Страница 171 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Найдите площадь круга, если длина его окружности равна $10\pi$ см.

Для того чтобы найти площадь круга, необходимо сначала определить его радиус. Длина окружности $C$ связана с радиусом $r$ через формулу:

$C = 2 \pi r$

По условию задачи, длина окружности равна $10\pi$ см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти радиус:

$10\pi = 2 \pi r$

Разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$r = \frac{10\pi}{2\pi} = 5$ см

Теперь, когда мы знаем радиус, мы можем вычислить площадь круга $S$ по формуле:

$S = \pi r^2$

Подставим значение радиуса $r=5$ см в эту формулу:

$S = \pi \cdot (5)^2 = \pi \cdot 25 = 25\pi$ см²

Ответ: $25\pi$ см².

3. Найдите длину окружности, ограничивающей круг площадью $16\pi\text{ см}^2$.

Для решения задачи воспользуемся формулами площади круга и длины окружности.

1. Нахождение радиуса круга.

Площадь круга (S) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – это радиус круга. По условию, площадь круга равна $16\pi$ см². Составим уравнение, чтобы найти радиус:

$\pi r^2 = 16\pi$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$r^2 = 16$

Поскольку радиус является положительной величиной, извлекаем квадратный корень:

$r = \sqrt{16} = 4$ см.

2. Нахождение длины окружности.

Длина окружности (C) вычисляется по формуле $C = 2\pi r$. Теперь, когда мы знаем радиус ($r=4$ см), мы можем найти длину окружности:

$C = 2 \cdot \pi \cdot 4 = 8\pi$ см.

Ответ: $8\pi$ см.

4. Решите уравнение:

1) $3x + 5x + 7x = 60;$

2) $19x - 12x = 4,9.$

1) $3x + 5x + 7x = 60$
В левой части уравнения все слагаемые являются подобными, так как у них есть общий множитель $x$. Мы можем сложить их коэффициенты.
$(3 + 5 + 7)x = 60$
$15x = 60$
Теперь, чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 15.
$x = \frac{60}{15}$
$x = 4$
Ответ: 4

2) $19x - 12x = 4,9$
Так же, как и в первом уравнении, приведем подобные слагаемые в левой части, выполнив вычитание их коэффициентов.
$(19 - 12)x = 4,9$
$7x = 4,9$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 7.
$x = \frac{4,9}{7}$
$x = 0,7$
Ответ: 0,7

859. Приведите примеры предметов, имеющих форму:

1) цилиндра;

2) конуса;

3) шара.

1) цилиндра; Предметы, имеющие форму цилиндра, часто встречаются в быту и технике. Цилиндр — это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями (основаниями). Примеры таких предметов: стакан, консервная банка, труба, бревно, кастрюля, бочка, батарейка.
Ответ: стакан, консервная банка, труба, бревно.

2) конуса; Конус — это тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины) и проходящих через плоскую поверхность (основание). Примеры предметов, имеющих форму конуса: рожок для мороженого, дорожный конус, воронка, праздничный колпак, наконечник стрелы.
Ответ: рожок для мороженого, воронка, дорожный конус.

3) шара. Шар — это геометрическое тело, все точки которого находятся на расстоянии не более определённого от центра. Поверхность шара называется сферой. Многие природные и созданные человеком объекты имеют форму, близкую к шару. Примеры: футбольный мяч, глобус, апельсин, арбуз, бильярдный шар, планета Земля, мыльный пузырь.
Ответ: мяч, глобус, апельсин, планета.

860. На рисунке 143 изображён цилиндр. Укажите: 1) образующую цилиндра; 2) радиус нижнего основания цилиндра; 3) радиус верхнего основания цилиндра.

Рис. 143

1) образующую цилиндра

Образующая цилиндра — это отрезок, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований. Образующие параллельны оси цилиндра. На данном рисунке таким отрезком является $AB$, который соединяет точку $A$ на окружности нижнего основания с точкой $B$ на окружности верхнего основания.

Ответ: $AB$.

2) радиус нижнего основания цилиндра

Радиус основания цилиндра — это отрезок, соединяющий центр основания с любой точкой на окружности этого основания. Центром нижнего основания является точка $O$, а точка $A$ лежит на его окружности. Следовательно, радиусом нижнего основания является отрезок $OA$.

Ответ: $OA$.

3) радиус верхнего основания цилиндра

Аналогично нижнему основанию, радиусом верхнего основания является отрезок, соединяющий его центр (точку $O_1$) с любой точкой на его окружности. Точка $B$ лежит на окружности верхнего основания. Следовательно, радиусом верхнего основания является отрезок $O_1B$.

Ответ: $O_1B$.

861. На рисунке 144 изображён конус. Укажите:

1) вершину конуса;

2) центр его основания;

3) образующую конуса;

4) радиус основания конуса;

5) высоту конуса.

Рис. 144

$d_0^2 = m(M)$

$d_0^2$

1) вершину конуса
Вершиной конуса является точка, не лежащая в плоскости его основания и соединяющая все образующие. На данном рисунке это точка $M$.
Ответ: $M$.

2) центр его основания
Основанием конуса является круг. Центром основания конуса является центр этого круга. На рисунке это точка $O$.
Ответ: $O$.

3) образующую конуса
Образующая конуса — это отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой на окружности его основания. На рисунке в качестве примера образующей показан отрезок $MK$.
Ответ: $MK$.

4) радиус основания конуса
Радиусом основания конуса является отрезок, соединяющий центр основания с любой точкой на окружности основания. На рисунке это отрезок $OK$.
Ответ: $OK$.

5) высоту конуса
Высота конуса — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Для прямого кругового конуса, изображенного на рисунке, высота соединяет вершину с центром основания. Это отрезок $MO$.
Ответ: $MO$.

862. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а его образующая – 8 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра используется формула:

$S_{бок} = 2 \pi r l$

где $r$ — это радиус основания цилиндра, а $l$ — его образующая (которая в прямом цилиндре равна высоте $h$).

По условию задачи нам даны:

• Радиус основания $r = 6$ см.
• Образующая $l = 8$ см.

Подставим эти значения в формулу для вычисления площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 6 \cdot 8$

Выполним умножение:

$S_{бок} = 12 \cdot 8 \cdot \pi$

$S_{бок} = 96 \pi$ (см²)

Ответ: $96 \pi$ см²

863. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, развёртка которого изображена на рисунке 145 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 145

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) равна площади её развёртки. Развёртка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник.

Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра ($h$) и длине окружности его основания ($C$).

Из рисунка 145 мы можем определить следующие параметры:

• Высота цилиндра $h$ равна высоте прямоугольника: $h = 7$ см.
• Диаметр основания цилиндра $d$ равен: $d = 10$ см.

Длина окружности основания вычисляется по формуле:
$C = \pi d$
Подставляем известное значение диаметра:
$C = \pi \times 10 = 10\pi$ см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности цилиндра как площадь прямоугольника со сторонами $C$ и $h$:
$S_{бок} = C \times h$
$S_{бок} = 10\pi \times 7 = 70\pi$ см².

Ответ: $70\pi$ см².

864. Радиус шара равен 6 см. Вычислите площадь сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара.

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Если плоскость проходит через центр шара, то радиус этого круга-сечения равен радиусу самого шара. Такое сечение называется большим кругом.

По условию, радиус шара $R$ равен 6 см. Следовательно, радиус сечения $r$ также равен 6 см.

$r = R = 6$ см.

Площадь круга вычисляется по формуле:

$S = \pi r^2$

Подставим известное значение радиуса в формулу, чтобы найти площадь сечения:

$S = \pi \cdot (6)^2 = 36\pi$

Таким образом, площадь сечения шара равна $36\pi$ см².

Ответ: $36\pi$ см².

865. Длина окружности, ограничивающей сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 12,56 см. Чему равен радиус шара?

Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, является окружностью, которую называют большим кругом. Радиус этой окружности совпадает с радиусом самого шара. Обозначим радиус шара как $R$.

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле:

$C = 2 \pi R$

Из условия задачи известно, что длина окружности сечения равна $C = 12,56$ см.

Чтобы найти радиус шара $R$, выразим его из формулы длины окружности:

$R = \frac{C}{2 \pi}$

Подставим известные значения в формулу. Для расчетов примем значение числа $\pi \approx 3,14$.

$R = \frac{12,56}{2 \times 3,14} = \frac{12,56}{6,28} = 2$ см.

Следовательно, радиус шара равен 2 см.

Ответ: 2 см.

866. Какие наименьшие размеры, выраженные целым числом сантиметров, должен иметь прямоугольный лист бумаги, чтобы им можно было обклеить боковую поверхность цилиндра с радиусом основания 5 см и высотой, равной диаметру основания?

Чтобы обклеить боковую поверхность цилиндра, необходим прямоугольный лист бумаги. При развертывании боковой поверхности цилиндра на плоскость получается прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра ($h$), а другая — длине окружности его основания ($C$). Размеры листа бумаги должны быть не меньше этих двух величин.

1. Найдем высоту цилиндра.

По условию, радиус основания цилиндра $r = 5$ см. Высота цилиндра $h$ равна его диаметру $d$.

Диаметр основания — это удвоенный радиус:

$d = 2r = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Следовательно, высота цилиндра $h = 10$ см.

2. Найдем длину окружности основания.

Длина окружности основания $C$ вычисляется по формуле:

$C = 2\pi r$.

Подставим значение радиуса:

$C = 2 \cdot \pi \cdot 5 = 10\pi$ см.

3. Определим наименьшие целочисленные размеры листа.

Итак, нам нужен лист бумаги с размерами не менее $10$ см и $10\pi$ см. По условию, размеры листа должны быть выражены целыми числами.

Первый размер, равный высоте $h = 10$ см, уже является целым числом. Значит, наименьшая целочисленная длина одной стороны листа равна 10 см.

Второй размер равен $10\pi$ см. Чтобы найти наименьшее целое число, которое не меньше этой величины, используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159...$

$10\pi \approx 10 \cdot 3.14159... = 31.4159...$ см.

Наименьшее целое число, которое больше или равно $31.4159...$, — это 32. Следовательно, наименьшая целочисленная длина второй стороны листа равна 32 см.

Таким образом, наименьшие размеры листа бумаги, выраженные целым числом сантиметров, составляют 10 см и 32 см.

Ответ: 10 см и 32 см.