Номер 868, страница 172 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Цилиндр, конус, шар. Глава 3. Дроби - номер 868, страница 172.

Условие.

868. Прямоугольник, площадь которого равна $40 \text{ см}^2$, вращают вокруг одной из его сторон. Вычислите площадь боковой поверхности образовавшегося цилиндра.

Решение.

Решение 2.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Площадь прямоугольника $S_{прям}$ вычисляется как произведение его сторон:
$S_{прям} = a \cdot b$
По условию задачи, площадь прямоугольника равна 40 см², следовательно, $a \cdot b = 40$.

При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. Сторона, вокруг которой происходит вращение, становится высотой цилиндра ($h$), а другая сторона становится радиусом его основания ($r$).

Рассмотрим случай, когда прямоугольник вращается вокруг стороны $a$. В этом случае высота цилиндра будет равна $a$, а радиус основания будет равен $b$:
$h = a$
$r = b$

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2 \pi r h$
Подставим в эту формулу значения высоты и радиуса через стороны прямоугольника:
$S_{бок} = 2 \pi \cdot b \cdot a = 2 \pi (a \cdot b)$

Мы знаем, что произведение сторон $a \cdot b$ равно площади прямоугольника, то есть 40. Подставим это значение в формулу для площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 2 \pi \cdot 40 = 80 \pi$ см²

Заметим, что если бы мы вращали прямоугольник вокруг стороны $b$, то высота была бы $h=b$, а радиус $r=a$. Результат для площади боковой поверхности был бы тем же самым: $S_{бок} = 2 \pi a b = 80 \pi$ см².

Ответ: $80 \pi$ см²