Страница 166 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

853. На рисунке 130 проиллюстрирован старинный способ вычисления площади круга. Объясните, почему произведение $rl$ приближённо равно площади круга.

Рис. 130

Данный старинный способ вычисления площади круга заключается в мысленном разрезании круга на большое количество равных секторов и их перекладывании в новую фигуру. Эта новая фигура по своей форме приближается к прямоугольнику, и чем на большее количество секторов мы делим круг, тем точнее это приближение.

Рассмотрим получившуюся фигуру. Ее высота практически равна радиусу исходного круга, так как она образована боковыми сторонами секторов, которые и являются радиусами. Обозначим радиус как $r$.

Длина основания фигуры, обозначенная как $l$, складывается из дуг ровно половины всех секторов. Поскольку дуги всех секторов вместе составляют полную длину окружности $C = 2\pi r$, то длина основания $l$ равна половине длины окружности: $l = \frac{1}{2}C = \frac{1}{2}(2\pi r) = \pi r$.

Площадь получившейся фигуры, которая очень близка к прямоугольнику, можно приближенно вычислить как произведение ее высоты на длину основания. То есть, площадь $S$ приближенно равна $r \cdot l$.

Так как эта фигура была составлена из всех частей исходного круга без каких-либо потерь или добавлений, ее площадь в точности равна площади круга. Поэтому можно утверждать, что площадь круга приближенно равна произведению $r \cdot l$. Это приближение становится абсолютно точным, когда число секторов, на которые делится круг, стремится к бесконечности.

Ответ: Круг мысленно разрезается на большое число равных секторов, которые затем перекладываются в фигуру, по форме близкую к прямоугольнику. Высота этой фигуры равна радиусу круга $r$, а длина ее основания $l$ равна половине длины окружности круга ($l \approx \pi r$). Площадь прямоугольника вычисляется как произведение высоты на основание, следовательно, площадь круга, равная площади этой фигуры, приближенно равна $r \cdot l$.

854. Масса сплава меди и серебра равна 7,2 кг. Масса серебра составляет 80 % массы меди. Сколько килограммов меди в сплаве?

Для решения задачи введем переменную. Пусть масса меди в сплаве равна $x$ кг.

По условию, масса серебра составляет 80% от массы меди. Чтобы найти 80% от числа, нужно это число умножить на 0,8 (так как $80\% = \frac{80}{100} = 0.8$). Следовательно, масса серебра в сплаве равна $0.8x$ кг.

Общая масса сплава — это сумма масс меди и серебра. Зная, что общая масса сплава равна 7,2 кг, можем составить уравнение:

$x + 0.8x = 7.2$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:

1. Сложим слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения:
$1.8x = 7.2$

2. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 1,8:
$x = \frac{7.2}{1.8}$

Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель дроби на 10:
$x = \frac{72}{18}$

$x = 4$

Таким образом, масса меди в сплаве составляет 4 кг.

Ответ: 4 кг.

855. Решите уравнение:

1) $ \frac{1}{3}x + \frac{1}{5}x + \frac{1}{6}x = \frac{21}{40} $

2) $ \frac{1}{4}x + \frac{1}{6}x + \frac{1}{8}x = \frac{39}{56} $

1) $\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}x + \frac{1}{6}x = \frac{21}{40}$

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки в левой части уравнения:

$x \cdot (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}) = \frac{21}{40}$

Теперь сложим дроби в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 3, 5 и 6 равно 30.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 10}{3 \cdot 10} + \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{10}{30} + \frac{6}{30} + \frac{5}{30} = \frac{10+6+5}{30} = \frac{21}{30}$

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$x \cdot \frac{21}{30} = \frac{21}{40}$

Чтобы найти $x$, разделим правую часть уравнения на коэффициент при $x$:

$x = \frac{21}{40} : \frac{21}{30}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$x = \frac{21}{40} \cdot \frac{30}{21}$

Сократим 21 в числителе и знаменателе:

$x = \frac{30}{40}$

Сократим дробь на 10:

$x = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

2) $\frac{1}{4}x + \frac{1}{6}x + \frac{1}{8}x = \frac{39}{56}$

Вынесем $x$ за скобки:

$x \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8}) = \frac{39}{56}$

Сложим дроби в скобках. Найдем наименьший общий знаменатель для 4, 6 и 8. Это число 24.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{6}{24} + \frac{4}{24} + \frac{3}{24} = \frac{6+4+3}{24} = \frac{13}{24}$

Подставим результат в уравнение:

$x \cdot \frac{13}{24} = \frac{39}{56}$

Найдем $x$, разделив правую часть на коэффициент при $x$:

$x = \frac{39}{56} : \frac{13}{24}$

Выполним деление через умножение на обратную дробь:

$x = \frac{39}{56} \cdot \frac{24}{13}$

Сократим дробь. 39 и 13 делятся на 13 ($39:13=3$). 56 и 24 делятся на 8 ($56:8=7$, $24:8=3$).

$x = \frac{39 \cdot 24}{56 \cdot 13} = \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 1} = \frac{9}{7}$

Можно представить ответ в виде смешанного числа $1\frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{9}{7}$.

856. Цена товара дважды повышалась и каждый раз на 50 %. Какой стала цена товара, если сначала она составляла 160 р.?

Для решения задачи необходимо последовательно рассчитать цену товара после каждого повышения.

Пусть начальная цена товара составляет 160 рублей. Повышение цены на 50% означает, что новая цена будет составлять $100\% + 50\% = 150\%$ от предыдущей. Чтобы найти 150% от числа, нужно умножить это число на 1,5.

1. Цена после первого повышения.

Увеличим начальную цену на 50%:

$160 \text{ р.} \times 1,5 = 240 \text{ р.}$

После первого повышения цена товара стала 240 рублей.

2. Цена после второго повышения.

Теперь новую цену в 240 рублей снова увеличиваем на 50%. Второе повышение рассчитывается от текущей цены, а не от начальной:

$240 \text{ р.} \times 1,5 = 360 \text{ р.}$

После второго повышения итоговая цена товара стала 360 рублей.

Также задачу можно решить одним выражением:

$160 \times 1,5 \times 1,5 = 160 \times 1,5^2 = 160 \times 2,25 = 360 \text{ р.}$

Ответ: 360 р.

857. В таблице указано содержание витамина С в некоторых фруктах определённых сортов (количество миллиграммов в 100 г продукта).

Одна таблетка содержит 0,05 мг витамина С, что составляет суточную норму для ребёнка от 9 до 13 лет. Определите, сколько граммов каждого из данных фруктов могут заменить одну такую таблетку.

В условии задачи дано, что одна таблетка содержит 0,05 г витамина С. В таблице же содержание витамина С во фруктах указано в миллиграммах (мг). Для удобства расчетов переведем граммы в миллиграммы.
Поскольку в 1 грамме содержится 1000 миллиграммов, то масса витамина С в одной таблетке составляет:
$0,05 \text{ г} \times 1000 \frac{\text{мг}}{\text{г}} = 50 \text{ мг}$
Теперь определим, сколько граммов каждого фрукта необходимо съесть, чтобы получить 50 мг витамина С. Для этого составим пропорцию для каждого случая.

Слива: В 100 г слив содержится 5 мг витамина С. Пусть $x$ — искомая масса слив.
Составим пропорцию:
$\frac{100 \text{ г}}{5 \text{ мг}} = \frac{x \text{ г}}{50 \text{ мг}}$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{100 \text{ г} \times 50 \text{ мг}}{5 \text{ мг}} = 1000 \text{ г}$
Ответ: 1000 г.

Яблоко: В 100 г яблок содержится 7 мг витамина С. Пусть $x$ — искомая масса яблок.
Составим пропорцию:
$\frac{100 \text{ г}}{7 \text{ мг}} = \frac{x \text{ г}}{50 \text{ мг}}$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{100 \text{ г} \times 50 \text{ мг}}{7 \text{ мг}} = \frac{5000}{7} \approx 714,3 \text{ г}$
Ответ: $\frac{5000}{7}$ г (примерно 714,3 г).

Вишня: В 100 г вишни содержится 15 мг витамина С. Пусть $x$ — искомая масса вишни.
Составим пропорцию:
$\frac{100 \text{ г}}{15 \text{ мг}} = \frac{x \text{ г}}{50 \text{ мг}}$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{100 \text{ г} \times 50 \text{ мг}}{15 \text{ мг}} = \frac{5000}{15} = \frac{1000}{3} \approx 333,3 \text{ г}$
Ответ: $\frac{1000}{3}$ г (примерно 333,3 г).

Апельсин: В 100 г апельсинов содержится 40 мг витамина С. Пусть $x$ — искомая масса апельсинов.
Составим пропорцию:
$\frac{100 \text{ г}}{40 \text{ мг}} = \frac{x \text{ г}}{50 \text{ мг}}$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{100 \text{ г} \times 50 \text{ мг}}{40 \text{ мг}} = \frac{500}{4} = 125 \text{ г}$
Ответ: 125 г.

Земляника: В 100 г земляники содержится 60 мг витамина С. Пусть $x$ — искомая масса земляники.
Составим пропорцию:
$\frac{100 \text{ г}}{60 \text{ мг}} = \frac{x \text{ г}}{50 \text{ мг}}$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{100 \text{ г} \times 50 \text{ мг}}{60 \text{ мг}} = \frac{500}{6} = \frac{250}{3} \approx 83,3 \text{ г}$
Ответ: $\frac{250}{3}$ г (примерно 83,3 г).