Номер 875, страница 172 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Цилиндр, конус, шар. Глава 3. Дроби - номер 875, страница 172.

Условие.

875. Используя только цифры 1, 2, 3, 4, записали два неравных четырёхзначных числа, у каждого из которых все цифры различны. Может ли одно из этих чисел делиться нацело на другое?

Решение.

Решение 2.

Предположим, что такое возможно. Пусть $A$ и $B$ — два разных четырехзначных числа, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, причем все цифры в каждом числе различны. Допустим, $A$ делится на $B$. Тогда $A = k \cdot B$ для некоторого целого числа $k$. Поскольку $A \neq B$ и оба числа положительны, $k$ должно быть целым числом, большим 1, то есть $k \ge 2$.

Все возможные числа, которые можно составить из данных цифр, лежат в диапазоне от наименьшего, 1234, до наибольшего, 4321. Оценим возможные значения $k$:

$k = \frac{A}{B} \le \frac{\text{наибольшее число}}{\text{наименьшее число}} = \frac{4321}{1234} \approx 3.5$

Следовательно, $k$ может принимать только целые значения 2 или 3.

Рассмотрим, может ли $k$ быть равным 3. Сумма цифр любого числа, составленного из цифр 1, 2, 3, 4, равна $1+2+3+4=10$. Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Так как 10 не делится на 3, ни одно из рассматриваемых чисел не делится на 3. Если бы $A = 3 \cdot B$, то $A$ должно было бы делиться на 3, что невозможно. Значит, $k \neq 3$.

Остается единственная возможность: $k=2$. Проверим, могут ли существовать такие числа $A$ и $B$, что $A = 2 \cdot B$.Поскольку $A$ является одним из чисел, составленных из цифр {1, 2, 3, 4}, то $A \le 4321$. Тогда $B = \frac{A}{2} \le \frac{4321}{2} = 2160.5$. Это означает, что первая цифра числа $B$ может быть только 1, или же $B$ — одно из чисел, начинающихся на 2, но меньших 2160.5 (такие числа — 2134 и 2143).

Если $B=2134$, то $A = 2 \cdot 2134 = 4268$. В записи этого числа есть цифры 6 и 8, которых нет в исходном наборе {1, 2, 3, 4}.Если $B=2143$, то $A = 2 \cdot 2143 = 4286$. Здесь также появляются цифры 6 и 8.Значит, $B$ не может начинаться с цифры 2.

Рассмотрим случай, когда $B$ начинается с цифры 1. Тогда $1234 \le B \le 1432$, и, соответственно, $2468 \le A \le 2864$. Это означает, что первая цифра числа $A$ должна быть 2. Так как $A = 2 \cdot B$, число $A$ должно быть четным, то есть оканчиваться на 2 или 4. Поскольку все цифры в $A$ различны, а первая цифра — 2, то $A$ не может оканчиваться на 2. Следовательно, $A$ должно оканчиваться на 4. Если $A$ оканчивается на 4, то число $B = A/2$ должно оканчиваться на 2 или 7. Из доступных цифр подходит только 2.Итак, число $B$ должно начинаться с 1 и оканчиваться на 2. Возможны два варианта: $B=1342$ и $B=1432$.Проверим их:Если $B=1342$, то $A = 2 \cdot 1342 = 2684$. Это число содержит цифры 6 и 8.Если $B=1432$, то $A = 2 \cdot 1432 = 2864$. Это число также содержит цифры 6 и 8.Ни один из вариантов не подходит, так как число $A$ должно состоять только из цифр 1, 2, 3, 4.

Таким образом, мы показали, что и случай $k=2$ невозможен. Поскольку другие варианты для $k$ отсутствуют, наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Нет, не может.