Страница 170 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как можно получить цилиндр в результате вращения прямоугольника?

Цилиндр является телом вращения. Его можно получить в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. Сторона, вокруг которой происходит вращение, становится осью цилиндра.

Рассмотрим прямоугольник со сторонами $a$ и $b$.

Если вращать прямоугольник вокруг стороны длиной $a$, то эта сторона станет высотой $h$ образующегося цилиндра, то есть $h = a$. Другая сторона, перпендикулярная оси вращения, длина которой равна $b$, при вращении образует круг, являющийся основанием цилиндра. Радиус $r$ этого основания будет равен $b$, то есть $r = b$.

Сторона прямоугольника, противоположная оси вращения, при вращении формирует боковую поверхность цилиндра. Две другие стороны, перпендикулярные оси, образуют два равных круга, которые являются верхним и нижним основаниями цилиндра.

Ответ: Чтобы получить цилиндр, необходимо вращать прямоугольник вокруг одной из его сторон как вокруг оси.

2. Объясните, что называют основанием, боковой поверхностью, высотой, образующей цилиндра.

Основание цилиндра

Цилиндр — это геометрическое тело, которое образовано вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Две плоские фигуры, которые ограничивают цилиндр сверху и снизу, называют его основаниями. У прямого кругового цилиндра основаниями являются два равных круга, лежащие в параллельных плоскостях. Площадь одного основания вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ — радиус круга.

Ответ: Основаниями цилиндра называют два равных круга, лежащие в параллельных плоскостях и ограничивающие цилиндр.

Боковая поверхность цилиндра

Боковая поверхность цилиндра — это поверхность, которая соединяет окружности двух его оснований. Она образована движением отрезка (образующей) вдоль окружности основания. Если боковую поверхность цилиндра «развернуть» на плоскость, получится прямоугольник. Длина этого прямоугольника будет равна длине окружности основания ($C = 2\pi R$), а ширина — высоте цилиндра ($H$).

Ответ: Боковой поверхностью цилиндра называют изогнутую поверхность, которая соединяет окружности его оснований.

Высота цилиндра

Высотой цилиндра называют расстояние между плоскостями, в которых лежат его основания. В прямом круговом цилиндре высота — это отрезок, перпендикулярный обоим основаниям и соединяющий их центры. Длина высоты (обозначается как $H$ или $h$) равна длине образующей.

Ответ: Высота цилиндра — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания.

Образующая цилиндра

Образующими цилиндра называют множество параллельных отрезков, которые соединяют соответствующие точки окружностей верхнего и нижнего оснований. Все образующие цилиндра равны по длине и параллельны друг другу. В прямом цилиндре длина образующей равна его высоте ($L = H$). Боковая поверхность цилиндра состоит из всех его образующих.

Ответ: Образующей цилиндра называют отрезок, концы которого лежат на окружностях оснований и который параллелен оси цилиндра.

3. Из каких фигур состоит развёртка цилиндра?

Развёртка цилиндра — это плоская фигура, которую можно получить, если разрезать боковую поверхность цилиндра вдоль его высоты, а затем развернуть её вместе с двумя основаниями на плоскости. Развёртка состоит из следующих геометрических фигур:

• Один прямоугольник. Эта фигура является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра ($h$), а другая сторона равна длине окружности основания. Если радиус основания цилиндра равен $r$, то длина этой стороны вычисляется по формуле $C = 2\pi r$.
• Два одинаковых круга. Эти круги являются верхним и нижним основаниями цилиндра. Радиус каждого круга равен радиусу основания цилиндра $r$.

Таким образом, для сборки цилиндра из развёртки нам понадобится прямоугольник и два одинаковых круга, причём длина одной из сторон прямоугольника должна точно совпадать с длиной окружности каждого из кругов.

Ответ: Развёртка цилиндра состоит из одного прямоугольника и двух кругов.

4. По какой формуле вычисляют площадь боковой поверхности цилиндра?

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра можно представить ее развертку. Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра представляет собой прямоугольник.

Стороны этого прямоугольника определяются параметрами цилиндра:
- одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра, которую принято обозначать как $h$;
- вторая сторона прямоугольника равна длине окружности основания цилиндра, которую обозначают как $C$.

Длина окружности основания вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ — это радиус основания цилиндра.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) равна площади этой развертки:
$S_{бок} = C \cdot h$

Подставив выражение для длины окружности $C$ в эту формулу, мы получаем окончательную формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок} = 2\pi rh$

Ответ: $S_{бок} = 2\pi rh$

5. Как можно получить конус в результате вращения прямоугольного треугольника?

Чтобы получить конус, необходимо вращать прямоугольный треугольник вокруг одного из его катетов (сторон, образующих прямой угол). Этот катет будет служить осью вращения.

В результате такого вращения:

• Катет, который является осью вращения, формирует высоту ($h$) конуса.
• Второй катет, вращаясь вокруг оси, образует круг, который является основанием конуса. Длина этого катета становится радиусом ($r$) основания.
• Гипотенуза (самая длинная сторона треугольника), вращаясь, формирует боковую поверхность конуса и называется его образующей ($l$).

Таким образом, все элементы прямоугольного треугольника определяют размеры конуса. Связь между высотой, радиусом и образующей конуса описывается теоремой Пифагора для исходного треугольника: $l^2 = h^2 + r^2$.

Ответ: Конус можно получить в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

6. Объясните, что называют основанием, боковой поверхностью, высотой, образующей, вершиной конуса.

Конус — это геометрическое тело, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Рассмотрим основные элементы конуса:

Основание

Основанием конуса называют круг, который ограничивает данное геометрическое тело. Этот круг образуется при вращении катета, который не является осью вращения. В случае прямого кругового конуса, его ось перпендикулярна плоскости основания и проходит через его центр.

Ответ: Основание конуса — это круг, который является нижней плоской частью конуса.

Боковая поверхность

Боковой поверхностью конуса называют поверхность, образованную всеми образующими конуса. Она соединяет окружность основания с вершиной. Если боковую поверхность прямого кругового конуса развернуть на плоскость, она будет представлять собой круговой сектор.

Ответ: Боковая поверхность конуса — это криволинейная поверхность, соединяющая вершину конуса с окружностью его основания.

Высота

Высотой конуса ($h$) называют перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. В прямом круговом конусе высота соединяет вершину с центром основания и совпадает с его осью. Высота является одним из катетов прямоугольного треугольника, вращением которого образован конус.

Ответ: Высота конуса — это отрезок, перпендикулярный основанию и соединяющий вершину конуса с плоскостью основания.

Образующая

Образующей конуса ($l$) называют любой отрезок, который соединяет вершину конуса с точкой на окружности его основания. В прямом круговом конусе все образующие равны между собой. Образующая является гипотенузой прямоугольного треугольника, при вращении которого образуется конус. Длина образующей связана с высотой конуса ($h$) и радиусом его основания ($r$) по теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$.

Ответ: Образующая конуса — это отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой на окружности его основания.

Вершина

Вершиной конуса называют точку, не лежащую в плоскости основания, которая является общей для всех образующих конуса. При образовании конуса вращением прямоугольного треугольника, вершина конуса — это та вершина треугольника, которая лежит на оси вращения.

Ответ: Вершина конуса — это общая точка всех его образующих.

7. Из каких фигур состоит развёртка конуса?

Развёртка конуса — это плоская фигура, из которой можно сложить (склеить) объёмную модель конуса. Она состоит из двух геометрических фигур, которые соответствуют двум поверхностям конуса: основанию и боковой поверхности.

Основание конуса

Основанием конуса является круг. Это плоская фигура, которая служит дном конуса. Если радиус этого круга равен $r$, то его площадь вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$, а длина его окружности – $C = 2\pi r$.

Боковая поверхность конуса

Боковая поверхность конуса при развёртывании на плоскость представляет собой круговой сектор. Параметры этого сектора напрямую связаны с параметрами конуса: радиус этого сектора равен образующей конуса (обозначается $l$), а длина дуги этого сектора в точности равна длине окружности основания конуса, то есть $2\pi r$. Это необходимое условие, чтобы при сворачивании развёртки край боковой поверхности идеально сомкнулся с окружностью основания без зазоров и наложений.

Таким образом, для построения развёртки конуса необходимы две фигуры: круг и круговой сектор.

Ответ: Развёртка конуса состоит из круга и кругового сектора.

8. Как можно получить шар в результате вращения полукруга?

Шар является телом вращения. Его можно получить, вращая плоскую фигуру — полукруг — вокруг оси. Для того чтобы в результате вращения получился шар, в качестве оси вращения необходимо использовать диаметр этого полукруга.
Когда полукруг совершает полный оборот ($360^\circ$) вокруг своего диаметра как оси, каждая точка дуги полукруга описывает в пространстве окружность. Совокупность всех этих окружностей образует поверхность, называемую сферой. Плоская фигура полукруга при вращении "заполняет" все внутреннее пространство этой сферы, образуя тело, которое называется шаром. Радиус полученного шара будет равен радиусу исходного полукруга.

Ответ: Шар можно получить в результате вращения полукруга вокруг его диаметра.

9. Как называют поверхность шара?

Поверхность шара называют сферой.

Чтобы дать развернутый ответ, необходимо чётко разграничить понятия "шар" и "сфера".

Шар — это трёхмерное геометрическое тело. Он представляет собой совокупность всех точек пространства, которые находятся от данной точки (центра) на расстоянии, не превышающем заданное расстояние (радиус). Если центр шара — точка $O$, а радиус — $R$, то для любой точки $P$ внутри шара или на его границе выполняется условие: $|OP| \le R$.

Сфера — это, в свою очередь, поверхность или граница шара. Она состоит только из тех точек пространства, которые равноудалены от центра на расстояние, равное радиусу. Математически для любой точки $P$ на сфере выполняется условие: $|OP| = R$.

Таким образом, шар — это "заполненный" объект, включающий и свою поверхность, и внутреннее пространство. Сфера же — это только "пустая" оболочка, двумерная поверхность в трёхмерном пространстве. Например, если представить себе мыльный пузырь, то его тонкая плёнка — это сфера. А если представить бильярдный шар, то весь шар целиком (включая материал внутри) — это шар, а его внешняя поверхность — это сфера.

Ответ: сфера.

10. Объясните, что называют центром, диаметром, радиусом шара.

Центром шара называют точку, равноудаленную от всех точек его поверхности (которая называется сферой). Эта точка является центром симметрии шара. Если обозначить центр шара точкой $O$, а любую точку на его поверхности — $M$, то расстояние $OM$ будет постоянным для всех точек $M$.
Ответ: Центром шара является точка, от которой все точки его поверхности находятся на одинаковом расстоянии.

Диаметром шара называют отрезок, который соединяет две точки на поверхности шара и проходит через его центр. Также диаметром называют и длину этого отрезка. Диаметр является самой длинной хордой шара. Длина диаметра, обозначаемая буквой $D$, в два раза больше длины радиуса $R$, что выражается формулой $D = 2R$.
Ответ: Диаметром шара является отрезок, проходящий через его центр и соединяющий две точки на его поверхности, а также длина этого отрезка, равная двум радиусам.

Радиусом шара называют отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой на его поверхности. Также радиусом называют длину этого отрезка, которую обычно обозначают буквой $R$ или $r$. Все радиусы одного шара равны между собой. Длина радиуса вдвое меньше длины диаметра: $R = D/2$.
Ответ: Радиус шара — это отрезок, соединяющий центр с любой точкой на его поверхности, а также длина этого отрезка.

11. Какая фигура является сечением шара?

Сечением шара любой плоскостью является круг. Границей этого круга является окружность.

Давайте рассмотрим шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть секущая плоскость $\alpha$ находится на расстоянии $d$ от центра шара. В зависимости от соотношения между $R$ и $d$ возможны следующие случаи:

• Если плоскость проходит через центр шара ($d = 0$).
  В этом случае в сечении образуется круг, радиус которого равен радиусу шара $R$. Это наибольший из всех возможных кругов, который можно получить в сечении. Такой круг называется большим кругом, а его граница — большой окружностью.

• Если плоскость пересекает шар, но не проходит через его центр ($0 < d < R$).
  В сечении также образуется круг, но его радиус $r$ будет меньше радиуса шара. Радиус круга в сечении можно найти по теореме Пифагора. Если рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), расстоянием от центра шара до плоскости $d$ (катет) и радиусом сечения $r$ (второй катет), то будет справедливо соотношение: $R^2 = d^2 + r^2$. Отсюда радиус сечения равен $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.

• Если плоскость касается шара ($d = R$).
  Плоскость имеет с шаром только одну общую точку. В этом случае сечение представляет собой точку, которую можно рассматривать как вырожденный круг с радиусом $r=0$.

Таким образом, в любом случае, когда плоскость пересекает шар, фигурой сечения является круг.

Ответ: Круг.

12. Какие тела вращения вы знаете?

Тела вращения — это объёмные тела, образованные вращением плоской геометрической фигуры, ограниченной замкнутой линией, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

К наиболее известным телам вращения относятся:

Цилиндр

Это геометрическое тело, которое образуется при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эта сторона называется осью цилиндра, а другая сторона, параллельная оси, образует боковую поверхность и называется образующей. Основаниями цилиндра являются два равных круга.

Объем цилиндра: $V = \pi R^2 h$, где $R$ – радиус основания, $h$ – высота.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2 \pi R h$.

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = 2 \pi R (R + h)$.

Ответ: цилиндр.

Конус

Это тело вращения, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Этот катет является осью и высотой конуса. Другой катет, вращаясь, образует основание конуса (круг), а гипотенуза образует боковую поверхность и называется образующей.

Объем конуса: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$, где $R$ – радиус основания, $h$ – высота.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi R l$, где $l$ – длина образующей.

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = \pi R (R + l)$.

Ответ: конус.

Усеченный конус

Это часть конуса, расположенная между его основанием и плоскостью, параллельной основанию. Усеченный конус образуется при вращении прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям.

Объем усеченного конуса: $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$, где $R$ и $r$ – радиусы оснований, $h$ – высота.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi l (R + r)$, где $l$ – длина образующей.

Ответ: усеченный конус.

Шар

Это геометрическое тело, которое образуется при вращении полукруга (или круга) вокруг его диаметра. Поверхность шара называется сферой. Все точки поверхности сферы равноудалены от центра шара.

Объем шара: $V = \frac{4}{3} \pi R^3$, где $R$ – радиус шара.

Площадь поверхности (сферы): $S = 4 \pi R^2$.

Ответ: шар.

Тор

Это тело вращения, которое образуется при вращении окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости, что и окружность, но не пересекающей её. По форме тор напоминает бублик.

Объем тора: $V = 2 \pi^2 R r^2$, где $R$ – расстояние от центра образующей окружности до оси вращения, $r$ – радиус образующей окружности.

Площадь поверхности тора: $S = 4 \pi^2 R r$.

Ответ: тор.

1. Длина окружности равна $18\pi$ см. Какой станет длина окружности, если радиус данной окружности:

1) уменьшить в 9 раз;

2) увеличить в 5 раз?

Длина окружности $C$ и ее радиус $r$ связаны формулой $C = 2 \pi r$. Из этой формулы видно, что длина окружности прямо пропорциональна ее радиусу. Это означает, что при изменении радиуса в определенное количество раз, длина окружности изменится во столько же раз.

Изначальная длина окружности равна $18\pi$ см.

1) уменьшить в 9 раз

Если радиус окружности уменьшить в 9 раз, то и ее длина также уменьшится в 9 раз. Рассчитаем новую длину окружности:

$C_{новая} = \frac{18\pi}{9} = 2\pi$ см.

Проверка через вычисление радиуса:

1. Найдем исходный радиус $r$ из формулы $C = 2 \pi r$:

$18\pi = 2 \pi r \implies r = \frac{18\pi}{2\pi} = 9$ см.

2. Уменьшим радиус в 9 раз:

$r_{новый} = \frac{9}{9} = 1$ см.

3. Найдем новую длину окружности:

$C_{новая} = 2 \pi r_{новый} = 2 \pi \cdot 1 = 2\pi$ см.

Результаты совпадают.

Ответ: $2\pi$ см.

2) увеличить в 5 раз

Если радиус окружности увеличить в 5 раз, то и ее длина также увеличится в 5 раз. Рассчитаем новую длину окружности:

$C_{новая} = 18\pi \cdot 5 = 90\pi$ см.

Проверка через вычисление радиуса:

1. Исходный радиус $r = 9$ см.

2. Увеличим радиус в 5 раз:

$r_{новый} = 9 \cdot 5 = 45$ см.

3. Найдем новую длину окружности:

$C_{новая} = 2 \pi r_{новый} = 2 \pi \cdot 45 = 90\pi$ см.

Результаты совпадают.

Ответ: $90\pi$ см.