов, которые затем перекладываются в фигуру, по форме близкую к прямоугольнику. Высота этой фигуры равна радиусу круга $r$, а длина ее основания $l$ равна половине длины окружности круга ($l \approx \pi r$). Площадь прямоугольника вычисляется как произведение высоты на основание, следовательно, площадь круга, равная площади этой фигуры, приближенно равна $r \cdot l$.