Страница 172 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

867. Диаметр отверстия трубы равен 40 см, а толщина её стенок – 2 см. Хватит ли 2,5 кг краски, чтобы покрасить снаружи 10 м этой трубы, если на 1 м² её поверхности расходуется 200 г краски?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо сначала вычислить площадь внешней поверхности трубы, которую предстоит покрасить, затем рассчитать требуемое количество краски и сравнить его с имеющимся запасом.

1. Вычисление внешнего диаметра трубы

Внутренний диаметр трубы ($d_{внутр}$) равен 40 см. Толщина стенки составляет 2 см. Внешний диаметр ($d_{внешн}$) складывается из внутреннего диаметра и двух толщин стенки (по одной с каждой стороны).

$d_{внешн} = d_{внутр} + 2 \times (\text{толщина стенки})$

$d_{внешн} = 40 \text{ см} + 2 \times 2 \text{ см} = 44 \text{ см}$

2. Вычисление площади окрашиваемой поверхности

Для расчета площади необходимо перевести все единицы измерения в метры, так как расход краски указан для квадратного метра.

Внешний диаметр: $d_{внешн} = 44 \text{ см} = 0,44 \text{ м}$

Длина трубы: $L = 10 \text{ м}$

Площадь внешней (боковой) поверхности трубы, которая является цилиндром, вычисляется по формуле:

$S = \pi d L$

Подставим известные значения (используя $\pi \approx 3,14$):

$S \approx 3,14 \times 0,44 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 13,816 \text{ м}^2$

3. Расчет необходимого количества краски

По условию, на 1 м² поверхности расходуется 200 г краски. Рассчитаем, сколько краски потребуется для всей трубы:

$m_{необх} = S \times 200 \text{ г/м}^2$

$m_{необх} \approx 13,816 \text{ м}^2 \times 200 \text{ г/м}^2 = 2763,2 \text{ г}$

4. Сравнение и вывод

В наличии имеется 2,5 кг краски. Переведем это значение в граммы:

$2,5 \text{ кг} = 2500 \text{ г}$

Теперь сравним необходимое количество краски с имеющимся:

$2763,2 \text{ г} > 2500 \text{ г}$

Требуемое количество краски (приблизительно 2763,2 г) превышает имеющееся (2500 г).

Ответ: Нет, 2,5 кг краски не хватит, чтобы покрасить снаружи 10 м этой трубы.

868. Прямоугольник, площадь которого равна $40 \text{ см}^2$, вращают вокруг одной из его сторон. Вычислите площадь боковой поверхности образовавшегося цилиндра.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Площадь прямоугольника $S_{прям}$ вычисляется как произведение его сторон:
$S_{прям} = a \cdot b$
По условию задачи, площадь прямоугольника равна 40 см², следовательно, $a \cdot b = 40$.

При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. Сторона, вокруг которой происходит вращение, становится высотой цилиндра ($h$), а другая сторона становится радиусом его основания ($r$).

Рассмотрим случай, когда прямоугольник вращается вокруг стороны $a$. В этом случае высота цилиндра будет равна $a$, а радиус основания будет равен $b$:
$h = a$
$r = b$

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2 \pi r h$
Подставим в эту формулу значения высоты и радиуса через стороны прямоугольника:
$S_{бок} = 2 \pi \cdot b \cdot a = 2 \pi (a \cdot b)$

Мы знаем, что произведение сторон $a \cdot b$ равно площади прямоугольника, то есть 40. Подставим это значение в формулу для площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 2 \pi \cdot 40 = 80 \pi$ см²

Заметим, что если бы мы вращали прямоугольник вокруг стороны $b$, то высота была бы $h=b$, а радиус $r=a$. Результат для площади боковой поверхности был бы тем же самым: $S_{бок} = 2 \pi a b = 80 \pi$ см².

Ответ: $80 \pi$ см²

869. Хватит ли купленной ковровой дорожки для трёх коридоров длиной $22.6 \text{ м}$, $24.7 \text{ м}$ и $12.8 \text{ м}$, если купили $2$ куска дорожки по $15.8 \text{ м}$ и $2$ куска по $14.6 \text{ м}$?

Чтобы определить, хватит ли купленной ковровой дорожки, нужно сравнить общую длину, необходимую для трех коридоров, с общей длиной купленных кусков.

1. Сначала вычислим, какая общая длина дорожки требуется для всех коридоров. Для этого сложим их длины:
$22,6 \text{ м} + 24,7 \text{ м} + 12,8 \text{ м} = 60,1 \text{ м}$.
Таким образом, общая необходимая длина составляет $60,1$ м.

2. Теперь вычислим общую длину купленной дорожки. Было куплено 2 куска по 15,8 м и 2 куска по 14,6 м. Найдем их суммарную длину:
$(2 \times 15,8 \text{ м}) + (2 \times 14,6 \text{ м}) = 31,6 \text{ м} + 29,2 \text{ м} = 60,8 \text{ м}$.
Общая длина купленной дорожки составляет $60,8$ м.

3. Сравним необходимую длину ($60,1$ м) с купленной ($60,8$ м):
$60,8 \text{ м} > 60,1 \text{ м}$.

Поскольку общая длина купленной дорожки больше, чем общая длина коридоров, её будет достаточно.

Ответ: да, хватит.

870. Оля живёт в двенадцатиэтажном доме в квартире № 189. В каком подъезде и на каком этаже живёт Оля, если в её доме на каждом этаже находится по четыре квартиры?

Для решения этой задачи необходимо последовательно определить общее количество квартир в одном подъезде, затем номер подъезда и, наконец, номер этажа.

1. Найдем количество квартир в одном подъезде.

В доме 12 этажей, и на каждом из них находится по 4 квартиры. Чтобы узнать общее количество квартир в одном подъезде, нужно умножить количество этажей на количество квартир на этаже:
$12 \text{ этажей} \times 4 \text{ квартиры/этаж} = 48 \text{ квартир}$

2. Определим номер подъезда.

Чтобы найти, в каком подъезде находится квартира № 189, разделим номер этой квартиры на количество квартир в одном подъезде:
$189 \div 48 = 3$ (остаток 45)
Целая часть от деления (3) показывает, что 3 подъезда полностью заполнены квартирами (с 1-й по 144-ю, так как $3 \times 48 = 144$). Поскольку квартира Оли имеет номер 189, она находится в следующем, то есть в 4-м подъезде.

3. Определим номер этажа.

Остаток от деления (45) показывает, что квартира Оли является 45-й по счету в своем, 4-м, подъезде. Чтобы найти этаж, нужно разделить этот порядковый номер на количество квартир на одном этаже:
$45 \div 4 = 11$ (остаток 1)
Целая часть от деления (11) показывает, что 11 этажей в этом подъезде полностью заполнены квартирами (с 1-й по 44-ю в этом подъезде, так как $11 \times 4 = 44$). Квартира Оли является 45-й, следовательно, она находится на следующем, то есть на 12-м этаже.

Ответ: Оля живёт в 4-м подъезде на 12-м этаже.

871. Известно, что $a$ и $b$ – различные простые числа. Запишите все делители числа $m$, если:

1) $m = ab$;

2) $m = a^2b$;

3) $m = a^2b^2$.

1) $m = ab$;
Поскольку $a$ и $b$ — различные простые числа, каноническое разложение числа $m$ на простые множители имеет вид $m = a^1 \cdot b^1$. Любой делитель числа $m$ будет иметь вид $a^x b^y$, где показатель степени $x$ может принимать значения 0 или 1, и показатель степени $y$ также может принимать значения 0 или 1.
Перечислим все возможные комбинации:

• $x=0, y=0$: делитель равен $a^0 b^0 = 1$
• $x=1, y=0$: делитель равен $a^1 b^0 = a$
• $x=0, y=1$: делитель равен $a^0 b^1 = b$
• $x=1, y=1$: делитель равен $a^1 b^1 = ab$

Таким образом, все делители числа $m = ab$ — это 1, $a$, $b$, $ab$.
Ответ: 1, $a$, $b$, $ab$.

2) $m = a^2b$;
Каноническое разложение числа $m$ на простые множители имеет вид $m = a^2 \cdot b^1$. Любой делитель числа $m$ будет иметь вид $a^x b^y$, где $x$ может принимать значения 0, 1 или 2, а $y$ может принимать значения 0 или 1.
Перечислим все возможные комбинации:

• Делители, где $y=0$: $a^0 b^0 = 1$, $a^1 b^0 = a$, $a^2 b^0 = a^2$.
• Делители, где $y=1$: $a^0 b^1 = b$, $a^1 b^1 = ab$, $a^2 b^1 = a^2b$.

Таким образом, все делители числа $m = a^2b$ — это 1, $a$, $a^2$, $b$, $ab$, $a^2b$.
Ответ: 1, $a$, $a^2$, $b$, $ab$, $a^2b$.

3) $m = a^2b^2$;
Каноническое разложение числа $m$ на простые множители имеет вид $m = a^2 \cdot b^2$. Любой делитель числа $m$ будет иметь вид $a^x b^y$, где $x$ может принимать значения 0, 1 или 2, и $y$ также может принимать значения 0, 1 или 2.
Перечислим все возможные комбинации, сгруппировав их по степени $y$:

• При $y=0$: $a^0 b^0 = 1$, $a^1 b^0 = a$, $a^2 b^0 = a^2$.
• При $y=1$: $a^0 b^1 = b$, $a^1 b^1 = ab$, $a^2 b^1 = a^2b$.
• При $y=2$: $a^0 b^2 = b^2$, $a^1 b^2 = ab^2$, $a^2 b^2 = a^2b^2$.

Таким образом, все делители числа $m = a^2b^2$ — это 1, $a$, $a^2$, $b$, $ab$, $a^2b$, $b^2$, $ab^2$, $a^2b^2$.
Ответ: 1, $a$, $a^2$, $b$, $ab$, $a^2b$, $b^2$, $ab^2$, $a^2b^2$.

872. В середине XVI в. в Москве проживало 100 000 жителей и она была самым многолюдным городом Московского государства.

После столицы по числу жителей выделялись города Великий Новгород и Псков.

Количество жителей Пскова составляло 20 % от количества жителей Москвы и 80 % от количества жителей Великого Новгорода.

Сколько людей проживало в середине XVI в. в Великом Новгороде?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти количество жителей Пскова, а затем, используя это значение, вычислить количество жителей Великого Новгорода.

1. Найдём количество жителей Пскова.
Из условия известно, что в Москве проживало 100 000 жителей, а количество жителей Пскова составляло 20% от этого числа. Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на дробь, соответствующую проценту.
20% это $\frac{20}{100}$ или 0,2.
Вычислим население Пскова:
$100\,000 \times \frac{20}{100} = 100\,000 \times 0,2 = 20\,000$ жителей.

2. Найдём количество жителей Великого Новгорода.
Теперь мы знаем, что в Пскове проживало 20 000 жителей. По условию, это количество составляет 80% от числа жителей Великого Новгорода. Обозначим количество жителей Великого Новгорода за $x$. Тогда можно составить уравнение:
$x \times \frac{80}{100} = 20\,000$
$x \times 0,8 = 20\,000$
Чтобы найти $x$, нужно 20 000 разделить на 0,8:
$x = \frac{20\,000}{0,8} = \frac{200\,000}{8} = 25\,000$ жителей.

Ответ: в середине XVI в. в Великом Новгороде проживало 25 000 человек.

873. Пусть столбик, высота которого равна стороне клетки тетради, соответствует одному году жизни человека. Нарисуй столбик, высота которого соответствует количеству твоих полных лет.

Эта задача является персональной, так как ее решение зависит от вашего возраста. В условии сказано, что высота столбика, равная стороне одной клетки тетради, соответствует одному году жизни человека.

Чтобы нарисовать столбик, вам нужно сначала определить свой возраст в полных годах. Пусть вам $N$ полных лет. Согласно заданному масштабу (1 год = 1 клетка), высота вашего столбика должна быть равна $N$ клеток. Ширину столбика можно выбрать любой, например, 1 или 2 клетки.

Пример решения:

Предположим, что вам 11 лет. Тогда $N=11$.

Высота столбика, который нужно нарисовать, будет равна 11 клеткам.
На рисунке ниже показан пример такого столбика (шириной в 2 клетки).

Ответ: Необходимо нарисовать прямоугольный столбик, высота которого в клетках тетради численно равна вашему возрасту в полных годах.

874. Изобразите круг, разделите его двумя диаметрами на четыре равных сектора. Сколько процентов площади круга составляет площадь одного сектора?

Круг представляет собой целое, то есть 100% всей площади.

Когда мы делим круг двумя диаметрами на четыре равных сектора, мы делим его общую площадь на 4 равные части.

Таким образом, площадь одного сектора составляет одну четвертую часть от площади всего круга. В виде дроби это можно записать как $ \frac{1}{4} $.

Чтобы выразить эту долю в процентах, нужно умножить дробь на 100%.

$ \frac{1}{4} \cdot 100\% = \frac{100}{4}\% = 25\% $

Следовательно, площадь одного сектора составляет 25% от площади круга.

Ответ: 25%.

875. Используя только цифры 1, 2, 3, 4, записали два неравных четырёхзначных числа, у каждого из которых все цифры различны. Может ли одно из этих чисел делиться нацело на другое?

Предположим, что такое возможно. Пусть $A$ и $B$ — два разных четырехзначных числа, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, причем все цифры в каждом числе различны. Допустим, $A$ делится на $B$. Тогда $A = k \cdot B$ для некоторого целого числа $k$. Поскольку $A \neq B$ и оба числа положительны, $k$ должно быть целым числом, большим 1, то есть $k \ge 2$.

Все возможные числа, которые можно составить из данных цифр, лежат в диапазоне от наименьшего, 1234, до наибольшего, 4321. Оценим возможные значения $k$:

$k = \frac{A}{B} \le \frac{\text{наибольшее число}}{\text{наименьшее число}} = \frac{4321}{1234} \approx 3.5$

Следовательно, $k$ может принимать только целые значения 2 или 3.

Рассмотрим, может ли $k$ быть равным 3. Сумма цифр любого числа, составленного из цифр 1, 2, 3, 4, равна $1+2+3+4=10$. Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Так как 10 не делится на 3, ни одно из рассматриваемых чисел не делится на 3. Если бы $A = 3 \cdot B$, то $A$ должно было бы делиться на 3, что невозможно. Значит, $k \neq 3$.

Остается единственная возможность: $k=2$. Проверим, могут ли существовать такие числа $A$ и $B$, что $A = 2 \cdot B$.Поскольку $A$ является одним из чисел, составленных из цифр {1, 2, 3, 4}, то $A \le 4321$. Тогда $B = \frac{A}{2} \le \frac{4321}{2} = 2160.5$. Это означает, что первая цифра числа $B$ может быть только 1, или же $B$ — одно из чисел, начинающихся на 2, но меньших 2160.5 (такие числа — 2134 и 2143).

Если $B=2134$, то $A = 2 \cdot 2134 = 4268$. В записи этого числа есть цифры 6 и 8, которых нет в исходном наборе {1, 2, 3, 4}.Если $B=2143$, то $A = 2 \cdot 2143 = 4286$. Здесь также появляются цифры 6 и 8.Значит, $B$ не может начинаться с цифры 2.

Рассмотрим случай, когда $B$ начинается с цифры 1. Тогда $1234 \le B \le 1432$, и, соответственно, $2468 \le A \le 2864$. Это означает, что первая цифра числа $A$ должна быть 2. Так как $A = 2 \cdot B$, число $A$ должно быть четным, то есть оканчиваться на 2 или 4. Поскольку все цифры в $A$ различны, а первая цифра — 2, то $A$ не может оканчиваться на 2. Следовательно, $A$ должно оканчиваться на 4. Если $A$ оканчивается на 4, то число $B = A/2$ должно оканчиваться на 2 или 7. Из доступных цифр подходит только 2.Итак, число $B$ должно начинаться с 1 и оканчиваться на 2. Возможны два варианта: $B=1342$ и $B=1432$.Проверим их:Если $B=1342$, то $A = 2 \cdot 1342 = 2684$. Это число содержит цифры 6 и 8.Если $B=1432$, то $A = 2 \cdot 1432 = 2864$. Это число также содержит цифры 6 и 8.Ни один из вариантов не подходит, так как число $A$ должно состоять только из цифр 1, 2, 3, 4.

Таким образом, мы показали, что и случай $k=2$ невозможен. Поскольку другие варианты для $k$ отсутствуют, наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Нет, не может.