Номер 871, страница 172 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Цилиндр, конус, шар. Глава 3. Дроби - номер 871, страница 172.

Условие.

871. Известно, что $a$ и $b$ – различные простые числа. Запишите все делители числа $m$, если:

1) $m = ab$;

2) $m = a^2b$;

3) $m = a^2b^2$.

Решение.

Решение 2.

1) $m = ab$;
Поскольку $a$ и $b$ — различные простые числа, каноническое разложение числа $m$ на простые множители имеет вид $m = a^1 \cdot b^1$. Любой делитель числа $m$ будет иметь вид $a^x b^y$, где показатель степени $x$ может принимать значения 0 или 1, и показатель степени $y$ также может принимать значения 0 или 1.
Перечислим все возможные комбинации:

• $x=0, y=0$: делитель равен $a^0 b^0 = 1$
• $x=1, y=0$: делитель равен $a^1 b^0 = a$
• $x=0, y=1$: делитель равен $a^0 b^1 = b$
• $x=1, y=1$: делитель равен $a^1 b^1 = ab$

Таким образом, все делители числа $m = ab$ — это 1, $a$, $b$, $ab$.
Ответ: 1, $a$, $b$, $ab$.

2) $m = a^2b$;
Каноническое разложение числа $m$ на простые множители имеет вид $m = a^2 \cdot b^1$. Любой делитель числа $m$ будет иметь вид $a^x b^y$, где $x$ может принимать значения 0, 1 или 2, а $y$ может принимать значения 0 или 1.
Перечислим все возможные комбинации:

• Делители, где $y=0$: $a^0 b^0 = 1$, $a^1 b^0 = a$, $a^2 b^0 = a^2$.
• Делители, где $y=1$: $a^0 b^1 = b$, $a^1 b^1 = ab$, $a^2 b^1 = a^2b$.

Таким образом, все делители числа $m = a^2b$ — это 1, $a$, $a^2$, $b$, $ab$, $a^2b$.
Ответ: 1, $a$, $a^2$, $b$, $ab$, $a^2b$.

3) $m = a^2b^2$;
Каноническое разложение числа $m$ на простые множители имеет вид $m = a^2 \cdot b^2$. Любой делитель числа $m$ будет иметь вид $a^x b^y$, где $x$ может принимать значения 0, 1 или 2, и $y$ также может принимать значения 0, 1 или 2.
Перечислим все возможные комбинации, сгруппировав их по степени $y$:

• При $y=0$: $a^0 b^0 = 1$, $a^1 b^0 = a$, $a^2 b^0 = a^2$.
• При $y=1$: $a^0 b^1 = b$, $a^1 b^1 = ab$, $a^2 b^1 = a^2b$.
• При $y=2$: $a^0 b^2 = b^2$, $a^1 b^2 = ab^2$, $a^2 b^2 = a^2b^2$.

Таким образом, все делители числа $m = a^2b^2$ — это 1, $a$, $a^2$, $b$, $ab$, $a^2b$, $b^2$, $ab^2$, $a^2b^2$.
Ответ: 1, $a$, $a^2$, $b$, $ab$, $a^2b$, $b^2$, $ab^2$, $a^2b^2$.